专题九 计数原理与概率统计——高考数学二轮复习专题进阶训练

这是一份专题九 计数原理与概率统计——高考数学二轮复习专题进阶训练，共23页。试卷主要包含了2D，，预测当时，，5B等内容，欢迎下载使用。
基础题
1.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，是我国民间的传统节日，人们常在此日感恩敬老.某校在重阳节当日安排6位学生到2所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是( )
A.35B.40C.50D.70
2.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：min）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则a的值为( )
B.0.2D.0.4
3.已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩X服从正态分布，则此次考试成绩在区间内的学生大约有( )
A.477人B.136人C.341人D.131人
4.在一次实验中，测得的五组数值如表所示.
经计算知，y关于x的回归直线方程是6.，预测当时，( )
A.47.5B.48C.49D.49.5
5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则( )
A.B.C.D.
6.（多选）在的展开式中，下列说法正确的有( )
A.所有项的二项式系数和为64B.所有项的系数和为0
C.常数项为20D.二项式系数最大的项为第3项
7.（多选）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是( )
A.B.
C.D.
8.“划拳行酒令”起源于汉代，是饮酒时助兴的一种游戏.游戏规则是进行游戏的双方每人都伸出一只手并出若干个手指，同时口中喊出0~10这11个数字，伸出的手指之和等于喊出的数，就视为游戏胜者，游戏随之结束，否则要反复进行，直至分出胜负为止.已知甲、乙、丙三人，甲胜乙的概率是0.6，乙胜丙的概率是0.7，甲胜丙的概率是0.8.先两人玩游戏，胜者和余下一人继续游戏，每人间的胜负是相互独立的.甲、乙先进行游戏，则前三场游戏中，甲胜两场的概率是__________.
9.现有四根长3，4，7，9的木棒，任取其中三根，首尾相连后，能组成二角形的概率为______________.
10.智慧课堂是指一种打破传统教育课堂模式，以信息化科学技术为媒介实现师生之间、学生之间的多维度互动，能有效提升教师教学效果、学生学习成果的新型教学模式.为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，某市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下：从城区学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是.
（1）补全列联表，判断能否有的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并说明理由；
（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，按照分层随机抽样方法抽取6所学校进行分析，然后再从这6所学校中随机抽取2所学校，求这两所学校不全是郊区学校的概率.
附：，.
中等题
11.的展开式中的系数为，则该二项展开式中的常数项为( )
A.320B.C.160D.
12.工厂为了了解某车间的生产效率，对该车间200名工人上月生产的产品数量（单位：件）进行抽样调查，整理得到如图的频率分布直方图，则下列估计正确的为( )
①该车间工人上月产量的极差恰好为50件；
②该车间约有120名工人上月产量低于65件；
③该车间工人上月产量的平均数低于64件；
④该车间工人上月产量的中位数低于63件.
A.①③B.①④C.②③D.②④
13.小明与小红两位同学计划去养老院做义工，如图，小明在街道E处，小红在街道F处，养老院位于G处，小明与小红到养老院都选择最短路径，两人约定在老年公寓门口汇合，事件A表示“小明经过F”，事件B表示“小明经过H”，事件C表示“从F到养老院两人的路径没有重叠部分（路口除外）”，则下面说法正确的个数是( )
（1）；（2）；（3）.
A.3B.2C.1D.0
14.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为，，，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为( )
A.14B.C.D.
15.1654年，德·梅雷骑士偶遇数学家布莱兹·帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时，他们发现桌子上还剩最后一杯酒，酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负，那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费.猜测最后付费的最有可能是( )
A.肖恩B.尤瑟纳尔C.酒吧伙计D.酒吧老板
16.（多选）近年来，中国电影行业发展迅猛，消费者追求电影剧情的高质量，重视电影内容正面传达的积极情绪，并且愿意为其买单.某机构调查到观众在观看电影时除了关注电影的剧情、情节外，还会关注电影的幕后团队、精神内涵价值观、参演人员等方面.如图所示为该机构调查的2023年中国网民观看电影时关注方面占比的统计表，则下列结论正确的是( )
A.2023年中国网民观看电影时超过的网民会关注参演人员
B.这8个方面占比的极差是
C.这8个方面占比的中位数为
D.2023年中国网民观看电影时至少有的网民既关注剧情、情节，又关注精神内涵价值观
17.（多选）红、黄、蓝被称为“三原色”，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再从余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行等量调配，事件A表示“甲调配出红色”，事件B表示“甲调配出绿色”，事件C表示“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是( )
A.事件A与事件C是独立事件B.事件A与事件B是互斥事件
C.D.
