浙江省杭州市上城区建兰中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷-A4

这是一份浙江省杭州市上城区建兰中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．3
2．（3分）下列事件中属于必然事件的是（ ）
A．a是实数，则|a|＞0
B．在一个只装有白球的袋子中摸出一个白球
C．杭州明天是阴天
D．抛投一枚骰子，则上面的点数是6
3．（3分）二次函数y＝（x﹣2）（x+3）图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝2B．直线x＝﹣3C．直线x＝D．直线x＝﹣
4．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则BC的值为（ ）
A．3﹣B．1+C．﹣1D．﹣2
5．（3分）如图，⊙O的半径为5，直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边与圆交于点B、C，则弦BC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（3分）若抛物线y＝a（x+1）2+3a（a＞0）上有A（﹣2.5，y1），B（3，y2）和C（1.2，y3）三点，则y1，y2和y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1
7．（3分）如图，升国旗时，某同学站在离国旗20米处行注目礼，当国旗升至顶端时，该同学视线的仰角为α，已知双眼离地面为1.6米，则旗杆AB的高度为（ ）
A．（1.6+20sinα）米B．（1.6+）米
C．（1.6+20tanα）米D．（1.6+）米
8．（3分）下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+3a2﹣6，当x＜0时，y随x的增大而增大．且当﹣1≤x≤4时，y有最小值2．则a的值为（ ）
A．B．1C．﹣1D．
10．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，若∠BAC＝∠BDC，则下列结论中正确的是（ ）
①；
②△ABE与△DCE的周长比；
③∠ADE＝∠ABC；
④S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE．
A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是 ．
12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝1：2，则的值为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，，则BC的长是 ．
14．（3分）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA＝2m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为 m2．（结果保留π）
15．（3分）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了 cm．
16．（3分）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x'﹣m＝y'﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（6分）（1）计算：cs245°+tan60°•cs30°．
（2）已知线段c是线段a，b的比例中项，且a＝4，b＝16，求线段c的长．
18．（8分）有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有其它任何区别．现将3个小球放入编号为①、②、③的三个盒子里，规定每个盒子里放一个，且只能放一个小球．
（1）请用树状图或其它适当的形式列举出3个小球放入盒子的所有可能情况；
（2）求红球恰好被放入②号盒子的概率．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．
（1）所在圆的圆心M的坐标为 ．
（2）求的长（结果保留π）．
20．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点G．
（1）若，求证AE⊥BF；
（2）再（1）的条件下，若AB：BC＝3：4，S△ABE＝18，求△BCF的面积．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）若∠A＝35°，求的度数；
（2）若BC＝6，AC＝8，求BD的长．
22．（10分）如图，某小区在墙体OM上的点A处安装一抛物线型遮阳棚，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立直角坐标系，已知遮阳棚的高度y（m）与地面水平距离x（m）之间的关系式可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线经过B（2，），C（5，）．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求遮阳棚跨度ON的长；
（3）现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢架GEF对遮阳棚进行加固（点F，G分别在x轴，y轴上，且EG∥x轴，EF∥y轴），现有库存10米的钢材是否够用？
23．（12分）已知二次函数y＝ax2+（a+2）x﹣2a﹣2（a为常数且a≠0）．
（1）当函数图象经过点（0，﹣6）时，求函数的表达式并写出函数图象的顶点坐标；
（2）求证：当时，函数图象与x轴必有两个不同的交点；
（3）若函数图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中x1+x2＝3，且当x1＜x2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
