广东省汕头市潮阳黄图盛中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份广东省汕头市潮阳黄图盛中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题，共4页。

命题人：郑少燕、黄泽玲、李胜雄
命题时间：2023年10月6日
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分也非必要条件
3．已知集合，则为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点，将，，分别沿，，折起，使得三点重合于点，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为，，，则（ ）
A．平面平面ABCB．平面平面ABC
C．平面α、平面ABC相交但不垂直D．以上均有可能
6．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字．记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（ ）
A．与不独立 B．与不独立 C．与相互独立 D．与相互独立
8．在正四棱锥中，分别为的中点，直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使∥的是（ ）
A． B．
C． D．
10．有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，则（ ）
A．新样本数据的样本平均数小于原样本数据的样本平均数
B．新样本数据的标准差不大于原样本数据的标准差
C．新样本数据的极差不大于原样本数据的极差
D．新样本数据的上四分位数不小于原样本数据的上四分位数
11．下列说法中正确的是（ ）
A．若直线斜率为，则它的倾斜角为
B．若，，则直线的倾斜角为
C．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
D．若直线的斜率为，则这条直线必过与两点
12．在正四棱柱中，，，E为的中点，是棱上一点，则（ ）
A．的最小值为B．存在点，使得
C．存在点，使得D．存在点，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量满足，则 ．
14．已知直线l与直线垂直，且经过点，则直线l的方程为 ．
15．已知为锐角，，，则
16．如图，已知扇形的半径为1，以为坐标原点建立平面直角坐标系，，，则弧的中点的坐标为 ；向量在上的投影向量为 .（请用坐标表示）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知向量，，函数
(1)求的单调递增区间；
(2)若不等式对都成立，求实数m的最大值．
18．(本小题满分12分)
已知直线与直线．
(1)若，求m的值；
(2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．
19．(本小题满分12分)
已知正四棱柱，E为中点，F为中点．
(1)证明：为与的公垂线； (2)求点到面的距离．
20．(本小题满分12分)
学校组织数学知识应用能力测试，测试满分为100分，从测试卷中随机抽取400份作为样本，将样本的成绩（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计测试成绩的第80百分位数；
(2)现从该样本成绩在与的学生中按分层抽样抽取6人，6人中再随机取2人，求2人的测试成绩来自不同组的概率．
21．(本小题满分12分)
在①；②；③这三个条件中任意选择一个补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题目.
在，内角的对边分别是，已知__________.
(1)求； (2)若，求的长.
22．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，分别为，的中点.

(1)求证：平面； (2)若，求二面角的余弦值.