湖南省娄底市涟源市部分学校2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷（Word版附答案）

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1A 2C 3B 4D 5B 6A 7B 8B 9 AD 10 AC 11 BCD
12 -3 13. 224 14
15.【详解】（1）在中，，
又，所以，
由余弦定理得， 又，则.
（2）在中，，，
由余弦定理，得，即，解得或．
当，，时，可构成三角形，此时的面积为；
当，，时，可构成三角形，此时的面积为．
16.【详解】（1）因为为等边三角形，为的中点，
所以． 过作，垂足为，
因为底面为直角梯形，，，，，
所以，则，
由得，所以
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面． 因为平面，所以．
又，平面，所以平面．
（2）由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，过且平行于的直线为轴，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为m=x,y,z，则，令，则， 由（1）可知，轴⊥平面，不妨取平面的法向量为，
则， 故平面与平面夹角的余弦值为．
17．【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得，
由椭圆过点，得，联立解得，
所以椭圆的方程为.
（2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，，则，
由消去得，显然，
则，
的面积
，解得，
所以直线的斜率.

18．【详解】（1）当时，则，，
可得，，即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即；
（2）（ⅰ）因为的定义域为，且，
令，解得；
当时，；当时，；
所以在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值；
（ⅱ）由题意可得：，
因为，所以，构建，，
因为，所以在内单调递增，
因为，不等式等价于，解得，
所以的取值范围为.
19．【详解】（1）因为对任意正整数都有，
故，，
令，可得，所以.
当时，，
当时，，符合上式，所以；
（2）由（1）得，当为偶数时，
当为奇数时，为偶数，
.
综上所述，；
若为偶数，则为奇数，由，得，
解得（舍去）或；
若为奇数，则为偶数，由，得，方程无解，
不合题意，舍去.
综上，所求的值为2.
（3）由
现在我们来证明时，，
令，求导得，
所以在0,+∞上单调递增，所以，
结合当时，，有，
所以.
故
【点睛】关键点点睛：问题的第三问，先化简，得，再证明时，，利用结论，对数列进行放缩，得到，可证结论.