24．（12分）如图1，△ABC 内接于⊙O，直径AB＝12，弦，作弦CD与AB相交于点E．
（1）如图1，若AE＝AC，求∠ACD的度数；
（2）如图2，若AE＝4，求CD的长；
（3）如图3，过点A作CD的平行线交⊙O于点M，连结BD，MC，若，求△BCD的面积．
2024-2025学年浙江省杭州市上城区建兰中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．3
【分析】由＝2，利用比例的性质，即可求得的值．
【解答】解：∵＝2，
∴＝+1＝2+1＝3．
故选：D．
【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，注意掌握比例的性质是解此题的关键．
2．（3分）下列事件中属于必然事件的是（ ）
A．a是实数，则|a|＞0
B．在一个只装有白球的袋子中摸出一个白球
C．杭州明天是阴天
D．抛投一枚骰子，则上面的点数是6
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、a是实数，则|a|＞0，是随机事件，不符合题意；
B、在一个只装有白球的袋子中摸出一个白球，是必然事件，符合题意；
C、杭州明天是阴天，是随机事件，不符合题意；
D、抛投一枚骰子，则上面的点数是6，是随机事件，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）二次函数y＝（x﹣2）（x+3）图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝2B．直线x＝﹣3C．直线x＝D．直线x＝﹣
【分析】先根据二次函数的解析式求出函数图象与x轴的交点，再根据两交点关于对称轴对称即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数的解析式为：y＝（x﹣2）（x+3），
∴此抛物线与x轴的交点为（2，0），（﹣3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣．
故选：D．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，熟知二次函数的交点式是解答此题的关键．
4．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则BC的值为（ ）
A．3﹣B．1+C．﹣1D．﹣2
【分析】由黄金分割的定义求出AC的长，即可求解．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝2，
∴AC＝AB＝﹣1，
∴BC＝AB﹣AC＝3﹣，
故选：A．
【点评】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键．
5．（3分）如图，⊙O的半径为5，直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边与圆交于点B、C，则弦BC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理得出∠D＝∠A＝30°，∠CBD＝90°，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：连接CO并延长交⊙O于点D，连接BD，
∵∠A＝30°，
∴∠D＝∠A＝30°，
∵CD是⊙O的直径，CD＝10，
∴∠CBD＝90°，
∴BC＝CD＝5．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
6．（3分）若抛物线y＝a（x+1）2+3a（a＞0）上有A（﹣2.5，y1），B（3，y2）和C（1.2，y3）三点，则y1，y2和y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1
【分析】由抛物线的解析式及a＞0，可得出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1且抛物线开口向上，利用二次函数的性质，可得出抛物线上离对称轴越远的点函数值越大，再结合三点的横坐标及1.5＜2.2＜4，即可得出y1＜y3＜y2．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+3a，且a＞0，
∴抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线上离对称轴越远的点函数值越大．
∵|﹣2.5﹣（﹣1）|＝1.5，|3﹣（﹣1）|＝4，|1.2﹣（﹣1）|＝2.2，1.5＜2.2＜4，
∴y1＜y3＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记“当a＞0时，抛物线开口向上，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大；当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线上离对称轴越远的点函数值越小”是解题的关键．
7．（3分）如图，升国旗时，某同学站在离国旗20米处行注目礼，当国旗升至顶端时，该同学视线的仰角为α，已知双眼离地面为1.6米，则旗杆AB的高度为（ ）
A．（1.6+20sinα）米B．（1.6+）米
C．（1.6+20tanα）米D．（1.6+）米
【分析】由题意可知，在直角三角形中，已知角和邻边，要求出对边，直接用正切即可解答．
【解答】解：如图，BE＝20米，DE＝1.6米，
四边形DEBC为矩形，则BC＝DE＝1.6米，CD＝BE＝20米，
在Rt△ADC中，
∵tan∠ADC＝，
∴AC＝20tanα，
∴AB＝BC+AC＝（1.60+20tanα）米．
故选：C．
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
8．（3分）下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①根据确定一个圆的条件即可判断．②根据垂径定理即可判断．③根据圆周角定理即可判断．④根据三角形外心的性质即可判断．
