上海市2024年中考数学二模试题按照知识点分层汇编-04图形的性质

这是一份上海市2024年中考数学二模试题按照知识点分层汇编-04图形的性质，共23页。
1．（2024•闵行区二模）在矩形ABCD中，AB＜BC，点E在边AB上，点F在边BC上，联结DE、DF、EF，AB＝a，BE＝CF＝b，DE＝c，∠BEF＝∠DFC，以下两个结论：①（a+b）2+（a﹣b）2＝c2；②a+b＞22c．其中判断正确的是（ ）
A．①②都正确B．①②都错误
C．①正确，②错误D．①错误，②正确
2．（2024•崇明区二模）探究课上，小明画出△ABC，利用尺规作图找一点D，使得四边形ABCD为平行四边形．①～③是其作图过程：
①以点C为圆心，AB长为半径画弧；
②以点A为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点D；
③联结CD、AD，则四边形ABCD即为所求作的图形．
在小明的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
3．（2024•徐汇区二模）如图，一个半径为9cm的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了120°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（ ）
A．5πcmB．6πcmC．7πcmD．8πcm
4．（2024•浦东新区二模）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
5．（2024•崇明区二模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边AB有交点，那么r的取值范围是（ ）
A．5≤r≤12或r=6013B．5＜r＜12
C．6013＜r＜12D．6013≤r≤12
6．（2024•长宁区二模）下列命题是假命题的是（ ）
A．对边之和相等的平行四边形是菱形
B．一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形
C．一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形
D．被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形
7．（2024•长宁区二模）如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（ ）
A．AB=BCB．∠AOD＝3∠BOC
C．AC＝2CDD．OC⊥BD
8．（2024•宝山区二模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，tanB=12，如果以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点，那么⊙C的半径R的取值范围是（ ）
A．2＜R≤5B．2≤R≤5C．5≤R≤25D．0＜R≤5
9．（2024•嘉定区二模）下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的梯形是等腰梯形
10．（2024•嘉定区二模）在△ABC中，AB＝AC＝8，cs∠B=14，以点C为圆心，半径为6的圆记作圆C，那么下列说法正确的是（ ）
A．点A在圆C外，点B在圆C上
B．点A在圆C上，点B在圆C内
C．点A在圆C外，点B在圆C内
D．点A、B都在圆C外
11．（2024•普陀区二模）已知△ABC中，AH为边BC上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．BH＝HCB．∠BAH＝∠CAH
C．∠B＝∠HACD．S△ABH＝S△AHC
12．（2024•松江区二模）已知矩形ABCD中，AB＝12，AD＝5，分别以A，C为圆心的两圆外切，且点D在⊙A内，点B在⊙C内，那么⊙C半径r的取值范围是（ ）
A．5＜r＜6B．5＜r＜6.5C．5＜r＜8D．5＜r＜12
13．（2024•静安区二模）对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题
D．①、②都是假命题
14．（2024•虹口区二模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，BE＝2，AF＝6，如果AE∥CF，那么△ABE的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
15．（2024•金山区二模）下列命题中真命题是（ ）
A．相等的圆心角所对的弦相等
B．正多边形都是中心对称图形
C．如果两个图形全等，那么他们一定能通过平移后互相重合
D．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形
16．（2024•奉贤区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，下列条件能判断四边形ABCD是正方形的是（ ）
A．AC＝DB且DA⊥ABB．AB＝BC且AC⊥BD
C．AB＝BC且∠ABD＝∠CBDD．DA⊥AB且AC⊥BD
17．（2024•虹口区二模）在▱ABCD中，BC＝5，S▱ABCD＝20．如果以顶点C为圆心，BC为半径作⊙C，那么⊙C与边AD所在直线的公共点的个数是（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
18．（2024•闵行区二模）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝5，AC＝12，以点A，点B，点C为圆心的⊙A，⊙B，⊙C的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（ ）
A．点B在⊙A上B．⊙A与⊙B内切
C．⊙A与⊙C有两个公共点D．直线BC与⊙A相切
19．（2024•金山区二模）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，对角线AC、BD相交于点O．下列说法能使四边形ABCD为菱形的是（ㅤㅤ）
A．AB＝CDB．∠ACB＝∠ACDC．∠BAC＝∠DACD．AC＝BD
20．（2024•徐汇区二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果添加一个条件使得▱ABCD是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（ ）
A．∠DAO+∠ADO＝90°B．∠DAC＝∠ACD
C．∠DAC＝∠BACD．∠DAB＝∠ABC
21．（2024•青浦区二模）已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（ ）
A．AC＝BDB．∠ABC＝∠BCD
C．OB＝OC，OA＝ODD．OB＝OC，AB＝CD
