辽宁省鞍山市海城市西部集团2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题-A4

这是一份辽宁省鞍山市海城市西部集团2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题-A4，共12页。试卷主要包含了答题前，考生须用0等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分120分，答题时间120分钟)
注意事项:
1.答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号；
2.考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效；
3.考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷；
选择题（每题3分，共30分）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
1．若关于x的方程x2﹣kx﹣3＝0的一个根是x＝3，则k的值是（ ）
A．﹣2B．2C．D．
2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣ax+b的图象大致是（ ）
A． B．C．D．
3．如图，将线段AB绕点O旋转得到线段A′B′，已知OA＝5，OB′＝3，∠B′＝90°，则线段AB的长为（ ）
A．3B．4C．5D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径B．弧是半圆
C．直径是圆中最长的弦D．半圆是圆中最长的弧
6．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆（ ）
A．与x轴相离，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离
8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（ ）
A．45°B．36°C．35°D．30°
9．如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）
A．80cm2B．40cm2C．80πcm2D．40πcm2
10．不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．1
填空题（每小题3分，共15分）
11．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
12．已知点（﹣2，5），（4，5）是抛物线上的两点，则此抛物线的对称轴为 ．
13．如图，AE＝，AC＝，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AB的长是 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为 ．
15．春节期间，小明和小亮分别从三部影片《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4．
17．（8分）如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°得到△DBE，连接AD，若AB⊥DE，垂足为F，求∠ADE的度数．
18．（8分）某校一年级开设人数相同的四个班级，分别是1班，2班，3班，4班，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．
（1）“学生甲分到1班”的概率是 ；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两名新生分到相邻两个班级的概率．
19．（8分）为响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个A品牌足球和4个B品牌足球共需960元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元．
（1）求A，B两种品牌足球的单价．
（2）若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则该校购买这些足球最少需要多少钱？
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点．
（1）直接写出不等式的解集： ．
（2）求反比例函数和一次函数的表达式；
（3）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D（点D不与点A重合），交边BC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，BE＝3，求⊙O的半径．
22．（12分）如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC中点，点E为AD边上一点，连接EO并延长交BC于点F；四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线对称，射线FB′分别与线段AC、射线AD交于G、H两点．
（1）求证：EH＝FH；
（2）已知，DH＝1；
①当点H在线段AD上时，求的值；
②当△CHF为等腰三角形时，求CD的长．
23.（13分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点C与点D关于原点成中心对称，点E是y轴右侧抛物线上一点，连接DE，CE，当S△CDE＝12时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上任取一点P（0，m），过P，A，B三点作新抛物线．
①当新抛物线顶点在线段DE上时，求m的值．
②当新抛物线与线段DE只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．
九年级数学参考答案
一．选择题（每题3分，共30分）CBCBC DABDA
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. m＞﹣且m≠1． 12.直线x＝1． 13. ． 14. 2 15. ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16解：（1）x2﹣6x﹣4＝0，
x2﹣6x＝4，
x2﹣6x+9＝4+9，即（x﹣3）2＝13，
∴x﹣3＝±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4，
3x（x﹣2）＝2（x﹣2），
3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
∴（3x﹣2）（x﹣2）＝0，