18.某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制成了对照表：
由表中数据，得线性回归方程.当气温为时，预测用电量约为__________.
19.现有6个人组成的旅游团去庐山旅游，包括4个大人，2个小孩，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有_____________种.（用数字作答）
20.某厂生产A，B两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本，其指标值的频率分布直方图，如图.以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分等级和收益率如下表，其中.
（注：）
（1）求a的值.
（2）将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体.
①从产品B中随机抽取3件，求其中一等品件数X的分布列及数学期望；
②在总投资额相同的情况下，若全部投资产品A或产品B，试分析投资哪种产品收益更大.
拓展题
21.若，且，则实数m的值可以为( )
A.1或-3B.-1C.-1或3D.-3
22.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：
其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“Ⅹ”需要2根火柴，若为0，则用空位表示（如123表示为，405表示为）.如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为( )
A.87B.95C.100D.103
23.某综艺节目中有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立，若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能是( )
A.22B.3C.4D.5
24.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
25.若，则，，.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标（单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取N个，这N个零件中恰有K个的质量指标位于区间内.若，则使得最大的N的值为( )
A.45B.53C.54D.90
26.（多选）某中学积极响应国家“双减”政策，大力创新体育课堂，其中在课外活动课上有一项“投实心球”游戏，其规则是：将某空地划分成①②③④四块不重叠的区域，学生将实心球投进区域①或②一次，或者投进区域③两次，或者投进区域④三次，即认为游戏胜利，否则游戏失败.已知小张同学每次都能将实心球投进这块空地，他投进区域①与②的概率均为，投进区域③的概率是投进区域①的概率的四倍，每次投实心球的结果相互独立.记小张同学第二次投完实心球后恰好胜利的概率为，第四次投完实心球后恰好胜利的概率为，则( )
A.B.
C.D.若，则p的取值范围为
27.（多选）已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为，p.记小李在星期一到星期五这5天内每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为X，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为Y，则( )
A.
B.
C.小李在星期一到星期五这5天内的上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
D.当时，
28.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数.给出下列各项：
①，；②；③；④.
其中正确的是__________.（填上所有正确结论的序号）
29.某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知第一次按下按钮后，出现红球与绿球的概率都是，从第二次按下按钮起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n（，）次按下按钮后出现红球的概率为，则关于n的表达式为__________.
30.某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：
根据以上数据绘制了散点图，观察散点图，考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与x的相关系数.
（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
（3）根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，若非原料成本y在之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因.
参考数据（其中）：
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数.
答案以及解析
1.答案：C
解析：将6名学生分成两组，每组不少于2人的分组中，可分成一组2人另一组4人，或每组3人，所以不同的分配方案数为.故选C.
2.答案：A
解析：由频率分布直方图可知，每组频率依次为0.1，10a，0.45，10a，0.05，
则，解得.
3.答案：B
解析：根据题意，，
则，
故此次考试成绩在区间内的学生大约有人.
故选：B.
4.答案：B
解析：由题意知，，，由回归直线过点得，解得，故.所以当时，.故选B.
5.答案：B
解析：易知，其中AB表示“两次的点数均为奇数，且两次的点数之和为8”，共有两种情况，即，，故.而，所以.故选B.
6.答案：AB
解析：所有项的二项式系数和为，故A正确；令，得所有项的系数和为，故B正确；常数项为，故C错误；展开式有7项，二项式系数最大的项为第4项，故D错误.选AB.
7.答案：ACD
解析：由题意知X，Y均服从于超几何分布，且，，
故；
从而，故选项A正确；
，，，故选项B错误，C正确；
，故选项D正确；
故选：ACD.
8.答案：0.192
解析：设甲胜乙为事件A，甲胜丙为事件C.设前三场比赛中，甲胜两场为事件D，则.
9.答案：
解析：由题意，从四根长3，4，7，9的木棒中，任取其中三根，共有4种取法，其中能组成三角形包含，，共有2种情况，所以能组成三角形的概率为.故答案为.
10.答案：（1）列联表见解析；有的把握认为智慧课堂的应用与区域有关
（2）
解析：（1）补充完整的列联表如下：
由题意，得，
所以有的把握认为智慧课堂的应用与区域有关.