22．（2024•松江区二模）下列命题中假命题是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
23．（2024•静安区二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断菱形ABCD是正方形的为（ ）
A．∠AOB＝∠AODB．∠ABO＝∠ADOC．∠BAO＝∠DAOD．∠ABC＝∠BCD
24．（2024•浦东新区二模）如图，AB∥CD，∠D＝13°，∠B＝28°，那么∠E等于（ ）
A．13°B．14°C．15°D．16°
25．（2024•杨浦区二模）下列命题中，真命题的是（ ）
A．四条边相等的四边形是正方形
B．四个内角相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
二．填空题（共35小题）
26．（2024•嘉定区二模）如图在正方形ABCD的外侧作一个△CDE，已知DC＝DE，∠DCE＝70°，那么∠AED等于 ．
27．（2024•青浦区二模）如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角∠BAC＝15°，那么这个正多边形的中心角是 度．
28．（2024•普陀区二模）已知一个角的余角是这个角的两倍，那么这个角的补角是 度．
29．（2024•崇明区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，2BC＝5AD，若DA→=a→，DC→=b→，用a→、b→表示DB→= ．
30．（2024•长宁区二模）如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F不与点C重合），且∠EAF＝45°，那么CFBE的值为 ．
31．（2024•长宁区二模）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，如果△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ．
32．（2024•崇明区二模）已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为 cm．
33．（2024•崇明区二模）如图，点G是△ABC的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作GE∥BC，交AC于点E，则S△DGES△ABD= ．
34．（2024•长宁区二模）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝2AD，点E是AC的中点，联结DE，设向量BA→=a→，BC→=b→，如果用a→、b→表示DE→，那么DE→= ．
35．（2024•宝山区二模）如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线．设AB、BC的中点分别为M、N．如果MN＝3米，那么AC＝ 米．
36．（2024•宝山区二模）为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形ABCD是观众观演区，阴影部分是舞台，CD是半圆O的直径，弦EF与CD平行．已知EF长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 名观众．
37．（2024•宝山区二模）如图，正六边形ABCDEF，连接OE、OD，如果OD→=a→，OE→=b→，那么AB→= ．
38．（2024•嘉定区二模）如图，在△ABC中，线段AD是边BC上的中线，点E是AD的中点，设向量AB→=a→，BC→=b→，那么向量AE→= （结果用a→、b→表示）．
39．（2024•嘉定区二模）如图在圆O中，AB是直径，弦CD与AB交于点E，如果AE＝1，EB＝9，∠AEC＝45°，点M是CD的中点，联结OM，并延长OM与圆O交于点N，那么MN＝ ．
40．（2024•嘉定区二模）定义：如果三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做准直角三角形．
已知在直角△ACB中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝12，如图，如果点D在边BC上，且△ADB是准直角三角形，那么CD＝ ．
41．（2024•静安区二模）如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是 度．
42．（2024•金山区二模）在△ABC中，∠A和∠B互余，那么∠C＝ °．
43．（2024•金山区二模）正n边形的内角等于外角的5倍，那么n＝ ．
44．（2024•闵行区二模）计算：3(2a→-b→)+5(2a→+3b→)= ．
45．（2024•静安区二模）如果半径分别为r和2的两个圆内含，圆心距d＝3，那么r的取值范围是 ．
46．（2024•静安区二模）在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，设DE→=a→，DF→=b→，那么向量AB→用向量a→、b→表示为 ．
47．（2024•闵行区二模）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，AC=22，那么梯形ABCD的中位线长为 ．
48．（2024•青浦区二模）如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点F，设AB→=a→，FE→=b→，那么向量BC→用向量a→、b→表示为 ．
49．（2024•普陀区二模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，过点A作AE∥DC分别交BD、BC于点F、E，BEBC=23，设AD→=a→，AB→=b→，那么向量FE→用向量a→、b→表示为 ．
50．（2024•奉贤区二模）已知两个半径都为4的⊙A与⊙B交于点C、D，CD＝6，那么圆心距AB的长是 ．
51．（2024•金山区二模）如图，已知平行四边形ABCD中，AB→=a→，AC→=b→，E为AD上一点，AE＝2ED，那么用a→，b→表示AE→= ．
52．（2024•虹口区二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝105°，OA＝8，点C在半径OA上，将△BOC沿着BC翻折，点O的对称点D恰好落在弧AB上，再将弧AD沿着CD翻折至弧A1D（点A1是点A的对称点），那么OA1的长为 ．
53．（2024•闵行区二模）如图，在△ABC中，BC、AC上的中线AE、BD相交于点F，如果∠BAE＝∠C，那么AFAC的值为 ．
54．（2024•松江区二模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC、BD交于点O．设AB→=a→，AD→=b→，那么向量 AO→ 可用 a→，b→ 表示为 ．
