江西省九江市第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

这是一份江西省九江市第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．总体由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成. 利用下列随机数表，从20个体中选取6个体选取方法；从随机数表的第1行第5列开始，从左至右依次选取两个数字（作为个体编号），则选出的第6个个体编号是（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 0807 3623 4869 6938 7481
A．08B．04C．02D．01
3．已知，则的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
4．某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数 ，则满足的 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A．B．C．5D．6
8．已知定义在 上的函数 满足 ，对任意的 ，且 ，恒成立，则不等式的解集（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ）

A．这10年粮食年产量的极差为15
B．这10年粮食年产量的平均数为33
C．这10年粮食年产量的中位数为29
D．前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
10．已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的取值范围是
B．若的值域为，则的取值范围是
C．若，则的单调减区间为
D．若在上单调递减，则的取值范围是
11．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为，平均数为;去掉的两个数据的方差为，平均数为﹔原样本数据的方差为，平均数为，若=，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D．剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
12．已知函数，则方程的根的个数可能为（ ）
A．2B．6C．5D．4
三、填空题
13．= .
14．若函数，且的图象过定点 A，且点 A在幂函数 上，则 .
15．某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题. 已知甲家庭回答正确这道题的概率是 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 .乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，则甲、乙、丙三个家庭中恰好有2个家庭回答正确这道题的概率为 .
16．已知函数，若方程有4个不同的实根，，，且，则 .
四、解答题
17．已知函数的定义域为集合A，集合.
(1)若，求;
(2)若，求实数的取值范围.
18．已知函数 是定义域为的奇函数.
(1)求并判断 的单调性；
(2)解关于 的不等式.
19．某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图求样本中分位数；
(2)已知样本中男生与女生的比例是 ，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为14，请计算样本的方差.
20．设函数.
(1)若不等式有解，求实数的取值范围；
(2)设，求在上的最小值，并求此时的值.
21．已知函数且.
(1)当 时，求函数 的值域；
(2)已知 ，若 ，使得 求实数的取值范围.
22．甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局.
(1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；
(2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率.
参考答案：
1．A
【解析】解出集合B,再求集合A与集合B的公共部分即可得交集.
【详解】
或
故选：A.
2．B
【分析】根据随机数表的规则确定．
【详解】从随机数表的第1行第5列开始选，
个体编号依次为：08，02，14，07，02（重复，剔除），01，04，
第6个编号为04，
故选：B．
3．A
【分析】根据题意，利用指数函数的性质，求得不等式的解集，结合选项，以及必要不充分条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，即，解得，
结合选项，可得的一个必要不充分条件为.
故选：A.
4．D
【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率公式求解即得.
【详解】九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面分别记为，
两位参赛博主任选一个主题的试验的样本空间
，共25个样本点，
两位参赛博主抽到不同主题的事件
，共20个样本点，
所以两位参赛博主抽到不同主题的概率为.
故选：D
5．D
【分析】由对数函数、指数函数以及幂函数的单调性即可比较大小.
【详解】在上是增函数，
，
在R是减函数，在上是增函数，
，
.
故选：D.
6．C
【分析】先确定函数的奇偶性与单调性，然后由奇偶性和单调性解不等式．
【详解】由已知，∴是偶函数，
又时，是增函数，
所以不等式化为，则，解得，
故选：C．
7．C
【详解】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．
8．A
【分析】设，已知不等式化为，得出在上是减函数，利用此单调性解不等式即可．
【详解】因为，已知式两边同除以后可化为，
设，因此，
所以当时，，因此在上是减函数，
不等式化为，即，
所以，解得．
故选：A．
【点睛】方法点睛：在已知式出现关于定义域内和的不等式时，一般可转化得出（或就是已知不等式）或，由此可得函数是增函数（如果不等号是小于号，则函数是减函数），这样可利用函数的单调性求解其他问题．
9．AC
【分析】由折线图提供的数据进行计算估值判断．
【详解】由折线图知最大值是40，最小值是25，极差是15，A正确；
平均值为，B错；
10年数据按从小到大排序为：，中位数为，C正确；
前5年数据波动比后5年数据波动要小，因此前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差，D错．
故选：AC．
10．ABD
【分析】由恒成立判断A，由有解判断B，结合对数函数的单调性求减区间判断C，由对数函数性质判断D．
【详解】选项A，恒成立，，解得，A正确；
选项B，有解，因此，解得或，B正确；
选项C，时，，由得或，因此其减区间是，C错；
选项D，在上单调递减，则，解得，D正确．
故选：ABD．
11．ABD
【分析】对于A选项，求出剩下的28个样本数据的和、去掉的两个数据和、原样本数据和，列出方程即可；
对于B选项，写出和的表达式即可；
对于C选项，根据中位数定义判断即可；
对于D选项，根据分位数定义判断即可.
【详解】A. 剩下的28个样本数据的和为，去掉的两个数据和为，原样本数据和为，所以，因为=，所以，故A选项正确；
B.设，，
因为，所以，所以，
所以，故B选项正确；
C. 剩下28个数据的中位数等于原样本数据的中位数，故C选项错误；
D. ，所以原数据的22%分位数为从小到大的第7个；
，所以剩下28个数据的22%分位数为从小到大的第7个；
因为去掉了最小值，则剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数，故D正确.
故选：ABD.
12．ACD
【分析】先画出的图象，再讨论方程的根，求得的范围，再数形结合，得到答案.
【详解】画出的图象如图所示：
令，则，则，
当，即时，，此时，由图与的图象有两个交点，
即方程的根的个数为2个，A正确；
当时，即时，，则
故，，
当时，即，则有2解，
当时，若，则有3解；若，则有2解，
故方程的根的个数为5个或4个，CD正确；
故选：ACD
【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.
13．1
【分析】根据给定条件，利用指数、对数运算求解即得.
【详解】.
故答案为：1
14．
【分析】求出幂函数解析式，根据指数函数的性质求得定点坐标，代入幂函数解析式可得．
【详解】是幂函数，则，∴，
中，令，得，，∴定点为，
∴，又，∴．
故答案为：．
15．
【分析】甲、乙、丙三个家庭回答正确的概率分别记为，然后利用独立事件和对立事件的概率公式求得及结论．
【详解】甲、乙、丙三个家庭回答正确的概率分别记为，
由题意，，，，，
所以甲、乙、丙三个家庭中恰好有2个家庭回答正确这道题的概率是
．
故答案为：．
16．14
【分析】画出和的图象，根据图像，结合对数运算以及对称性即可求出结果.
【详解】，其图像如图所示，
因为方程有4个不同的实根，，，且，
即与有四个不同的交点，
由图知，，得到，即，变形得到，
又当时，，其对称轴为，所以，
故，

