新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计微专题一概率与函数综合问题练习含答案
展开(1)根据频率分布直方图,求a的值及样本平均数的估计值;
(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为样本平均数的估计值,σ=10.5.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试,试估计能参加复试的人数;
(3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题,已知小明进入了复试,且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为x,答对物理题的概率为y.若小明全部答对的概率为18,答对两道题的概率为P,求概率P的最小值.
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解析 (1)∵10×(0.012+0.026+0.032+a+0.010)=1,
∴a=0.02.
样本平均数的估计值为50×0.12+60×0.26+70×0.32+80×0.2+90×0.1=69.
(2)∵μ=69,σ=10.5,
∴P(X≥90)=P(X≥μ+2σ)≈1−0.95452=0.022 75.
∴能参加复试的人数约为40 000×0.022 75=910.
(3)由题意有x2y=18.
答对两道题的概率P=x2(1-y)+C21x(1-x)y=x2+2xy-3x2y=x2+14x-38.
令f(x)=x2+14x-38(0
当x∈12,1时, f '(x)>0, f(x)在12,1内单调递增.
∴当x=12时, f(x)min=38.故概率P的最小值为38.
2.(2024湖北武汉汉阳部分学校一模,17)某校为了丰富课余活动,同时训练学生的逻辑思维能力,在高中三个年级举办中国象棋比赛,经过各年级初赛,高一、高二、高三分别有3人,4人,5人进入决赛,决赛采取单循环方式,即每名队员与其他队员都要进行1场比赛(每场比赛都采取5局3胜制,初赛、决赛的赛制相同,记分方式相同),最后根据积分选出冠军,积分规则如下:比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分,失败的队员积0分;而在比赛中以3∶2取胜的队员积2分,失败的队员积1分.
(1)从进入决赛的12人中随机抽取2人进行表演赛,这2人恰好来自不同年级的概率是多少?
(2)初赛时,高三甲、乙两同学对局,设每局比赛甲取胜的概率均为p(0
解析 (1)由题意可知这2人恰好来自不同年级的概率是P=C31C41+C31C51+C41C51C122=4766.
(2)由题意可知f(p)=C32p2(1-p)p=3p3-3p4,(提示:以3∶1取胜需满足前3局胜2局,第4局必胜)
所以f '(p)=3p2(3-4p),
显然34
0
0,即f(p)单调递增,
则p=34时, f(p)取得最大值.
由题意可知X的可能取值为3,2,1,0,
则P(X=3)=343+C32342×1−34×34=189256,
P(X=2)=C42×342×1−342×34=81512,
P(X=1)=C42×342×1−342×1−34=27512,
P(X=0)=1−343+C31×34×1−342×1−34=13256,
则X的分布列为
所以E(X)=0×13256+1×27512+2×81512+3×189256=1323512.
3.(2024浙江杭州二模,19)在概率统计中,常常用频率估计概率.已知袋中有若干个红球和白球,有放回地随机摸球n次,红球出现m次.假设每次摸出红球的概率为p,根据频率估计概率的思想,则每次摸出红球的概率p的估计值为p^=mn.
(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3,不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取3个球,设摸出的球为红球的次数为Y,则Y~B(3,p).
(注:Pp(Y=k)表示当每次摸出红球的概率为p时,摸出红球次数为k的概率)
(i)完成下表:
(ii)在统计理论中,把使得Pp(Y=k)的取值达到最大时的p,作为p的估计值,记为p^,请写出p^的值.
(2)把(1)中“使得Pp(Y=k)的取值达到最大时的p作为p的估计值p^”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.
具体步骤:先对参数θ构建对数似然函数l(θ),再对其关于参数θ求导,得到似然方程l'(θ)=0,最后求解参数θ的估计值.已知Y~B(n,p)的参数p的对数似然函数为l(p)=i=1nXiln i=1npi=1n+(1-Xi)ln(1-p),其中Xi=0,第i次摸出白球,1,第i次摸出红球.求参数p的估计值,并且说明频率估计概率的合理性.
解析 (1)因为袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3,且Y~B(3,p),所以p的值为14或34.
(i)当p=14时,P14(Y=1)=C31p1(1-p)2=2764,P14(Y=2)=C32p2(1-p)=964,
当p=34时,P34(Y=0)=C30p0(1-p)3=164,P34(Y=2)=C32p2·(1-p)=2764,
表格为
(ii)由(i)中表可知Pp(Y=k)=C3kpk(1-p)3-k.