55．（2024•金山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点C为圆心作半径为1的圆C，P是AB上的一个点，以P为圆心，PB为半径作圆P，如果圆C和圆P有公共点，那么BP的取值范围是 ．
56．（2024•奉贤区二模）如图，已知点A、B、C在直线l上，点P在直线l外，BC＝2AB，PA→=a→，PB→=b→，那么PC→= ．（用向量a→、b→表示）
57．（2024•普陀区二模）已知正方形ABCD的边长为4，点E、F在直线BC上（点E在点F的左侧），∠EAF＝45°，如果BE＝1，那么CF的长是 ．
58．（2024•虹口区二模）如图，已知正六边形螺帽的边长是4cm，那么与该螺帽匹配的扳手的开口a为 cm．
59．（2024•虹口区二模）如图，在▱ABCD中，AB＝7，BC＝8，sinB=45．点P在边AB上，AP＝2，以点P为圆心，AP为半径作⊙P．点Q在边BC上，以点Q为圆心，CQ为半径作⊙Q．如果⊙P和⊙Q外切，那么CQ的长为 ．
60．（2024•徐汇区二模）如图，梯形ABCD中，BC∥AD，AB＝CD，AC平分∠BAD，如果AD＝2AB，AB→=a→，AD→=b→，那么AC→是 （用向量a→、b→表示）．
上海市2024年中考数学二模试题按照知识点分层汇编-04图形的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共25小题）
1．（2024•闵行区二模）在矩形ABCD中，AB＜BC，点E在边AB上，点F在边BC上，联结DE、DF、EF，AB＝a，BE＝CF＝b，DE＝c，∠BEF＝∠DFC，以下两个结论：①（a+b）2+（a﹣b）2＝c2；②a+b＞22c．其中判断正确的是（ ）
A．①②都正确B．①②都错误
C．①正确，②错误D．①错误，②正确
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝a，AD＝BC，
在△BEF与△CFD中，
∠B=∠CBE=CF∠BEF=∠DFC，
∴△BEF≌△CFD（ASA），
∴BF＝CD＝a，EF＝DF，
∴BC＝AD＝BF+CF＝a+b，
∵∠BEF+∠BFE＝∠BFE+∠CFD＝90°，
∴△EFD是等腰直角三角形，
在Rt△ADE中，
∵AE2+AD2＝DE2，
∴（a+b）2+（a﹣b）2＝c2故①正确；
∵EF＝DF=22DE=22c，BE+BF＝a+b，BE+BF＞EF，
∴a+b＞22c．故②正确；
故选：A．
2．（2024•崇明区二模）探究课上，小明画出△ABC，利用尺规作图找一点D，使得四边形ABCD为平行四边形．①～③是其作图过程：
①以点C为圆心，AB长为半径画弧；
②以点A为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点D；
③联结CD、AD，则四边形ABCD即为所求作的图形．
在小明的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
【解答】解：由作图过程可知，AD＝BC，CD＝AB，
根据平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知四边形ABCD为平行四边形．
故选：B．
3．（2024•徐汇区二模）如图，一个半径为9cm的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了120°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（ ）
A．5πcmB．6πcmC．7πcmD．8πcm
【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为9cm，圆心角为120°所对应的弧长，
即120π×9180=6π（cm）．
故选：B．
4．（2024•浦东新区二模）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【解答】解：A．对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故A是假命题，不符合题意；
B．对角线相等的平行四边形是矩形，故B是真命题，符合题意；
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C是假命题，不符合题意；
D．对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，故D是假命题，不符合题意；
故选：B．
5．（2024•崇明区二模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边AB有交点，那么r的取值范围是（ ）
A．5≤r≤12或r=6013B．5＜r＜12
C．6013＜r＜12D．6013≤r≤12
【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，
∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB=AC2+BC2=13，
∵12CD•AB=12BC•AC，
∴CD=6013，
∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为6013≤r≤12．
故选：D．
6．（2024•长宁区二模）下列命题是假命题的是（ ）
A．对边之和相等的平行四边形是菱形
B．一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形
C．一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形
D．被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形
【解答】解：A、∵平行四边形的对边相等，
∴对边之和相等舒，邻边线段，
∴平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题；
B、根据菱形的面积公式可知：一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题；
C、一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
D、有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形不一定是菱形，故被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形是假命题，符合题意；
故选：D．
7．（2024•长宁区二模）如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（ ）
A．AB=BCB．∠AOD＝3∠BOC
C．AC＝2CDD．OC⊥BD
【解答】解：A、∵OB⊥AC，
