专题01 集合与常用逻辑用语-备战2025年高中数学学业水平合格考真题分类汇编（全国通用）.zip

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考点一：集合的概念
1．（2023北京）已知集合，定义函数则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系、求分段函数解析式或求函数的值
【分析】由，结合分段函数的解析式可得答案.
【详解】由题意可知，
所以，
故选：B.
2．（2023黑龙江）方程的所有实数根组成的集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】列举法表示集合
【分析】求解一元二次方程的根组成的集合
【详解】解方程，得或，
方程的所有实数根组成的集合为.
故选：C
3．（2021广西）若，则（ ）
A．0B．1C．4D．5
【答案】B
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】由元素与集合的关系即可得出答案.
【详解】因为，则.
故选：B.
4．（2023河北）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．所有直角三角形B．抛物线上的所有点
C．某中学高一年级开设的所有课程D．充分接近的所有实数
【答案】D
【知识点】判断元素能否构成集合
【分析】根据集合所具有的性质逐一判断即可得出结论.
【详解】A，B，C中的对象具备互异性、无序性、确定性，而D中的对象不具备确定性．
故选：D．
5．（2022江苏）已知集合，则A中元素个数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【知识点】列举法求集合中元素的个数
【分析】由列举法即可判断
【详解】，共有9个元素.
故选：B
6．（2022广西）已知M是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M可表示为（ ）
A．{x|x=1}B．{x|x=2}C．{1，2}D．{1，2，3}
【答案】D
【知识点】列举法表示集合
【分析】根据集合的知识确定正确选项.
【详解】由于集合是由三个元素构成，
所以.
故选：D
7．（2020广西）设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于（ ）
A．{长江，黄河}B． {长江，黑龙江}
C． {长江，珠江}D． {长江，黄河，黑龙江，珠江}
【答案】D
【知识点】列举法表示集合
【分析】根据集合的概念及表示即得.
【详解】∵M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，
∴M ={长江，黄河，黑龙江，珠江}.
故选：D.
8．（2023河北）设集合，，，则中的元素个数为 ．
【答案】4
【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数
【分析】求出所有的值，根据集合元素的互异性可判断个数.
【详解】因为集合中的元素，，，所以当时，，2，3，此时，6，7．当时，，2，3，此时，7，8．
根据集合元素的互异性可知，，6，7，8．即，共有4个元素．
故答案为：4．
9．（2023上海）“ntebks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是
【答案】7
【知识点】集合元素互异性的应用、利用集合中元素的性质求集合元素个数
【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素.
【详解】根据集合中元素的互异性，“ntebks”中的不同字母为“n，，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7；
故答案为：7.
10．（2023高北京）已知数集含有（）个元素，定义集合．
(1)若，写出；
(2)写出一个集合，使得；
(3)当时，是否存在集合，使得？若存在，写出一个符合条件的集合；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析.
【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义
【分析】（1）根据集合的新定义，写出中元素即可得解；
（2）根据条件分析集合中元素即可得解；
（3）根据题意可得不存在，利用反证法证明即可.
【详解】（1）因为，，
所以为中元素，
故.
（2）取，此时，
满足.
（3）当时，不存在集合，使得.
（反证法）
假设时，存在集合，使得，
不妨设，且，
则，
所以为中7个不同的元素，
所以，
由解得.
此时，与矛盾，
所以假设不成立，
故不存在这样的集合.
考点二：集合间的基本关系
1．（2023重庆）设，集合，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据集合的包含关系求参数、求对数函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式
【分析】求出集合、，利用集合的包含关系可求得实数的取值范围.
【详解】因为或，，
又因为，则.
故选：C.
2．（2023广东）已知， 设集合， ，则（ ）
A．​B．​
C． ​D．​
【答案】D
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系
【分析】先求出全集，从而判断四个选项的正误，可得答案.
【详解】由题意，,
得,
故，A错误；,故B错误，
，故属于集合间符号使用不正确， C错误，
,D正确，
故选：D
3．（2022浙江）已知集合， 若， 则 （ ）
A．3B．4C．D．
【答案】D
【知识点】根据两个集合相等求参数
【分析】依题意可得，且，即可得到和为方程的两个实数根，从而得解；
【详解】解：因为且，
所以，且，
又，
所以和为方程的两个实数根，
所以；
故选：D
考点三：集合的基本运算
1．（2024福建）集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】交集的概念及运算
【分析】由交集的运算求解即可；
【详解】由题意可得，
故选：B.
2．（2022河北）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】补集的概念及运算
【分析】直接由补集的定义即可求解.
【详解】若全集，集合，则.
故选：D.
3．（2024江苏）已知集合，则的真子集个数为（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【答案】C
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、余弦函数图象的应用、由标准方程确定圆心和半径
【分析】作出几何图形，确定的元素个数即可得解.
【详解】集合是坐标平面内，以原点为圆心，2为半径的圆上的点的集合，
集合是坐标平面内，函数图象上的点的集合，
在同一坐标系内作出圆及函数的部分图象，如图，

观察图象知，圆及函数的图象有3个公共点，
所以有3个元素，共有个真子集.
故选：C
4．（2024安徽）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】先解一元二次不等式，再结合交集求解.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
5．（2024云南）已知集合，若有且仅有3个不同元素，则的值可以为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、由指数函数的单调性解不等式
【分析】先求出集合，然后结合集合的交集运算即可求解．
【详解】因为集合，
若有且仅有3个不同元素，则这3个元素为3，2，1，
故，即．故可取1，
故选：A．
6．（2024浙江）设全集，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】补集的概念及运算
【分析】根据补集的定义计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：B
7．（2024湖南）已知集合，，若，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】A
【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数
【分析】根据集合的交集求解即可.