∴x1＝，x2＝2．
17.解：根据题意得AB＝AD，∠ABD＝40°，
∴，
∵AB⊥DE，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BDF＝90°﹣∠ABD＝50°，
∴∠ADE＝∠BDA﹣∠BDF＝70°﹣50°＝20°．
18.（1）解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中“学生甲分到1班”的结果有1种，
∴“学生甲分到1班”的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名新生分到相邻两个班级的结果有6种，
∴甲、乙两名新生分到相邻两个班级的概率＝．
19.解：（1）设A种品牌的足球单价为a元，B种品牌的足球单价为b元，
由题意可得：， 解得，
答：A种品牌的足球单价为80元，B种品牌的足球单价为120元；
（2）若购买A品牌的足球x个，则购买B品牌的足球（20﹣x）个，
由题意可得：80x+120（20﹣x）＝﹣40x+2400，
∴整式随x的增大而减小，
∵购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，
∴3≤x≤7，
∴当x＝7时，式子取得最小值，原式＝2120，
答：学校最少需要花费2120元．
20解：（1）由图象可知，不等式的解集为x≤﹣4或0＜x≤2；
故答案为：x≤﹣4或0＜x≤2；
（2）将A（2，﹣4），B（﹣4，m）两点代入中，得k＝2×（﹣4）＝﹣4m，
解得k＝﹣8，m＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
将A（2，﹣4）和B（﹣4，2）代入y＝ax+b中得，
解得，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣2；
（3）设AB与x轴交于点D，连接CD，
由题意可知，点A与点C关于原点对称，
∴C（﹣2，4）．
在y＝﹣x﹣2中，当x＝﹣2时，y＝0，
∴D（﹣2，0），
∴CD垂直x轴于点D，
∴S△ABC＝S△ADC+S△BCD＝×4×（2+2）+×4×（4﹣2）＝8+4＝12．
21.证明：（1）连接OE．
∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB．
∴∠OEB＝∠C，
∴OE∥AC．
∴∠OEF+∠AFE＝180°．
∵EF⊥AC于点F，
∴∠EFA＝90°．
∴∠OEF＝90°，
∴OE⊥EF．
∵OE⊥EF于点E，OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）如图3，连接AE，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，且AB＝AC，
∴BE＝CE＝3，
∵EC＝DE，EF⊥AC，
∴CF＝DF＝CD＝1，
∵∠B＝∠C，∠AEB＝∠EFC＝90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴，
∴
∴AB＝9，
∴⊙O的半径OA＝．
（1）证明：在矩形ABCD中，点O为对角线AC中点，点E为AD边上一点，连接EO并延长交BC于点F；四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线对称
∴∠HEF＝∠EFB，
∴∠EFB＝∠EFH，
∴∠HEF＝∠EFH，
∴EH＝FH；
（2）解：∵点O为AC中点，
∴OA＝OC，
∵，
∴设OG＝3k，OA＝OC＝7k，
∴AG＝OA+OG＝10k，CG＝OC﹣OG＝7k﹣3k＝4k，
∵AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
①∵AD∥BC，
∴△CFG∽△AHG，
∴，
∵，
∴设CF＝2x，AH＝5x，
∵AE＝CF，
∴AE＝CF＝2x，
∴EH＝AH﹣AE＝5x﹣2x＝3x，
由（1）知，EH＝FH，
∴EH＝FH＝3x，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当△CHF为等腰三角形时，
由①知，CF＝2x，HF＝3x，
∴CF≠HF，
分以下两种情况讨论：
当HF＝HC＝3x时，如图1，过点H作HT⊥CF于T，
∴，
∵∠D＝∠DCT＝∠HTC＝90°，
∴四边形DCTH是矩形，
∴CT＝DH＝1，即x＝1，
∴HF＝3x＝3，
∴HF＝HC＝3，
在Rt△CDH中，；
当CF＝HC＝2x时，如图2，过点H作HR⊥CF于R，
∵∠D＝∠DCR＝∠HRC＝90°，
∴四边形DCRH是矩形，
∴CR＝DH＝1，HR＝CD，
∴FR＝CF﹣CR＝2x﹣1，
在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD2＝CH2﹣DH2＝（2x）2﹣12＝4x2﹣1，
在Rt△HFR中，由勾股定理得：HR2＝HF2﹣FR2＝（3x）2﹣（2x﹣1）2，
∵HR＝CD，
∴HR2＝CD2，即（3x）2﹣（2x﹣1）2＝4x2﹣1，
解得：x1＝0，x2＝﹣4，不合题意，舍去，
∴此种情况不成立；
H点可以在AD的延长线上，这时CF＝CH，
综上所述，．
23.解：（1）由题意得：-1-b+c=0-9+3b+c=0，
解得：b=2c=3，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点E作EH⊥y轴于点H，由抛物线的表达式知，点C（0，3），则点D（0，﹣3），
则CD＝6，
则S△CDE＝12=12×CD×EH，
则EH＝4，
则点E（4，﹣5）；
（3）①令y＝﹣x2+2x+3＝0，则x＝﹣1或3，
则点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），则抛物线的对称轴为直线x＝1，
由点D、E的坐标得，直线DE的表达式为：y=-12x﹣3，
当x＝1时，y=-72，
则顶点的坐标为：（1，-72）；
设新抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2-72，
把（3，0）代入上式得：0＝a（3﹣1）2-72，
解得：a=78，
当x＝0时，y=78（x﹣1）2-72=-218，
即m=-218；
②根据图象知，当m≥3或m＜﹣3时，新抛物线与线段DE只有一个公共点；
设新抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+k．
将点A、P的坐标代入抛物线表达式得：0＝a（﹣1﹣1）2+k、m＝a（0﹣1）2+k，
即a=-13m，k=43m，
则新抛物线的表达式为：y=-13mx2+23mx+m，
联立上式和y=-12x﹣3并整理得：﹣2mx2+（4m+3）x+6m+18＝0，
则Δ＝（4m+3）2+8m（6m+18）＝0，
解得：m=-95-2116（不合题意的值已舍去），
综上，m的取值范围为：m≥3或m＜﹣3或-95-2116．