∴AB=BC，故不符合题意；
B、∵AB=BC，
∴∠AOB＝∠COB，
∵BC＝CD，
∴∠BOC＝∠DOC，
∴∠AOD＝3∠BOC，故不符合题意；
C、∵∠AOB＝∠BOC＝∠DOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD，
∵BD＜BC+CD＝2CD，
∴AC＜2CD，故符合题意；
D、∵OB＝OC，BC＝DC，
∴OC⊥BD，故不符合题意；
故选：C．
8．（2024•宝山区二模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，tanB=12，如果以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点，那么⊙C的半径R的取值范围是（ ）
A．2＜R≤5B．2≤R≤5C．5≤R≤25D．0＜R≤5
【解答】解：∵∠C＝90°，tanB=12，
∴ACBC=12，
设AC＝x，BC＝2x，
∴AB=AC2+BC2=5x＝5，
∴x=5，
∴AC=5，BC＝25，
过点C作CD⊥AB于点D，
∴CD=AC⋅BCAB=2，
∵⊙C与线段AB有两个交点，
∴2＜R≤5，
故选：A．
9．（2024•嘉定区二模）下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的梯形是等腰梯形
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、对角线相等的梯形是等腰梯形，是真命题，符合题意；
故选：D．
10．（2024•嘉定区二模）在△ABC中，AB＝AC＝8，cs∠B=14，以点C为圆心，半径为6的圆记作圆C，那么下列说法正确的是（ ）
A．点A在圆C外，点B在圆C上
B．点A在圆C上，点B在圆C内
C．点A在圆C外，点B在圆C内
D．点A、B都在圆C外
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D点，
∵cs∠B=14，AB＝8，
∴BDAB=14，
∴BD＝2，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝2，
∴BC＝4，
∵AC＝8，
∴以点C为圆心，半径为6的圆记作圆C时，点A在圆C外，点B在圆C内，
故选：C．
11．（2024•普陀区二模）已知△ABC中，AH为边BC上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．BH＝HCB．∠BAH＝∠CAH
C．∠B＝∠HACD．S△ABH＝S△AHC
【解答】解：如图，
∵AH⊥BC，BH＝HC，
∴AH是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
故A不符合题意；
∵∠BAH＝∠CAH，AH＝AH，∠AHB＝∠AHC＝90°，
∴△ABH≌△ACH（ASA）
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
故B不符合题意；
∵∠B＝∠HAC，且∠HAC+∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠B与∠C互余，不一定相等，
∴△ABC不一定是等腰三角形，
故C符合题意；
∵S△ABH＝S△AHC，AH⊥BC，
∴12BH•AH=12CH•AH，
∴BH＝CH，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
12．（2024•松江区二模）已知矩形ABCD中，AB＝12，AD＝5，分别以A，C为圆心的两圆外切，且点D在⊙A内，点B在⊙C内，那么⊙C半径r的取值范围是（ ）
A．5＜r＜6B．5＜r＜6.5C．5＜r＜8D．5＜r＜12
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=AB2+AD2=13，
∵以A，C为圆心的两圆外切，
∴⊙A的半径为AC﹣r＝13﹣r，
∵点D在⊙A内，
∴AD＜13﹣r，
∴r＜8，
∵B在⊙C内，
∴BC＜r，
∴r＞5，
∴5＜r＜8．
故选：C．
13．（2024•静安区二模）对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题
D．①、②都是假命题
【解答】解：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，是真命题；
②在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，故本小题说法是假命题
故选：A．
14．（2024•虹口区二模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，BE＝2，AF＝6，如果AE∥CF，那么△ABE的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【解答】解：∵四边形是ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB＝BC，∠B＝90°，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴CE＝AF＝6，
∵BE＝2，
∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，
∴AB＝8，
∵∠B＝90°，
∴△ABE的面积=12•AB•BE=12×8×2＝8．
故选：B．
15．（2024•金山区二模）下列命题中真命题是（ ）
A．相等的圆心角所对的弦相等
B．正多边形都是中心对称图形
C．如果两个图形全等，那么他们一定能通过平移后互相重合
D．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形
【解答】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、正多边形都是轴对称图形，但不都是中心对称图形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、两个图形全等，它们不一定能通过平移后互相重合，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形，是真命题，符合题意；
故选：D．
16．（2024•奉贤区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，下列条件能判断四边形ABCD是正方形的是（ ）
A．AC＝DB且DA⊥ABB．AB＝BC且AC⊥BD
C．AB＝BC且∠ABD＝∠CBDD．DA⊥AB且AC⊥BD
【解答】解：A、不能，只能判定为矩形，故此选项不符合题意；
B、不能，因为AB＝BC且AC⊥BD只能得到是菱形，故此选项不符合题意；
C、不能，只能判定为菱形，故此选项不符合题意；