【详解】因为，，
所以，故.
故选：A
8．（2024广东）已知集合，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据交集概念求出答案.
【详解】.
故选：A
9．（2023新疆）设全集，集合，，则 .
【答案】
【知识点】交并补混合运算
【分析】确定，再计算并集得到答案.
【详解】，，则，
，则.
故答案为：.
10．（2023河北）已知集合，集合，且，则 ， ．
【答案】 1
【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据不等式解法可解得集合，再利用交集结果以及一元二次不等式与一元二次方程的关系即可求得的值.
【详解】由可得；
由可得
∵，∴是方程的根，
则，可得
∵，∴，
则．
故答案为：，1
11．（2022广东）已知集合，，．
(1)求；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、由指数函数的单调性解不等式
【分析】（1）解指数不等式，确定集合B，即可得出答案；
（2）由得出，列式求解即可.
【详解】（1），
所以，又，
所以.
（2）∵，∴，
由（1）得，又，
∴，解得，
∴的取值范围为.
12．（2023北京）给定正整数，设集合．对于集合M的子集A，若任取A中两个不同元素，，有，且，，…，中有且只有一个为2，则称A具有性质P．
(1)当时，判断是否具有性质P；（结论无需证明）
(2)当时，写出一个具有性质P的集合A；
(3)当时，求证：若A中的元素个数为4，则A不具有性质P．
【答案】(1)A不具有性质P；
(2)；
(3)证明见解析.
【知识点】集合的应用、集合新定义
【分析】（1）根据题设新定义即可判断；
（2）根据定义即可写出；
（3）若A中的元素个数为4，假设A具有性质P，设，然后根据条件推出矛盾，进而即得.
【详解】（1）根据题设定义可知不具有性质P；
（2）当时，，，且，，中有且只有一个为2，满足性质P；
（3）当时，若A中的元素个数为4，假设A具有性质P，
即任取A中两个不同元素，，
有，①
，，，中有且只有一个为2．②
设；则．
当时，由①得，不满足②，矛盾．
当时，由①得，
由②得与不同时在A中；与不同时在A中；与不同时在A中，所以A中元素个数至多为3，矛盾．
当时，由①得，不满足②，矛盾．
当或时，不满足A中的元素个数为4，矛盾．
所以假设不成立，即A不具有性质P．
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.
13．（2023河北）已知全集，集合，．求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)或
【知识点】交集的概念及运算、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】（1）根据不等式的运算得出集合与，再根据集合的交集运算得出答案；
（2）根据集合的交并补混合运算直接得出答案.
【详解】（1）由，可得，
所以．
由可得，且，解得，
所以，
所以．
（2）因为或，
所以或.
考点四：充分条件与必要条件
1．（2024北京）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件
【分析】判断两个命题的关系，当时，是充分条件；当时，是不充分条件；当时，是必要条件；当时，是不必要条件.
【详解】当时，，∴“”是“”充分条件；
当时，，此时满足要求，而，故不一定成立，∴“”是“”不必要条件.
故选：A.
2．（2023高三上·广西）下列命题中，含有存在量词的是（ ）
A．存在一个直角三角形三边长均为整数B．所有偶函数图象关于y轴对称
C．任何梯形都不是平行四边形D．任意两个等边三角形都相似
【答案】A
【知识点】判断命题是否为特称（存在性）命题
【分析】根据存在量词的含义判断即可.
【详解】“存在”、“有一些”、“某些”等等，这些叫做存在量词.
故选：A.
3．（2023安徽）设命题，，则的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】的否定是:,
故选：A
4．（2023吉林）“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的充分不必要条件
【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断即可.
【详解】因为可以推出，即充分性成立；
但不能推出，例如，即必要性不成立；
综上所述：“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
5．（2023浙江）已知为实数，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、充要条件的证明
【分析】利用分离参数法求出的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可.
【详解】若则
当时，不等式的右边取得最大值1，故充分性成立；
若则时, 当且仅当时取等，
即恒成立，因此，由可以推出，故必要性成立.
综上所述，是的充要条件.
故选：C.
6．（2024福建）命题“”的否定是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
【详解】命题“”为全称量词命题，
其否定为：.
故选：D
7．（2024浙江）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据全称量词命题的否定形式直接求解即可.
【详解】全称量词命题：，它的否定为：.
所以命题“”的否定是“”.
故选：D.
8．（2024湖南）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【知识点】特称命题的否定及其真假判断
【分析】根据特称命题的否定形式的相关知识直接判断.
【详解】命题“，”的否定为“，”，
故选：C.
二、填空题
9．（2024湖南）命题“，”的否定是 .
【答案】，
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据全称命题的否定为特称命题求解即可.
【详解】由全称命题的否定为特称命题可知，
命题“，”的否定是，.
故答案为：，
10．（2023河北）已知命题：实数满足，其中，命题：实数满足．
(1)若，则是的什么条件？
(2)若是的必要条件，求的取值范围．
【答案】(1)是的必要不充分条件
(2)
【知识点】判断命题的必要不充分条件、必要条件的判定及性质
【分析】（1）找到命题、所表示的实数对应的取值集合之间的包含关系，进而得到两个命题之间的关系.
（2）由命题是的必要条件，得到命题、所表示的实数对应的取值集合之间的包含关系，进而求出参数的范围.
【详解】（1）由，得，记集合，
，记集合．
因为B是A的真子集，所以是的必要不充分条件．（注：必要条件也正确）
故是的必要不充分条件．
（2），记集合，
，记集合，
因为是的必要条件，
所以，即 所以．
所以a的取值范围为.