（2）由题意知，偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，郊区学校抽取（所），分别记为A，B，C，D；
城区学校抽取（所），分别记为a，b.
从这6所学校中随机抽取2所的样本空间为
，共15种，
其中满足两所学校全是郊区学校的情况为，，，，，，共6种，
所以满足两所学校不全是郊区学校的概率.
11.答案：D
解析：的展开式的通项，则.因为，所以..令，可得，则，得.因为，所以在中，令，可得，因此，展开式中的常数项为.故选D.
12.答案：D
解析：由频率分布直方图可知，该车间工人上月产量的极差大约为50件，故①不正确；
上月产量低于65件的频率为，所以，即该车间约有120名工人上月产量低于65件，故②正确；
因为（件），所以该车间工人上月产量的平均数为64件，故③不正确；
设该车间工人上月产量的中位数为x件，则，解得，所以④正确.故选D.
13.答案：A
解析：由题意，得小明到养老院能选择的最短路径有（条），小明到F的最短路径的走法有（种），再从F到养老院的最短路径有（条），小明经过F到养老院能选择的最短路径有（条），所以，故（1）正确.小明从H到养老院的最短路径有（条），则.又从H到F的最短路径有（条），从F到养老院的最短路径有3条，所以，所以，故（2）正确.因为，所以，故（3）正确.选A.
14.答案：D
解析：设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是，，，
则不获一等奖的概率分别是，，，
则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：
，
这三人都获得一等奖的概率为，
所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率.
故选：D.
15.答案：B
解析：由题意，可得肖恩每局获胜的概率为，尤瑟纳尔每局获胜的概率为，比赛采用七局四胜制，设决出胜负的场数为X，则
，
，
，
，
由，知，
所以最后付费的最有可能是尤瑟纳尔.故A，C，D错误.
故选：B.
16.答案：ABD
解析：选项A：由题图可知，2023年中国网民观看电影时关注参演人员的网民占比为，超过，A正确；
选项B：这8个方面占比的极差是，B正确；
选项C：这8个方面占比的中位数为，C错误；
选项D：2023年中国网民观看电影时既关注剧情、情节，又关注精神内涵价值观的占比至少为，D正确.
17.答案：BD
解析：根据题意知，事件A中两瓶颜料均为红色，事件C中两瓶颜料一瓶为红色，一瓶为蓝色，则A发生，C必定不能发生，.又，，事件A，C不为独立事件，为互斥事件，故A错误.由题意，得，故C错误.若调出红色，则需要两瓶颜料均为红色；若调出绿色，则需一瓶黄色和一瓶蓝色.调出红色和调出绿色不可能同时发生，事件A，B为互斥事件，故B正确.易得.若事件C发生，则甲有三种情况，分别为：甲取两瓶黄色；甲取一瓶黄色和一瓶红色或蓝色；甲取一瓶红色和一瓶蓝色.，故D正确.选BD.
18.答案：70
解析：由表格中的数据，得，，即样本中心点坐标为.又点在回归直线上，，解得，.当时，，即气温为时，预测用电量约为.
19.答案：348
解析：根据题意，分2种情况讨论：①若6人乘坐两辆缆车，需要将6人分成2组，有种分组方法，在三辆不同的缆车中任选两辆，安排2个组，有种情况，则此时有种乘车方式；②若6人乘坐三辆缆车，需要将4名大人分为2、1、1的3组，有种分组方法，将分好的3组对应三辆缆车，有种情况，若2名小孩坐两辆缆车，需要在三辆不同的缆车中任选两辆，安排2名小孩，有种情况，若2名小孩坐一辆缆车，有2种情况，则此时有种乘车方式.故一共有种不同的乘车方式.
20.答案：（1）
（2）①X的分布列见解析；数学期望为
②投资产品A的收益更大
解析：（1）由题意可得，解得.
（2）①由频率分布直方图知，产品B为一等品的概率是，为二等品的概率是，为三等品的概率是.
由题意知，从产品B中随机抽取3件，一等品件数X的可能取值是0，1，2，3，且，
所以，，
，，
则X的分布列为
所以.
②由频率分布直方图可知，产品A为一等品的概率是，为二等品的概率是，为三等品的概率是.
由①知，产品B为一等品的概率是，为二等品的概率是，为三等品的概率是.
所以产品A的收益率的平均值为
产品B的收益率的平均值为，
所以.
因为，
所以，即，
故投资产品A的收益更大.