D、能，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，故此选项符合题意．
故选：D．
17．（2024•虹口区二模）在▱ABCD中，BC＝5，S▱ABCD＝20．如果以顶点C为圆心，BC为半径作⊙C，那么⊙C与边AD所在直线的公共点的个数是（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【解答】解：如图，作CH⊥DA交DA的延长线于H．
∵S平行四边形ABCD＝BC•CH，
∴CH=205=4，
∵4＜5，
∴直线AD与⊙C相交，
故选：B．
18．（2024•闵行区二模）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝5，AC＝12，以点A，点B，点C为圆心的⊙A，⊙B，⊙C的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（ ）
A．点B在⊙A上B．⊙A与⊙B内切
C．⊙A与⊙C有两个公共点D．直线BC与⊙A相切
【解答】解：A．⊙A的圆心到点B的距离AB＝5，而⊙A的半径是5，因此点B在⊙A上，所以选项A不符合题意；
B．⊙A的半径AB＝5，而⊙B的半径为10，两个圆心之间的距离AB＝10﹣5＝5，所以⊙A与⊙B内切，因此选项B不符合题意；
C．⊙A的半径AB＝5，而⊙C的半径为8，两个圆心之间的距离AC＝12，有12﹣5＜AC＜12+5，即7＜AC＜17，所以⊙A与⊙C相交，即⊙A与⊙C有两个公共点，因此选项C不符合题意；
D．⊙A的圆心A到BC的距离为5×1213≈4.62＜5，所以直线BC与⊙A相交，因此选项D符合题意．
故选：D．
19．（2024•金山区二模）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，对角线AC、BD相交于点O．下列说法能使四边形ABCD为菱形的是（ㅤㅤ）
A．AB＝CDB．∠ACB＝∠ACDC．∠BAC＝∠DACD．AC＝BD
【解答】解：能使四边形ABCD为菱形的是∠BAC＝∠DAC，理由如下：
如图，∵AD∥BC，
∴∠BCA＝∠DAC，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴AB＝BC，
∵AB＝AD，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD为菱形，
故选：C．
20．（2024•徐汇区二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果添加一个条件使得▱ABCD是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（ ）
A．∠DAO+∠ADO＝90°B．∠DAC＝∠ACD
C．∠DAC＝∠BACD．∠DAB＝∠ABC
【解答】解：A、∵∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵∠DAB＝∠ABC，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
21．（2024•青浦区二模）已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（ ）
A．AC＝BDB．∠ABC＝∠BCD
C．OB＝OC，OA＝ODD．OB＝OC，AB＝CD
【解答】解：A、AC＝BD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；
B、∠ABC＝∠BCD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；
C、∵OB＝OC，OA＝OD，
∴∠OBC＝∠OCB，∠OAD＝∠ODA，
在△AOB和△DOC中，
OA=OD∠AOB=∠DOCOB=OC，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴∠ABO＝∠DCO，AB＝CD，
同理：∠OAB＝∠ODC，
∵∠ABC+∠DCB+∠CDA+∠BAD＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是梯形，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，正确；
D、OB＝OC，AB＝CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误．
故选：C．
22．（2024•松江区二模）下列命题中假命题是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【解答】解：由对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，
得D是假命题，
而A，B，C是真命题，
故选：D．
23．（2024•静安区二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断菱形ABCD是正方形的为（ ）
A．∠AOB＝∠AODB．∠ABO＝∠ADOC．∠BAO＝∠DAOD．∠ABC＝∠BCD
【解答】解：A、∵∠AOB＝∠AOD，∠AOB+∠AOD＝180°，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，故不能判断菱形ABCD是正方形；故A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝∠ADC，∠ABD＝∠ADB=12∠ABC，
故不能判断菱形ABCD是正方形；故B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AO⊥BD，
∴∠BAO＝∠DAO，
故不能判断菱形ABCD是正方形；故A不符合题意；
D、∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝90°，
∴菱形ABCD是正方形，故D符合题意．
故选：D．
24．（2024•浦东新区二模）如图，AB∥CD，∠D＝13°，∠B＝28°，那么∠E等于（ ）
A．13°B．14°C．15°D．16°
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝28°，
∴∠BCD＝∠B＝28°．
∵∠BCD是△CDE的外角，∠D＝13°，
∴∠E＝∠BCD﹣∠D＝28°﹣13°＝15°．
故选：C．
25．（2024•杨浦区二模）下列命题中，真命题的是（ ）
A．四条边相等的四边形是正方形
B．四个内角相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
【解答】解：A、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项命题错误，不符合题意；