【解答】解：①三点确定一个圆，错误，应该是不在同一直线上的三点确定一个圆；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，正确．
③相等的圆心角所对的弦相等，错误，条件是在同圆或等圆中；
④三角形的外心到三个顶点的距离相等，正确，
∴正确的有②④，共2个．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的外心，垂径定理，圆周角定理，确定圆的条件等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
9．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+3a2﹣6，当x＜0时，y随x的增大而增大．且当﹣1≤x≤4时，y有最小值2．则a的值为（ ）
A．B．1C．﹣1D．
【分析】根据当x＜0时，y随x的增大而增大，得a＜0，求出y＝ax2﹣4ax+3a2﹣6的图象对称轴为直线x＝﹣＝2，可知当x＝﹣1时，y有最小值2，故2＝a+4a+3a2﹣6，解出a的值即可得到答案．
【解答】解：∵当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
由y＝ax2﹣4ax+3a2﹣6知其图象的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵|﹣1﹣2|＞|4﹣2|，
∴当x＝﹣1时，y有最小值2，
即2＝a+4a+3a2﹣6，
解得a＝1或a＝﹣，
∵a＜0，
∴a＝﹣；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数性质和二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数相关的性质．
10．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，若∠BAC＝∠BDC，则下列结论中正确的是（ ）
①；
②△ABE与△DCE的周长比；
③∠ADE＝∠ABC；
④S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE．
A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④
【分析】①根据相似三角形的判定和性质即可判断；
②根据相似三角形周长的比等于相似比即可判断；
③根据∠BAC＝∠BDC，可得A，B，C，D共圆，根据已知条件可得∠ABC＝∠ACB，但这两个角不一定相等，进而可以判断；
④假设S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE．根据共高的两个三角形面积之比即可判断．
【解答】解：①∵∠BAC＝∠BDC，∠AEB＝∠DEC，
∴△AEB∽△DEC，
∴；故①正确；
②∵△AEB∽△DEC，
∴△ABE与△DCE的周长比；故②正确；
③∵∠BAC＝∠BDC，
∴A，B，C，D共圆，
∴∠ADE＝∠ACB，
如果∠ADE＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ACB，
但这两个角不一定相等，故③错误；
④假设S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE．
∴＝，
∵△ABE和△ADE共高，
∴＝，
∵△BCE和△DCE共高，
∴＝，
∴＝，故④正确．
∴结论中正确的是①②④，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是 ．
【分析】由有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的有3，6，9，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的有3，6，9，
∴卡片上的数是3的倍数的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝1：2，则的值为 ．
【分析】由DE、EC的比例关系式，可求出EC、DC的比例关系；由于平行四边形的对边相等，即可得出EC、AB的比例关系，易证得△EFC∽△BFA，可根据相似三角形的对应边成比例求出BF、EF的比例关系．
【解答】解：∵DE：EC＝1：2，
∴EC：DC＝2：3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴BF：EF＝AB：EC，
∵AB：EC＝CD：EC＝3：2，
∴＝3：2，
故答案为：．
【点评】此题主要考查的是平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质．
13．（3分）如图，在△ABC中，，则BC的长是 6 ．
【分析】如图，作AD⊥BC于D，由AB＝AC，可得，由，可求AD＝4，由勾股定理得，，进而可求BC的长．
【解答】解：作AD⊥BC于D，
∵，
∴，
∴，即，
∴AD＝4，
∴，
∴BC＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查解直角三角形．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理是解题的关键．
14．（3分）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA＝2m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为 m2．（结果保留π）
【分析】用扇形的面积减去△COD的面积即可解决问题．
【解答】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，OA＝2m，
∴，
∴，
，
∴花窗的面积为：m2．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．
15．（3分）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了 1或7 cm．