21.答案：A
解析：在中，
令可得，即，
令，可得.
，，，
整理得，解得或.故选A.
22.答案：D
解析：用6根火柴表示数字，所有搭配情况如下：
①1根火柴和5根火柴：1根火柴可表示的数字为1；5根火柴可表示的数字为8，空位表示0，则能表示的数共有4个（108，180，801，810）.
②2根火柴和4根火柴：2根火柴可表示的数字为2，5；4根火柴可表示的数字为7，空位表示0，则能表示的数有个.
③3根火柴和3根火柴：3根火柴可表示的数字有3，4，6，9，空位表示0，则能表示的数分为2类：除0外的两个数字相同，可表示的数有个；除0外的两个数字不同，则有个，所以共有个.
④1根火柴、1根火柴和4根火柴：即为1，1，7组成的数，共有3个（117，171，711）.
⑤1根火柴、2根火柴和3根火柴：即由1，2或5中的一个数字，3，4，6或9中的一个数字组成的三位数，共有个.
⑥2根火柴、2根火柴、2根火柴：即由2或5组成的三位数，分为两类：三个数字都相同，共有2个（222，555）；三个数字中的两个数字相同，则有个，共有个.
综上可知，可组成的三位数共有个.故选D.
23.答案：C
解析：根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为，
则，，，1，2，…，20，
当时，由
得
化简得解得，
这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4.
故选C.
24.答案：C
解析：由频率分布直方图知年收入低于4.5万元的农户比率估计为，故A正确；年收入不低于10.5万元的农户比率估计为，故B正确；该地农户家庭年收入的平均值约为，故C错误；年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率约为，故D正确.故选C.
25.答案：B
解析：，所以，.设，则，所以，所以.
，
所以，所以.
所以所求N的值为53.
故选B.
26.答案：AC
解析：对于A，小张同学投进区域③的概率为4p，投进区域④的概率为，所以，则A正确.对于B，小张同学第二次投完实心球后，恰好游戏过关，其包含“第一次未投中区域①或②，第二次投中区域①或②”和“第一次与第二次均投中区域③”两个事件，则，则B错误.对于C，第四次投完实心球后，恰好游戏胜利，则需前三次投完后有一次投进区域③且有两次投进区域④，所以，则C正确.对于D，.令，得或.又，所以，则D错误.故选AC.
27.答案：BC
解析：由题意可得，则，，故A错误，B正确；
对于C，设小李一天上班路上至少遇到一次红灯的概率为t，则，故，
小李在星期一到星期五这5天内的上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为，
设，，则，令，得，解得（舍去）或或（舍去），当时，，当时，，故，即小李在星期一到星期五这5天内的上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为，故C正确；
对于D，当时，小李一天上班路上遇不到红灯的概率为，遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为，
故一天遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D错误.故选BC.
28.答案：①②④
解析：由题意可知X服从超几何分布，也服从超几何分布，
，.
又X的分布列为
，
.
的分布列为
，
.
，，①②④正确.
29.答案：
解析：设事件“第次出现红球”，事件“第次出现绿球”，事件“第n次出现红球”，其中，，则，，，，由全概率公式，得.所以，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以.
30.答案：（1）
（2）用反比例函数模型拟合效果更好；产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元
（3）需要寻找此非原料成本数据出现异样成本的原因
解析：（1）令，则可转化为，
因为，所以，
所以，所以，
所以y关于x的回归方程为.
（2）y与的相关系数为
，
因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好.
把代入得（元）.
所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元.
（3）因为，所以，
因为样本标准差为
，
所以，所以非原料成本y服从正态分布，
所以，
因为56.5在之外，所以需要寻找此非原料成本数据出现异样成本的原因.
x
0
1
2
3
4
y
10
15
20
30
35
经常应用
偶尔应用或者不应用
总计
郊区学校
40
城区学校
60
总计
100
60
160
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
气温/℃
18
13
10
用电量/
24
34
38
64
等级
一等品
二等品
三等品
指标值m
产品收益率
p
数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
形式
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
Ⅸ
用时/秒
男性人数
15
22
14
9
女性人数
5
11
17
7
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
56.5
31
22.75
17.8
15.95
14.5
13
12.5
0.34
0.115
1.53
184
5777.555
93.06
30.705
13.9
经常应用
偶尔应用或者不应用
总计
郊区学校
40
40
80
城区学校
60
20
80
总计
100
60
160
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
P
1
2
3
P