B、四个内角相等的四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项命题错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是是菱形，不一定是正方形，故本选项命题错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，命题正确，符合题意；
故选：D．
二．填空题（共35小题）
26．（2024•嘉定区二模）如图在正方形ABCD的外侧作一个△CDE，已知DC＝DE，∠DCE＝70°，那么∠AED等于 25° ．
【解答】解：由正方形ABCD，DC＝DE，∠DCE＝70°，
得∠CDE＝180°﹣2×70°＝40°，
得∠ADE＝90°+40°＝130°，
由DE＝DC＝DA，
得∠AED＝（180﹣130）÷2＝25°．
故答案为：25°．
27．（2024•青浦区二模）如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角∠BAC＝15°，那么这个正多边形的中心角是 30 度．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝15°，AB＝BC，
∴∠B＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
即正多边形的一个内角为150°，
∴与∠B相邻的外角为180°﹣150°＝30°，
∴这个正多边形的边数为360°30°=12，
即这个正多边形为正十二边形，
∴正十二边形的中心角为360°12=30°．
故答案为：30．
28．（2024•普陀区二模）已知一个角的余角是这个角的两倍，那么这个角的补角是 150 度．
【解答】解：设这个角为x，
由题意得，90°﹣x＝2x，
解得：x＝30°，
180°﹣30°＝150°，
故答案为：150．
29．（2024•崇明区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，2BC＝5AD，若DA→=a→，DC→=b→，用a→、b→表示DB→= 52a→+b→ ．
【解答】解：∵2BC＝5AD，
∴BC=52AD，
∵AD∥BC，
∵DA→=a→，
∴CB→=52DA→=52a→，
∴DB→=CB→-CD→=52a→+b→，
故答案为：52a→+b→．
30．（2024•长宁区二模）如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F不与点C重合），且∠EAF＝45°，那么CFBE的值为 2 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=2AB，∠ABD＝∠ACD＝45°，∠BAC＝∠EAF＝45°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE∽△CAF，
∴CFBE=ACAB=2，
故答案为：2．
31．（2024•长宁区二模）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，如果△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 r＝3.2或4＜r＜217 ．
【解答】解：如图，
过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝10，
∴HB＝HC=12BC=12×16＝8，
∴AH=AB2-BH2=6，
设O是△ABC的重心，
∴AO=23AH＝4，
当⊙O与AB、AC相切时（切点是M、N），⊙O与△ABC的三边有4个公共点，
连接OM，
∴OM⊥AB，
∴∠AMO＝∠AHB＝90°，
∵∠OAM＝∠BAH，
∴△AOM∽△ABH，
∴OM：BH＝AO：AB，
∴OM＝8＝4：10，
∴OM＝3.2，
∴重心圆的半径r＝3.2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，
如图，
过作AK⊥BC于K，
∵AB＝AC＝10，
∴KB＝KC=12BC=12×16＝8，
∴AK=AB2-BH2=6，
设O′是△ABC的重心，
∴AO′=23AH＝4，
∴KO′＝6﹣4＝2，
∴BO′=BK2+KO'2=217，
当⊙O′与AB、AC有一个公共点，与BC有两个公共点时（⊙O′不过B、C两点），△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，
∴当4＜r＜217时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，
∴重心圆的半径r＝3.2或4＜r＜217时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，
故答案为：r＝3.2或4＜r＜217．
32．（2024•崇明区二模）已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为 3 cm．
【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．
在Rt△AOG中，
∵OA＝2cm，∠AOG＝30°，
∴OG＝OA•cs 30°＝2×32=3（cm）．
故答案为：3．
33．（2024•崇明区二模）如图，点G是△ABC的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作GE∥BC，交AC于点E，则S△DGES△ABD= 19 ．
【解答】解：由GE∥BC，
得△DGE∽△DBC，
由点G是△ABC的重心，
得D是AC中点，DG：DB＝1：3，
得△DGE的面积：△DBC的面积＝1：9，
故△DGE的面积：△ADB的面积＝△DGE的面积：△DBC的面积=19．
故答案为：19．
34．（2024•长宁区二模）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝2AD，点E是AC的中点，联结DE，设向量BA→=a→，BC→=b→，如果用a→、b→表示DE→，那么DE→= 12b→-16a→ ．
【解答】解：在△ABC中，BA→=a→，BC→=b→，则AC→=BC→-BA→=b→-a→．
∵BD＝2AD，点E是AC的中点，
∴DA→=13BA→=13a→，AE→=12AC→=12b→-12a→，
∴DE→=DA→+AE→=13a→+12b→-12a→=12b→-16a→．
故答案为：12b→-16a→．
35．（2024•宝山区二模）如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线．设AB、BC的中点分别为M、N．如果MN＝3米，那么AC＝ 6 米．
【解答】解：∵点M、N分别为AB、BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴AC＝2MN＝2×3＝6（米），
故答案为：6．