当Y=0或1时,参数p=14的概率最大;当Y=2或3时,参数p=34的概率最大.
所以p^=14,Y=0,1,34,Y=2,3.
(2)对l(p)=i=1nXiln p+i=1n(1-Xi)ln(1-p)求导得l'(p)=1pi=1nXi-11−pi=1n(1-Xi),
令1pi=1nXi-11−pi=1n(1-Xi)=0,
即1−pp=i=1n(1−Xi)i=1nXi=n−i=1nXii=1nXi=ni=1nXi-1,
故p=1ni=1nXi,即当p∈0,1ni=1nXi时,l'(p)>0,
当p∈1ni=1nXi,1时,l'(p)<0,
故l(p)在0,1ni=1nXi上单调递增,在1ni=1nXi,1上单调递减,即当p=1ni=1nXi时,l(p)取最大值,故p^=1ni=1nXi.
因此,用最大似然估计的参数p^与频率估计概率的p^是一致的,故用频率估计概率是合理的.
4.(2024广东广州一模,19)某校开展科普知识团队接力闯关活动,该活动共有两关,每个团队由n(n≥3,n∈N*)位成员组成,成员按预先安排的顺序依次上场,具体规则如下:若某成员第一关闯关成功,则该成员继续闯第二关,否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关;若某成员第二关闯关成功,则该团队接力闯关活动结束,否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关;当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关,该团队接力闯关活动结束.已知某团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为34和12,且每位成员闯关是否成功互不影响,每关结果也互不影响.
(1)若n=3,用X表示该团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数,求X的均值;
(2)记该团队第k(1≤k≤n-1,k∈N*)位成员上场且闯过第二关的概率为pk,集合k∈N*pk<3128中元素的最小值为k0,规定团队人数n=k0+1,求n.
解析 (1)依题意,知X的所有可能取值为1,2,3,
P(X=1)=34×12=38,P(X=2)=14×38+34×12×12=932,P(X=3)=1-38-932=1132,
所以X的分布列为
数学期望E(X)=1×38+2×932+3×1132=6332.
(2)由题意第k(1≤k≤n-1,k∈N*)位成员上场且闯过第二关的概率为pk.
依据“哪位成员成功闯过第一关”对所求事件A:“团队第k位成员上场闯过第二关”进行分类,记“第i(1≤i≤k)位成员成功闯过第一关且第k位成员闯过第二关”为事件Ai,则A=Ak+Ak-1+…+A1,A1表示第1位成员成功闯过第一关,且第1~(k-1)位成员均没有闯过第二关,最后由第k位成员闯过第二关,
则P(A1)=34·1−12k−1·12=34·12k,
同理,P(A2)=1−34·34·1−12k−2·12=34·1412k−1,
P(A3)=1−342·34·1−12k−3·12=34·14212k−2,
……
Ai表示第1~(i-1)位成员没有闯过第一关,由第i位成员闯过第一关,然后第i~(k-1)位成员均没有闯过第二关,最后第k位成员闯过第二关,则P(Ai)=1−34i−1·34·1−12k−1−(i−1)·12=34·14i−112k−i+1,
……
Ak-1表示第1~(k-2)位成员没有闯过第一关,然后第(k-1)位成员闯过第一关,没有闯过第二关,最后第k位成员闯过第二关,则P(Ak-1)=1−34k−2·34·1−121·12=34·14k−2122,
Ak表示第1~(k-1)位成员没有闯过第一关,然后第k位成员接连闯过第一关和第二关,则P(Ak)=1−34k−1·34·12=34·14k−1121.
因为A1,A2,…,Ak-1,Ak两两互斥,所以pk=P(A)=i=1kP(Ai)
=34·12k+34·1412k−1+34·14212k−2+…+34·14i−112k−i+1+…+34·14k−1121
=3412k+12k+1+12k+2+…+12k+i−1+…+122k−1
=34·12k1−12k1−12,
由3212k−122k<3128,令m=12k,m∈(0,1),即m2-m+164>0,解得m<4−158,即12k<4−158,解得k≥6,
所以k0=6,n=7.X
0
1
2
3
P
13256
27512
81512
189256
k
0
1
2
3
P14(Y=k)
2764
164
P34(Y=k)
964
2764
k
0
1
2
3
P14(Y=k)
2764
2764
964
164
P34(Y=k)
164
964
2764
2764
X
1
2
3
P
38
932
1132