8_8、辽宁省大连市第二十四中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题（解析版）

这是一份8_8、辽宁省大连市第二十四中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，且，则（ ）
A. 0.3B. 0.4C. 0.85D. 0.7
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态分布的性质计算可得；
【详解】解：因为，正态曲线的对称轴为，因为，所以，所以
故选：D
2. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，由合而为一”.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若，且，则解下个环所需要的最少移动次数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用的通项公式，依次求出，从而得到，即可得到答案．
【详解】由于表示解下个圆环所需的移动最少次数，满足，且
所以，，
故，所以解下4个环所需的最少移动次数为7，
故选：C.
3. 等差数列前项和为， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将化成和的形式，得到二者关系，求得，利用求得结果.
【详解】
，即
故选：C.
【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：
（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子；
（2）化简求得数列的某一项；
（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果.
4. 设为等差数列的前项和，．若，则（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是
C. 的最大值是D. 的最小值是
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列求和公式整理可得，确定为递增数列；根据可判断数列前项为负，由此得到结果.
【详解】由得：，整理可得：，
等差数列为递增数列，又，，，
当且时，；当且时，；
有最小值，最小值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列前项和的最值问题，解题关键是能够确定等差数列中由负变正或由正变负的项.
5. 已知，，则数列的通项公式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将化为，然后用累乘法求解.
【详解】由得：，即，
则，，，……..，，
由累乘法可得，又因为，所以.
故选：A.
6. 接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有人接种了这种疫苗，则最多人被感染的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】最多人被感染即4人没有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率求解.
【详解】由题得最多人被感染的概率为.
故选：A
【点睛】方法点睛：求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率）的哪一种），再定量.
7. 设正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据可得，然后由可得公比，最后可得结果.
【详解】设等比数列的公比为且
由，所以
又，则
所以
即，所以
故选：A
8. 已知是上的奇函数，，，则数列的一个通项公式为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式．
【详解】由题已知是上的奇函数，
故，
代入得：，
∴函数关于点对称，
令，
则，
得到，
∵，
，
倒序相加可得，
即，
故选：A．
【点睛】思路点睛：利用函数的性质以及倒序相加法求数列的通项公式问题.
先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再用换元法得到，最后利用倒序相加法求解数列的通项公式．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. 设数列的前项和为，若为常数，则称数列为“吉祥数列”.则下列数列为“吉祥数列”的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】按照求和方法对各个选项逐一求和验证即可得出结论.
【详解】对于A，，，，
所以不为常数，故A不正确；
对于B，由并项求和法知：，，，故B正确；
对于C，，，，
所以，故C正确；
对于D，，，，
所以不为常数，故D错误；
故选：BC.
10. 针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生有可能（ ）
附：
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先设男生人数，，列出列联表，利用独立性检验计算观测值，再结合观测值列关系即得答案．
【详解】解：由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：，，由题意可列出列联表：
．
由于有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，
所以；
解得：，因为，
故的可能取值为：9、10、11、12、13，即男生的人数可以是45，50，55，60，65.
则选项中被调查学生中男生的人数可能45或60．
故选：BC.
11. 设数列，的前项和分别为，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则数列为等差数列
B. 若，则数列为等比数列
C. 若数列是等差数列，则，，成等差数列
D. 若数列是等比数列，则，，成等比数列
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，C，利用等差数列的定义判断即可，对于B，D，通过举反例判断
【详解】解：对于A，由等差数列的定义可知当时，数列为等差数列，所以A正确；
对于B，当时，满足，但数列不是等比数列，所以B错误；
对于C，数列是等差数列，数列的前项和为，
则，
，
所以，所以，，成等差数列，所以C正确；
对于D，当等比数列的公比，为偶数时，，，均为零，所以，，不成等比数列，所以D错误，
故选：AC
12. 现有一款闯关游戏，共有关，规则如下：在第关要抛掷骰子次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，.假定每次闯关互不影响，则（ ）
A. 直接挑战第关并过关的概率为
B. 连续挑战前两关并过关的概率为
C. 若直接挑战第关，设 “三个点数之和等于”， “至少出现一个点”，则
D. 若直接挑战第关，则过关的概率是
【答案】ACD
【解析】
【分析】分别求出基本事件的总数，求出符合条件的事件数，然后利用条件概率以及古典概型的概率公式进行求解，对每个选项逐一判断即可．
【详解】解：对于，直接挑战第2关，则，
所以投掷两次点数之和应大于6，
故直接挑战第2关并过关的概率为，故选项正确；
对于，闯第1关时，，
所以挑战第1关通过的概率为，
则连续挑战前两关并过关的概率为，故选项错误；
对于，由题意可知，抛掷3次的基本事件有个，
抛掷3次至少出现一个5点的基本事件共有个，
故，
而事件包括：含5，5，5的1个，含4，5，6的有6个，一共有7个，
故，所以，故选正确；
对于，当时，，基本事件共有个，
“4 次点数之和大于20”包含以下情况：
含5，5，5，6的有4个，含5，5，6，6的有6个，含6，6，6，6的有1个，含4，6，6，6的有4个，
含5，6，6，6的有4个，含4，5，6，6的有12个，含3，6，6，6的有4个，
所以共有个，
所以直接挑战第4关，则过关的概率是，故选项正确．
故选：．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的，，，，这四条流水线的合格率依次为，，，，现在从出厂产品中任取一件，则恰好抽到不合格的概率是_________.