【分析】分两种情况，由垂径定理和勾股定理求出OG、OH的长，即可解决问题．
【解答】解：当油面没超过圆心O，油面宽CD为8cm时，
过O作OG⊥AB于G，交CD于H，连接OA，OC，
则OH⊥CD，
∴AG＝AB＝3（cm），CH＝CD＝4（cm），
∵截面⊙O半径为5cm，
∴OA＝5cm，
∴OG＝＝＝4（cm），OH＝
即弦AB的弦心距是4cm，弦CD的弦心距是3cm，
则OG﹣OH＝4﹣3＝1（cm），
即当油面没超过圆心O时，油上升了1cm；
当油面超过圆心O时，
同理得OH'＝3cm，
则OG+OH'＝4+3＝7（cm），
即油面AB上升了7cm；
故答案为：1或7．
【点评】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键，注意分类讨论．
16．（3分）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x'﹣m＝y'﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 4 ．
【分析】由y＝x2+x+3＝（x+1）2+，求出m＝﹣1，k＝，根据x'﹣m＝y'﹣k，有x'+1＝x'2+x'+3﹣，又x'﹣m＝x'+1≠0，故x'＝1，再代入2|x′﹣m|可得答案．
【解答】解：∵y＝x2+x+3＝（x+1）2+，
∴m＝﹣1，k＝，
∵x'﹣m＝y'﹣k，
∴x'+1＝x'2+x'+3﹣，
解得x'＝1或x'＝﹣1，
∵x'﹣m＝x'+1≠0，
∴x'≠﹣1，
∴x'＝1，
∴2|x′﹣m|＝2×|1﹣（﹣1）|＝4，
∴抛物线“开口大小”为4；
故答案为：4．
【点评】本题考查二次函数的性质，函数图象上点坐标的特征，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“开口大小”的定义．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（6分）（1）计算：cs245°+tan60°•cs30°．
（2）已知线段c是线段a，b的比例中项，且a＝4，b＝16，求线段c的长．
【分析】（1）根据特殊三角函数值计算即可；
（2）根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝2．
（2）根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
所以c2＝4×16，解得c＝±8（线段是正数，负值舍去），
故线段c的长为8．
【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
18．（8分）有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有其它任何区别．现将3个小球放入编号为①、②、③的三个盒子里，规定每个盒子里放一个，且只能放一个小球．
（1）请用树状图或其它适当的形式列举出3个小球放入盒子的所有可能情况；
（2）求红球恰好被放入②号盒子的概率．
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：如图所示：
（2）P（红球恰好被放入②号盒子）＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率，树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．此题也可采用列举法，要注意别漏解．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．
（1）所在圆的圆心M的坐标为 （2，1） ．
（2）求的长（结果保留π）．
【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心；
（2）根据扇形的面积公式，即可求得．
【解答】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）；
故答案为：（2，1）；
（2）连接MA、MC，如图所示：
，，
∴MA2+MC2＝AC2，
∴△AMC是等腰直角三角形，且∠AMC＝90°，
所以的长：．
【点评】本题考查了本题考查了弧长的计算、垂径定理、坐标与图形性质，正确确定圆心是解题的关键．
20．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点G．
（1）若，求证AE⊥BF；
（2）再（1）的条件下，若AB：BC＝3：4，S△ABE＝18，求△BCF的面积．
【分析】（1）证明△ABE∽△BCF，根据相似三角形的性质得∠BAE＝∠CBF，即可得∠AEB+∠EBG＝∠AEB+∠BAE＝90°，即可得AE⊥BF；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCF＝90°，
又∵＝，
∴△ABE∽△BCF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠ABC＝90°，
∴∠AEB+∠BAE＝90°．
∴∠AEB+∠EBG＝∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠EGB＝90°．
即 AE⊥BF；
（2）解：∵△ABE∽△BCF，
∴＝，
∵AB：BC＝3：4，
∴＝，
∵S△ABE＝18，
∴△BCF的面积＝32．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）若∠A＝35°，求的度数；
（2）若BC＝6，AC＝8，求BD的长．
【分析】（1）求出∠B的度数，求出∠B所对的弧的度数，即可得出答案；
（2）作CH⊥BD，如图，根据垂径定理得到BH＝DH，再利用勾股定理计算出AB＝10，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出BH，从而得到BD的长．
【解答】解：（1）连接CD，
∵∠A＝35°，
∴∠B＝55°，
∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB＝55°，
