莆田第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份莆田第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,则( )
A.B.C.D.
2．已知命题,,则是( )
A.,B.,
C.,D.,
3．已知,,,则( )
A.B.C.D.
4．用表示不大于实数x的整数,例如,,,则是的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要
5．函数的大致图象是( )
A.B.
C.D.
6．给定数集,,x,y满足方程,下列对应关系f为函数的是( )
A.,B.,
C.,D.,
7．函数,为R上的增函数,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．若定义在R上的函数的最小值为2,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．下列命题中,正确的有( )
A.函数最小值为2
B.函数在上单调递减
C.无论取何值,函数恒过定点
D.若函数定义域为,则定义域为
10．已知函数为R上的奇函数,且时,,则( )
A.B.当时,
C.当时,D.当时,
11．已知函数对任意实数x均满足,则( )
A.为偶函数B.
C.D.函数在区间上不单调
三、填空题
12．已知幂函数的图象过点,则______.
13．已知,,且,则的最小值是__________.
14．函数满足,则这样的函数个数共有________个.
四、解答题
15．（1）将根式化简为指数式;
（2）求值:;
（3）已知,求的值.
16．为促进消费,某电商平台推出阶梯式促销活动:
第一档:若一次性购买商品金额不超过300元,则不打折;
第二档:若一次性购买商品金额超过300元,不超过500元,则超过300元的部分打8折;
第三档:若一次性购买商品金额超过500元,则超过300元,但不超过500元的部分打8折,超过500元的部分打7折.
若某顾客一次性购买商品金额为x元,实际支付金额为y元.
（1）求y关于x的函数解析式;
（2）若顾客甲、乙购买商品金额分别为a、b元,且a、b满足关系式,为享受最大的折扣力度,甲、乙决定拼单一起支付,当甲、乙购买商品金额之和最小时,甲、乙实际共需要支付多少钱?
17．已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性;
（2）讨论的单调性,并用单调性的定义证明;
（3）若对任意的实数x,恒成立,求实数m的范围.
18．已知函数,,函数,其中
（1）若的解集为,求a的值;
（2）若,
（i）求使得成立的x的取值范围;
（ii）求在区间上的最大值.
19．已知是定义在R上的函数,若对任意的,,,均有,则称是S关联.
（1）判断和证明是否是关联?是否是关联?
（2）若是关联,当时,,解不等式;
（3）证明:“是关联,且是关联”当且仅当“是关联”.
参考答案
1．答案：A
解析：,
所以.
故选:A
2．答案：C
解析：,成立的否定为:,成立.
命题,,则是,.
故选:C.
3．答案：B
解析：由函数为单调递增函数可得;
由幂函数在上单调递增,可得,所以.
故选:B
4．答案：A
解析：当时,如不能得到,
由,又,所以一定能得到.
所以“”是“”成立的充分不必要条件.
故选:A.
5．答案：D
解析：由已知函数的定义域为,
且,
当时,函数先减后增,排除A,C,
当时,因为和是减函数,
所以函数是减函数,所以排除B.
故选:D.
6．答案：D
解析：对于A:对,当时,,无实数解,
即不存在确定的实数x与对应,不符合函数定义,故A不正确;
对于B:对,不妨设,则,解得,
不满足唯一的实数x与对应,不符合函数定义,故B不正确;
对于C:对,当时,由得,
即在中不存在确定的实数y与对应,不符合函数定义,故C不正确;
对于D:由得,对,都有唯一确定的y与之对应,
符合函数定义,可知D正确.
故选:D.
7．答案：B
解析：分段函数为R上的增函数,
所以,解得,
所以实数a的取值范围是.
故选:B.
8．答案：A
解析：当时,在R上单调递减,此时无最小值,不合题意;
当时,（当且仅当时取等号）,
,解得:,,
,即为定义在R上的偶函数;
当时,令,则,
在上单调递增,由复合函数单调性知:在上单调递增,
在上单调递增,
由得:,即,解得:,
不等式的解集为.