故答案为：.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）求出集合A，把代入并求出集合B，再利用补集、并集的定义求解即得.
（2）利用交集的结果，结合集合的包含关系列式求解.
【详解】（1）函数有意义，则，解得，即，
当时，解不等式，得，则，，
所以.
（2）由（1）知，由，得，而，显然，
当，即时，，于是，解得，则，
当，即时，，显然有，所以，
所以实数的取值范围是.
18．(1)，在上单调递减；
(2)．
【分析】（1）由求得，并检验其为奇函数，然后由单调性定义证明；
（2）利用奇偶性与单调性化简不等式后再求解．
【详解】（1）由题意，，
此时，，是奇函数，
设任意两个实数满足，
则，
因为，所以，所以，又，
所以，即，
所以在上单调递减；
（2）因为是奇函数，因此原不等式化为，
又在上单调递减，所以不等式化为，即，
所以，又，故解得，
所以原不等式的解集为．
19．(1)
(2)．
【分析】（1）根据频率，确定分位数，在区间上，设其为，然后按比例计算可得；
（2）先求出总样本的均值，再根据方差公式计算．
【详解】（1）根据频率分布直方图知分位数，在区间上，设其为，
则，解得，
所以样本中分位数是：．
（2）总样本的均值为，
设男生个体依次为，女生个体依次为，
则，，
，
，
总体样本方差为，其中
同理，
所以总样本的方差为，
故总样本的方差为．
20．(1)；
(2)，.
【分析】（1）根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最大值即得.
（2）换元并借助单调性求出新元范围，利用二次函数求出最小值.
【详解】（1）不等式有解，即有解，
而，则，当且仅当，即时取等号，
所以实数的取值范围是.
（2）函数，则，
令，则，显然函数在上都递增，
则函数在上单调递增，
函数，，显然函数在上单调递减，在上单调递增，
因此当时，，此时，解得，
所以在上的最小值是，此时.
21．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用基本不等式求得的最小值，得出其取值范围后可得函数值域；
（2），使得 因此，因此只要分别求得在各自范围内的最小值，然后解相应不等式可得．
【详解】（1）由题意，
，当且仅当即时等号成立，
所以，从而，
所以的值域是；
（2）若，使得 因此，
．，则，
所以时，，
由（1）知当时，时，，
，解得，
当时，,易知函数为偶函数，
结合对勾函数性质知在上递增，在递减，
，
，无解，
综上，的取值范围是．
【点睛】结论点睛：本题涉及不等式的恒成立，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据独立事件的概率公式进行求解即可；
（2）分析比赛情况，根据和事件的概率公式进行求解即可.
【详解】（1）由题可知，甲、乙、丙各旁观1局只需讨论前两局的胜负情况，可分为：
甲胜乙、丙胜甲；乙胜甲，丙胜乙.
设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件，，，则，，相互独立，
设比赛完3局时，甲、乙、丙各旁观1局为事件，则，
则，
所以甲、乙、丙各旁观1局的概率为.
（2）设甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件，，，，
设比赛完5局甲获得最终胜利为事件，则
，
，
，
，
，
，
所以.
所以，已知比赛进行5局后结束，甲获得最终胜利的概率为 .