【答案】
【解析】
【分析】先得到四条流水线的不合格率，再根据四条流水线所占的比重计算概率即可.
【详解】依题意知，这四条流水线的不合格率依次为，，，，
故恰好抽到不合格的概率为.
故答案为：.
14. 已知数列的首项，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分别求得，得出数列是以为周期的周期数列，结合周期性，即可求解.
【详解】由，则，
以此类推可知，对任意的，都有，
即数列是以为周期的周期数列，
因为，所以.
故答案为：.
15. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求，，根据条件概率和全概率公式可得，代入计算即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以由全概率公式可得，
因
所以.
故答案为：.
16. 已知数列满足，且，，，设，则_________； _________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先利用定义判断数列是等差数列，求出基本量写出通项公式，再根据利用累加法求得即可.
【详解】依题意，时，，
所以数列是等差数列，公差为2，首项为，
所以；
，所以
，
相加可得，而，
所以，经检验也适合该式，故.
故答案为：；.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知等比数列的公比为，且，等差数列数列的公差为，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求.
【答案】（1），， （2）
【解析】
【分析】（1）先由求出，从而可求出等比数列的通项公式，从而可得的值，则可求出，从而可得的通项公式；
（2）由（1）可得,然后利用错位相减法求
【详解】解：（1）因为等比数列的公比为，且，
所以，，
因为，所以，所以，
所以，
因为等差数列数列的公差为，所以，得，
所以，
（2）由（1）得，
所以，
所以，
两式相减得，
，
所以
18. 张先生到一家公司参加面试，面试的规则是；面试官最多向他提出五个问题，只要正确回答出三个问题即终止提问，通过面试根据经验，张先生能够正确回答面试官提出的任何一个问题的概率为，假设回答各个问题正确与否互不干扰．
（1）求张先生通过面试的概率；
（2）记本次面试张先生回答问题的个数为，求的分布列及数学期望
【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为．
【解析】
【分析】(1)利用互斥事件的概率加法即得；(2)利用二项分布写出分布列．
【详解】解：记张先生第i次答对面试官提出的问题为事件，则，张先生前三个问题均回答正确为事件；前三个问题回答正确两个且第四个又回答正确为事件，前四个问题回答正确两个且第五个又回答正确为事件，张先生通过面试为事件．则
根据题意，得
因为事件互斥，所以
即张先生能够通过面试的概率为
根据题意，
表明前面三个问题均回答错误(淘汰)或均回答正确(通过)，
所以
表明前面三个问题中有两个回答错误且第四个问题又回答错误(淘汰)，或者前面三个问题中有两个回答正确且第四个问题回答正确(通过)，
所以
表明前面四个问题中有两个回答错误、两个回答正确，
所以
所以的分布列为：
故
19. 已知各项均为正数的数列，其前n项和为，数列为等差数列，满足，.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求解下列问题：
（I）求数列的通项公式和它的前n项和；
（II）若对任意不等式恒成立，求k的取值范围.
条件①
条件②，当，，
注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）选①，；；选②，，
（II）选①，；选②，
【解析】
【分析】（I）选①，根据与的关系求出通项公式，再利用等差数列的前项和公式即可求解； 选②，利用等差数列的通项公式以及前项和公式即可求解.
（II）选①，分离参数可得，求出最大值即可；选②，分离参数可得，利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】（I）选①，由，
则，，两式相减可得

，
又，所以，即，
所以数列为等差数列，
当时，，
所以，
所以；
选②，，当，，，
，所以当时，数列为等差数列，
所以时，，
所以，

（II）数列等差数列，，，
则公差，
所以.
