2024~2025学年山东省烟台市蓬莱区(五四制)八年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年山东省烟台市蓬莱区(五四制)八年级(上)期中数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：、，原选项错误，不符合题意；
、，属于因式分解，符合题意；
、，是通过完全平方公式进行运算，不符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
故选：．
2. 计算下列四个算式：①；②；③；④，其结果是分式的是（ ）．
A. ①③B. ①④C. ②④D. ③④
【答案】B
【解析】解：，故①是分式；
，故②不是分式；
，故③不是分式；
，故④是分式；
故选：B
3. 在下列分式中，最简分式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：、，不最简分式，不合题意；
、，不是最简分式，不合题意；
、，不是最简分式，不合题意；
、，是最简分式，符合题意；
故选：D．
4. 下面是昆明市2024年春节8天的空气质量指数（）：
下列说法正确的是（ ）
A. 这8天的空气质量指数的众数是47
B. 这8天的空气质量指数的中位数是49.5
C. 这8天的空气质量指数的平均数是50
D. 这8天的空气质量指数的极差是22
【答案】A
【解析】解：A.这8天的空气质量指数中47出现了3次，次数最多，所以众数为47，
故选项A正确；
B. 从小到大排列这8天的空气质量指数，第4、第5个数据分别是47，47，所以中位数是，
故选项B错误；
C. 这8天的空气质量指数的平均数为：，
故选项C错误；
D. 这8天空气质量指数的极差是，
故选项D错误；
故选：A
5. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列五个字：莱、我、爱、游、蓬．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A. 爱蓬莱B. 我爱游C. 爱我蓬莱D. 我游蓬莱
【答案】C
【解析】解：由，
∵，，，，，分别对应下列五个字：莱、我、爱、游、蓬，
∴呈现的密码信息可能是“爱我蓬莱”，
故选：．
6. 下列约分正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：A、，A选项不符合题意；
B、，B选项符合题意；
C、为最简分式，C选项不符合题意；
D、为最简分式，D选项不符合题意．
故选：B．
7. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A. 或B. C. D. 或
【答案】A
【解析】解：，
去分母得到，
∵关于x的分式方程有增根，
∴是方程 的根，
当时，解得：
当时，解得：
故选：A．
8. 已知a，b，c分别是的三边长，若，则是（ ）．
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 不能确定
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵a，b，c分别是的三边长，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故选：A．
9. 已知非零有理数，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选C．
10. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ）
A. 快马的速度B. 慢马的速度C. 规定的时间D. 以上都不对
【答案】C
【解析】解：快马的速度是慢马的2倍，所列方程为，
表示慢马速度，表示快马的速度；
把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，
表示规定的时间．
故选：C
二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 若分式 有意义，则x应满足的条件为_______．
【答案】且
【解析】解：∵分式 有意义，
∴，
∴，
∴且，
∴且，
故答案为：且．
12. 知，则代数式的值为_____________．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 一组数据1，3，5，x的平均数与中位数相同，则x的值是_____________．
【答案】或3或7
【解析】解：由题意得，这组数据的平均数为，
当时，这组数据的中位数为，
∴，
解得；
当时，这组数据的中位数为，
∴，
解得；
当时，这组数据的中位数为，
∴，
解得；
综上所述，x的值是或3或7．
故答案：或3或7．
14. 若a，b互为倒数，且，则分式 的值为_______________．
【答案】
【解析】解：∵a，b互为倒数，
∴，
∴
，
故答案为：．
15. 已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为______．
【答案】20
【解析】解：∵当时分式无意义，
∴，
∴；
∵当时，分式的值为，
∴，
∴；
∴分式为，
∴根据表格可知：，，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴，
故答案为：．
16. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____．
【答案】1或
【解析】解：去分母得：x-3a=2a（x-3），
整理得：（1-2a）x=-3a，
当1-2a=0时，方程无解，故a=；
当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，
则a=1，
∴关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．
故答案为：1或．
三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程）
17. 把下列各式分解因式：
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
18. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力． 因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法—拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式转化为已学过的知识进行分解．
例题：用拆项补项法分解因式
解：添加两项
原式
请你结合自己的思考和理解完成下列各题：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：．
解：（1）
；
（2）
．
19. 计算：
（1）；
（2）.
解：（1）原式
；
（2）原式
．
20. 先化简后求值： 其中满a足
解：
，
∵，
∴，
∴原式．
21. 已知的值为正整数，求整数x的值．
解：
∵的值为正整数，
∴或2，
∴或5．
22. 为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：表中的________，________，________；
（2）该校九年级学生共有1900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？
（3）求九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差m，并比较八、九年级那个年级成绩更稳定？
解：（1）∵九年级得8分的人数14人，人数最多，
∴；
把八年级竞赛成绩按照从低到高的顺序排列处在第25名和第26名的成绩分别为8分，8分，
∴；
八年级平均成绩,
故答案为：8；8；8。
（2）人，
∴估计满分有228人；
（3），
∵，
∴九年级成绩更稳定。
23. 解方程：
（1）；
（2）．
解：（1）两边同乘得：



，
经检验：把代入，
∴是原方程的解．
（2），
两边同乘以去分母，得，
即，
整理得：
解得，
经检验，是分式方程的解，
故分式方程的解为；
24. 中国是世界文明古国之一．数学是中国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
（1）求《孙子算经》、《周髀算经》两种图书的单价分别为多少元？
（2）国际数学节是为了纪念中国古代数学家祖冲之而设立的节日．为筹备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
解：（1）设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
（2）设购买m本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，
根据题意得：，解得：．
设购买这两种图书共花费w元，则，
∴，
∵，
∴w随m的增大而减小，
又∵，且m为正整数，
∴当时，w取得最小值，此时．
答：当购买53本《孙子算经》27本《周髀算经》时，总费用最少．
25. 发现：（1）；（2）；（3）…
尝试：直接写出第n个式子____________________________；（用含n的代数式表示）
论证：请证明你在“尝试”中猜想的等式成立；
应用：请利用上述规律解方程：
解：尝试：∵（1）；（2）；（3）…
∴第n个式子为：，
故答案为：；
论证：右边左边，
∴；
应用：解方程：
∴
∴
∴
∴
∴.
经检验：当时，或，
所以，原方程无解.
日期
2月10日
2月11日
2月12日
2月13日
2月14日
2月15日
2月16日
2月17日
46
47
47
42
57
50
69
47
x的取值
4
a
16
分式的值
无意义
0
0.1
b
众数
中位数
平均数
方差
八年级竞赛成绩
7
b
c
九年级竞赛成绩
a
8
8
m