故选:A
9．答案：BC
解析：选项A.,当且仅当时等号成立,而,所以A错;
选项B.设,则由可得,
函数在上单调递增,,
函数在上单调递减,
根据复合函数同增异减可知函数在上单调递减,选项B正确;
选项C.由可知恒过定点;即C正确;
选项D.函数定义域为,则由可得定义域为,即D错误.
故选:BC
10．答案：ABD
解析：为R上的奇函数,,即,
当时,;
对于A,,A正确;
对于B,当时,,,B正确;
对于C,当时,且,
在上单调递增,,C错误;
对于D,当时,,
在上单调递减,在上单调递减,
,,,D正确.
故选:ABD
11．答案：ACD
解析：选项A,中,
用替换x,则,
两式相减得:,即可得:,故A正确;
选项B,令,则,需求,
令,则,需求,
令,则,
因为为偶函数,所以,
所以,
由上述两式可得:,
所以,故B错误;
选项C,由选项B知,,故正确;
选项D,,注意到两系数之和为3,
若令,
则有,所以,
令,求得,取,
则,即,则,
即函数在区间上不单调,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：3
解析：设,由于图象过点,
得,,
,
,故答案为3.
13．答案：25
解析：因为,,应用基本不等式可得
即得,即,又因为,
所以,即,,当且仅当时,取最小值25.
故答案为:25.
14．答案：10
解析：若f为一对一映射,则,,,只有1个函数;
若f为三对一映射,则或2或3,共有3个函数;
若f为三对二映射,则从中选出两个元素作为象,共3种选择,其中与所选元素相同的原象对应的象必定是它本身,而另一个原象可以选择两个象中的任意一个,共有2种选择.如:象为,则,,或
共有种选择,即共有6个函数
综上所述:共有满足题意的函数个数为个
故答案为:10
15．答案：（1）;
（2）;
（3）2
解析：（1）;
（2）原式;
（3）因为,
所以,
.
16．答案：（1）;
（2）495元
解析：（1）由题意,当时,;
当时,;
当时,.
综上所述,
（2）甲乙购买商品的金额之和为,
而
（元）,
当且仅当,即时,原式取得最小值.
此时（元）,
因为,则拼单后实付总金额（元）
所以当甲、乙的购物金额之和最小时,甲、乙实际共需要支付495元.
17．答案：（1）奇函数,证明见解析
（2）增函数,证明见解析
（3）
解析：（1）是奇函数,
证明如下:的定义域为R,关于原点对称,
,则,
所以为奇函数.
（2）为上的增函数.
证明:任取,,且,
则,
因为,,且,所以,,,
所以即,
所以在上单调递增.
（3）由（1）（2）可知为奇函数,且在R上为增函数,
所以恒成立,
所以恒成立,令,则,
即恒成立,
因为,当且仅当,即取等号,
所以.
18．答案：（1）
（2）（i）;
（ii）
解析：（1）依题意得,为方程的两个根,
则,即,此时不等式的解集恰为符合题意;
（2）（i）因为,又,则,
①当时,,所以,解得;
②当时,,所以,
因为,,,所以,
所以无解,
综上所述:x的取值范围是;
（ii）由（i）可知:,
当时,,所以,所以;
当时,的对称轴为,所以,
且,,所以,
令,,所以,
综上.
19．答案：（1）在关联;在不关联,证明见解析
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）在关联;在不关联;
证明:任取,则,
在关联;
取,,则,
,
在不关联;
（2）是在关联的,
对于任意,都有,
对任意x,都有,
时,,
在的值域为,
在的值域为,
仅或上有解,
时,,令,解得,
时,,令,解得,
解为;
（3）①先证明:是关联的,且是在关联的在是关联的,
,且,则,,
又是在关联的,所以,
所以,
,即,
,
是关联,
②再证明:在是关联的是在关联的,且是在关联的,
是关联,
任取,都有成立,
即满足,都有,
下面用反证法证明,
若,则,
与在是关联的矛盾,
若,而在是关联的,则,矛盾,
成立,即是在关联的,
进而,,
再证明是在关联的,
任取,则存在,使得任取,
,
,
,
是在关联的;
综上所述,是关联的,且是在关联的,当且仅当“在是关联的”,
故得证.