36．（2024•宝山区二模）为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形ABCD是观众观演区，阴影部分是舞台，CD是半圆O的直径，弦EF与CD平行．已知EF长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 150 名观众．
【解答】解：设半圆的圆心为O，过点O作OH⊥EF于点H，交⊙O于点J，连接OE．
设OE＝OJ＝r米，
∵OH⊥EF，
∴EH＝FH=12EF＝4（米），
在Rt△OEH中，OE2＝EH2+OH2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5，
∴AB＝CD＝10，AD＝BC＝5，
∴矩形ABCD的面积＝5×10＝50（平方米），
∵每平方米最多可以坐3名观众，
∴观演区可容纳150名观众．
故答案为：150．
37．（2024•宝山区二模）如图，正六边形ABCDEF，连接OE、OD，如果OD→=a→，OE→=b→，那么AB→= a→-b→ ．
【解答】解：如图所示，连接BD，
由题意得，AB＝DE＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝∠CDE=180°×(6-2)6=120°，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°，
∴∠ABD＝∠BDE＝90°，
∴∠ABD+∠BDE＝180°，
∴AB∥DE，
∴AB→=ED→，
∵OD→=a→，OE→=b→，
∴AB→=ED→=OD→-OE→=a→-b→．
故答案为：a→-b→．
38．（2024•嘉定区二模）如图，在△ABC中，线段AD是边BC上的中线，点E是AD的中点，设向量AB→=a→，BC→=b→，那么向量AE→= 12a→+14b→ （结果用a→、b→表示）．
【解答】解：∵线段AD是边BC上的中线，
∴BD＝DC=12BC．
∵BC→=b→，
∴BD→=12b→．
在△ABD中，AB→=a→，BD→=12b→，则AD→=AB→+BD→=a→+12b→．
∵点E是AD的中点，
∴AE=12AD．
∴AE→=12AD→．
∴AE→=12a→+14b→．
故答案为：12a→+14b→．
39．（2024•嘉定区二模）如图在圆O中，AB是直径，弦CD与AB交于点E，如果AE＝1，EB＝9，∠AEC＝45°，点M是CD的中点，联结OM，并延长OM与圆O交于点N，那么MN＝ 5-22 ．
【解答】解：在圆O中，AB是直径，AE＝1，EB＝9，
∴AB＝10，
∴OA＝5，
∴OE＝4，
∵点M是CD的中点，
∴OM⊥CD，
∵∠AEC＝45°，
∴△EOM是等腰直角三角形，
∴PM=22OE＝22，
∴MN＝ON﹣OM=5-22，
故答案为：5-22．
40．（2024•嘉定区二模）定义：如果三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做准直角三角形．
已知在直角△ACB中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝12，如图，如果点D在边BC上，且△ADB是准直角三角形，那么CD＝ 22或2 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝12，
由勾股定理得：BC=AB2-AC2=82，
∵△ADB是准直角三角形，
∴有以下两种情况：
①当∠ADB﹣∠DAB＝90°时，过点D作DH⊥AB于H，如图1所示：
∴∠ADB＝90°+∠DAB，
又∵∠ADB＝∠C+∠DAC＝90°+∠DAC，
∴∠DAB＝∠DAC，
即AD为∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，DH⊥AB于H，
∴CD＝DH，
设CD＝DH＝x，
在Rt△ACD和Rt△AHD中，
CD=DHAD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），
∴AH＝AC＝4，
则BH＝AB﹣AH＝12﹣8＝8，BD＝BC﹣CD=82-x，
在Rt△BDH中，由勾股定理得：DH2+BH2＝BD2，
即x2+82=(82-x)2，
解得：x=22，
∴CD=22；
②当∠ADB﹣∠B＝90°时，如图2所示：
∴∠ADB＝90°+∠B，
∵∠ADB＝90°+∠DAC，
∴∠B＝∠DAC，
∴tan∠B＝tan∠DAC，
在Rt△ABC中，tan∠B=ACBC=482=24，
在Rt△ACD中，tan∠DAC=CDAC=CD4，
∴CD4=24，
∴CD=2，
综上所述：CD=22或2．
故答案为：22或2．
41．（2024•静安区二模）如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是 60 度．
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
∴正六边形的中心角是360°÷6＝60°，
故答案为：60．
42．（2024•金山区二模）在△ABC中，∠A和∠B互余，那么∠C＝ 90 °．
【解答】解：∵∠A和∠B互余，
∴∠A+∠B＝90°，
根据三角形内角和定理得：∠A+∠B+∠C＝90°，
∴∠C＝90°．
故答案为：90．
43．（2024•金山区二模）正n边形的内角等于外角的5倍，那么n＝ 12 ．
【解答】解：∵正n边形的内角等于1n(n-2)×180°，外角等于1n×360°，
又∵正n边形的内角等于外角的5倍，
∴1n(n-2)×180°=5×1n×360°，
解得：n＝12．
经检验得n＝12是该分式方程的根，
故答案为：12．
44．（2024•闵行区二模）计算：3(2a→-b→)+5(2a→+3b→)= 16a→+12b→ ．
【解答】解：3(2a→-b→)+5(2a→+3b→)
＝6a→-3b→+10a→+15b→
=16a→+12b→．
故答案为：16a→+12b→．
45．（2024•静安区二模）如果半径分别为r和2的两个圆内含，圆心距d＝3，那么r的取值范围是 r＞5 ．
【解答】解：∵半径分别为r和2的两个圆内含，圆心距d＝3，
∴r＞2，d＜r﹣2，
∵d＝3，
∴3＜r﹣2，
得：r＞5，
故答案为：r＞5．
46．（2024•静安区二模）在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，设DE→=a→，DF→=b→，那么向量AB→用向量a→、b→表示为 ﹣2a→+2b→ ．
【解答】解：在△ABC中，∵点E、F分别是边AC、BC的中点，
∴FE是△ABC的中点．
∴EF=12AB．
∴AB＝2EF．
∵DE→=a→，DF→=b→，
∴EF→=DF→-DE→=-a→+b→．
∴AB→=2EF→=-2a→+2b→．
故答案为：﹣2a→+2b→．
47．（2024•闵行区二模）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，AC=22，那么梯形ABCD的中位线长为 2 ．
