广东省汕头市潮阳黄图盛中学2024-2025学年高二上学期12月阶段考试数学试题

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第一部分（选择题 共58分）
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）直线l：2x+2y﹣7＝0的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
3．“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
4．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A．B．C．D．
5．已知圆C:x2+y2=1，直线：y=2x+b相交，那么实数b的取值范围是（ ）
A．（-3，1）B．（-，-）C．（，）D．（-，）
6．如图，设抛物线的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A、B、C，其中点 ，在抛物线上，点 在轴上，则 与的面积之比是
A．B．C．D．
7．已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线与圆交于，两点，当取得最小值时，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则
10．下列说法正确的是( )
A．直线的倾斜角的范围是
B．直线恒过定点
C．曲线与曲线恰有三条公切线，则
D．方程表示的曲线是双曲线的右支
11．已如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G是棱上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面截正方体所得截面为六边形
B．点G到平面的距离为定值
C．若，且，则G为棱的中点
D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是 ．
13.已知双曲线的左、右焦点分别为，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M．若，且，则的离心率为 ．
14.已知点，点是双曲线左支上的动点，为其右焦点，是圆的动点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求B.(2)若，，___________，求.
在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
16．（15分）已知椭圆C：的一个焦点为，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积．
17. （15分）甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束，各局比赛结果互不影响，已知每局比赛甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为．
(1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率；
(2)若第一局由甲乙对战，求甲获胜的概率．
18．（17分）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．
(1)证明：平面；
(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．
19. （17分）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于、两个动点，过点垂直于轴的直线与过点垂直于轴的直线交于点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）点、在曲线上，以为直径的圆经过原点，作，垂足为.试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由.