∴∠BCD＝70°，
∴∠DCE＝20°，
∴的度数为20°；
（2）作CH⊥BD，则BH＝DH，
在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
∵，
∴，
∴在Rt△BCH中，BH＝，
∴．
【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形．
22．（10分）如图，某小区在墙体OM上的点A处安装一抛物线型遮阳棚，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立直角坐标系，已知遮阳棚的高度y（m）与地面水平距离x（m）之间的关系式可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线经过B（2，），C（5，）．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求遮阳棚跨度ON的长；
（3）现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢架GEF对遮阳棚进行加固（点F，G分别在x轴，y轴上，且EG∥x轴，EF∥y轴），现有库存10米的钢材是否够用？
【分析】（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）y＝﹣x2+x+，令y＝0，解得：x＝﹣2（舍去）或8，即可求解；
（3）构建二次函数，求出二次函数的最大值，即可判断．
【解答】解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；
（2）y＝﹣x2+x+，
令y＝0，解得：x＝﹣2（舍去）或8，
故ON＝8；
（3）设点E（m，﹣m2+m+），
由题意得：GE+EF＝m﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+
∵﹣＜0，
∴GE+EF的最大值为，
∵＜10，
故现有库存10米的钢材够用．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
23．（12分）已知二次函数y＝ax2+（a+2）x﹣2a﹣2（a为常数且a≠0）．
（1）当函数图象经过点（0，﹣6）时，求函数的表达式并写出函数图象的顶点坐标；
（2）求证：当时，函数图象与x轴必有两个不同的交点；
（3）若函数图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中x1+x2＝3，且当x1＜x2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
【分析】（1）将（0，﹣6）代入函数表达式，求出a的值即可解决问题．
（2）证明b2﹣4ac＞0即可解决问题．
（3）用含a的代数式表示出y1和y2，再利用作差法即可解决问题．
【解答】（1）解：将点（0，﹣6）代入函数解析式得，
﹣2a﹣2＝﹣6，
解得a＝2，
所以函数的表达式为y＝2x2+4x﹣6．
则，
将x＝﹣1代入函数解析式得，
y＝2﹣4﹣6＝﹣8．
所以函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8）．
（2）证明：因为Δ＝（a+2）2﹣4a（﹣2a﹣2）＝9a2+12a+4＝9（）2，
又因为a≠，
所以Δ＞0，
所以二次函数的图象与x轴必有两个不同的交点．
（3）解：将A，B两点坐标代入函数解析式得，
，
，
两式相减得，
，
又因为x1+x2＝3，
所以y1﹣y2＝2（2a+1）（x1﹣x2）．
又因为当x1＜x2时，总有y1＞y2，
所以2a+1＜0，
解得．
所以a的取值范围是：a＜．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．
24．（12分）如图1，△ABC 内接于⊙O，直径AB＝12，弦，作弦CD与AB相交于点E．
（1）如图1，若AE＝AC，求∠ACD的度数；
（2）如图2，若AE＝4，求CD的长；
（3）如图3，过点A作CD的平行线交⊙O于点M，连结BD，MC，若，求△BCD的面积．
【分析】（1）求AC的长度，证明△ABC是等腰直角三角形，得到∠A的度数，根据等腰三角形的性质求出角度；
（2）证明△COE是直角三角形，求出CE的长度，证明△ACE∽△DCA，从而求出CD的长度；
（3）根据题意分当E在线段OB上和当点E在线段OA上两种情况，分别画出对应的图，求出CE和BE的长度，根据相似三角形的性质求出△BCD的面积．
【解答】解：（1）∵△ABC 内接于⊙O，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，
∵AB＝12，BC＝，
∴，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠ACD＝；
（2）连接OC，AD，
∵直径AB＝12，
∴OA＝OB＝OC＝6，
∴OE＝OA﹣AE＝2，
∵∠CAB＝45°，OA＝OC，
∴∠AOC＝90°，
在Rt△COE中，
∵OE＝2，OC＝6，
∴，
∵，
∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAC＝45°，
∵∠ACE＝∠DCA，
∴△ACE∽△DCA，
∴，
∴CD＝；
（3）①当E在线段OB上时，连接OC，连接BM交CD于点N，
∵CD∥AM，
∴∠BNE＝∠BMA＝∠BOC＝90°，
∵∠BEN＝∠CEO，
∴∠ECO＝∠ABM＝∠ACM，
∴tan∠ECO＝tan∠ACM＝，
∵OC＝6，
∴OE＝OC•tan∠ECO＝2，
∴EC＝，BE＝6﹣2＝4，
∴，
由（2）得△BCD∽△ECB，
∴，
∴；
②当点E在线段OA上时，
同理tan∠ECO＝tan∠ACM＝，
∴OE＝OC•tan∠ECO＝2，
∴CE＝，BE＝6+2＝8，
∴，
∵△BCD∽△ECB，
∴，
∴．
综上所述，△BCD的面积的面积为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
D
A
C
B
C
B
D
C