若对任意不等式恒成立，
若，则恒成立，，
所以，
若，则恒成立，，
因为，所以，
当且仅当时取等号，所以
20. “硬科技”是以人工智能､航空航天､生物技术､光电芯片､信息技术､新材料､新能源､智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入､持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿.在华为的影响下，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x(单位：千万元)对年销售量y(单位：千万件)的影响，统计了近10年投入的年研发费用x，与年销售量()的数据，得到如图所示的散点图.
（1）利用散点图判断，和(其中a，b，c，d为大于0的常数)哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型；(只要给出判断即可，不必说明理由)
（2）对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：
其中令，.
根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程，并预测投入的年研发费用28千万元时的年销售量；
（3）从这10年的数据中随机抽取3个，记年销售量超过30(千万件)的个数为X，求X的分布列和数学期望.
参考数据和公式：，.对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
【答案】（1）更适合；（2）回归方程为，预报值(千万件)；（3）分布列见解析，期望为.
【解析】
【分析】
（1）由散点图知，结合对数函数的图象与性质，即可作出选择；
（2）令，先建立y关于w的线性回归方程，结合公式，求得的值，求得回归方程，并作出预测；
（3）根据题意，得出的取值，求得相应的概率，列出分布列，根据期望的公式，即可求解.
【详解】（1）由散点图知，结合对数函数的图象与性质，选择回归类型，更适合；
（2）令，先建立y关于w的线性回归方程，
由，则，
所以y关于w的线性回归方程为，
因此y关于x的回归方程为，
当年研发费用28千万元，即时，
年销售量y的预报值(千万件).
（3）由散点图可知这10年的数据中，年销售量超过30(千万件)的个数有4个，
所以的取值为0，1，2，3，
；；；
，
则随机变量的分布列为
所以.
【点睛】求随机变量的期望与方差的方法及步骤：
1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；
2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；
3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；
4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.
21. 在数列，中，，，且，.
（1）求，的值；
（2）求的通项公式；
（3）设，记的前n项和为，证明：.
【答案】（1），；（2）；（3）见详解.
【解析】
【分析】
（1）根据题中条件，得到，求出，，进而可得；
（2）根据题中条件，得到，推出数列是以为公比的等比数列，进而可求出通项公式；
（3）由（2）先得，利用裂项相消的方法求出，进而可得结论成立.
【详解】（1）因为，， 所以，
又，，所以，解得，
所以；
（2）由可得，即，
又，所以，则数列是以为公比的等比数列，
又，所以；
（3）由（2）可得，
因此前n项和为
因为，所以，则，
又显然单调递增，
所以，
综上.
【点睛】结论点睛：
裂项相消法求数列和的常见类型：
（1）等差型，其中是公差为的等差数列；
（2）无理型；
（3）指数型；
（4）对数型.
22. 某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.
（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；
（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.
①求的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.
【答案】（1）；；（2） ①；②甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
【解析】
【分析】（1）计算一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，利用排列与组合计算当集齐，，玩偶的所有情况总数，然后得到；利用正难则反思想，先计算一次性买个乙系列盲盒不能集齐，玩偶的概率，再利用计算即可；
（2）①由题意可得，当时，，利用构造法求出数列的通项公式；②假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则根据题意可知，利用二项分布数学期望的计算公式得出购买甲的人数，从而得出购买乙的人数，根据一天中购买甲、乙的人数确定每天应准备甲、乙两种盲盒的个数.
【详解】解：（1）若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，集齐，，玩偶，则有两种情况：
①其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；
②若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶1个，则共有种结果，
故；
若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为，
故；
（2）①由题可知：，
当时，，则，，即是以为首项，以为公比的等比数列.
所以，即；
②因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于，
假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，
所以，即购买甲系列的人数的期望为，
所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
【点睛】本题考查概率的实际运用，考查概率与数列的综合问题，解答本题的关键在于：
（1）理解题目的意思，将问题灵活转化，利用排列与组合解决（1）中及的计算；
（2）分析清楚与之间的联系，类比已知数列递推关系式求通项公式的方法求解，然后利用的性质解题.
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试卷范围：百强校卷、省前十校卷、联考卷、统考卷、市区卷
2. 试卷类别：仅限高一、高二的新学年、新学期月考、期中、期末卷
联系人：李老师：13810445359（同微信） 康老师：13810475358（同微信）
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女生
合计
喜欢锻炼
不喜欢锻炼
合计
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