【解答】解：作DE∥AC交BC的延长线于点E，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED为平行四边形，
∴AD＝CE，DE＝AC＝22，ED⊥BD，
AD+BC＝CE+BC＝BE=BD2+ED2=(22)2+(22)2=4，
∴梯形的中位线为：12（AD+BC）=12×4＝2，
故答案为：2．
48．（2024•青浦区二模）如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点F，设AB→=a→，FE→=b→，那么向量BC→用向量a→、b→表示为 a→+6b→ ．
【解答】解：连接DE，
∵AD、BE是△ABC的中线，
∴F是△ABC的重心，
∴BE＝3FE，
∴EB→=-3b→，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB，
∴ED→=12a→，
∴BD→=ED→-EB→=12a→+3b→，
∴BC→=2BD→=a→+6b→．
故答案为：a→+6b→．
49．（2024•普陀区二模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，过点A作AE∥DC分别交BD、BC于点F、E，BEBC=23，设AD→=a→，AB→=b→，那么向量FE→用向量a→、b→表示为 43a→+23b→ ．
【解答】解：∵AD→=a→，AB→=b→，
∴BD→=AD→-AB→=a→-b→，
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝CE，
∵BEBC=23，
∴ADBE=CEBE=12，BFBD=23，
∴BE＝2AD，BF=23BD，
∴BE→=2AD→=2a→，BF→=23BD→=23(a→-b→)，
∴FE→=BE→-BF→=2a→-23(a→-b→)=43a→+23b→，
故答案为：43a→+23b→．
50．（2024•奉贤区二模）已知两个半径都为4的⊙A与⊙B交于点C、D，CD＝6，那么圆心距AB的长是 27 ．
【解答】解：设AB和CD交于点O，连接AC，BC，如图：
∵⊙A与⊙B交于点C、D，
∴AB⊥CD，OC＝OD＝3，
又∵AC＝BD＝4，
∴AO＝OB=7，
∴AB＝27．
故答案为：27．
51．（2024•金山区二模）如图，已知平行四边形ABCD中，AB→=a→，AC→=b→，E为AD上一点，AE＝2ED，那么用a→，b→表示AE→= 23b→-23a→ ．
【解答】解：∵AB→=a→，AC→=b→，
∴BC→=AC→-AB→=b→-a→．
∵AE＝2ED，
∴AE=23AD．
在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∴AE=23BC，AD→=BC→．
∴AE→=23BC→=23BC→．
∴AE→=23b→-23a→．
故答案为：23b→-23a→．
52．（2024•虹口区二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝105°，OA＝8，点C在半径OA上，将△BOC沿着BC翻折，点O的对称点D恰好落在弧AB上，再将弧AD沿着CD翻折至弧A1D（点A1是点A的对称点），那么OA1的长为 82-8 ．
【解答】解：如图，连接OD，由翻折的性质可知，OB＝BD，OC＝DC，AC＝A1C，∠BOC＝∠BDC＝105°，
∵OB＝OD，
∴OB＝OD＝BD，
∴△BOD是正三角形，∠OBD＝60°，
∴∠OCD＝360°﹣105°﹣105°﹣60°＝90°，
设AC＝a，则OC＝8﹣a＝CD，A1O＝8﹣2a，
在Rt△COD中，OC＝CD＝8﹣a，OD＝8，由勾股定理得，
OC2+CD2＝OD2，
即（8﹣a）2+（8﹣a）2＝82，
解得a＝8﹣42或a＝8+42＞8（舍去），
∴OA1＝OA﹣2AC
＝8﹣2（8﹣42）
＝8﹣16+82
＝82-8．
故答案为：82-8．
53．（2024•闵行区二模）如图，在△ABC中，BC、AC上的中线AE、BD相交于点F，如果∠BAE＝∠C，那么AFAC的值为 23 ．
【解答】解：连接DE，
∵BC、AC上的中线AE、BD相交于点F，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴DE∥AB，DE=12AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴EFAF=DEAB=12，
∴AF＝2EF，
∴AF=23AE，
∵∠ABC＝∠ABC，∠BAE＝∠C，
∴△ABE∽△CBA，
∴ABBC=AEAC=BEAB，
∵BC＝2BE，
∴AB=2BE，
∴AEAC=BE2BE=22，
∴AC=2AE，
∴AFAC的值为23AE2AE=23，
故答案为：23．
54．（2024•松江区二模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC、BD交于点O．设AB→=a→，AD→=b→，那么向量 AO→ 可用 a→，b→ 表示为 13a→+23b→ ．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴AO：OC＝AB：DC＝2，
∴AO=23AC，
过C作CE∥AD交AB于E，如图：
∴四边形ADCE为平行四边形，
∴AE＝CD=12AB，AC→=AD→+AE→，
∴AO→=23AC→=23AD→+23AE→=13a→+23b→．
故答案为：13a→+23b→．
55．（2024•金山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点C为圆心作半径为1的圆C，P是AB上的一个点，以P为圆心，PB为半径作圆P，如果圆C和圆P有公共点，那么BP的取值范围是 107≤BP≤5 ．
【解答】解：当⊙P与⊙C外切时，如图1，连接CP，过点P作PM⊥BC，垂足为M，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC=AB2-BC2=4，
由于ACAB=sinB=PMPB=45，
设PB＝x，则PC＝x+1，
∴PM=45x，BM=35x，
在Rt△PCM中，PC＝x+1，PM=45x，CM＝3-35x，由勾股定理得，
CM2+PM2＝PC2，
即（3-35x）2+（45x）2＝（x+1）2，
解得x=107；
当⊙P与⊙C内切时，如图2，
设PB＝y，则PC＝y﹣1，PM=45y，BM=35y，
在Rt△PCM中，PC＝y﹣1，PM=45y，CM＝3-35y，由勾股定理得，
CM2+PM2＝PC2，
即（3-35y）2+（45y）2＝（y﹣1）2，
解得y＝5；
∴当圆C和圆P有公共点，BP的取值范围为107≤BP≤5．
故答案为：107≤BP≤5．
56．（2024•奉贤区二模）如图，已知点A、B、C在直线l上，点P在直线l外，BC＝2AB，PA→=a→，PB→=b→，那么PC→= 3b→-2a→ ．（用向量a→、b→表示）
【解答】解：∵PA→=a→，PB→=b→，
∴AB→=PB→-PA→=b→-a→．
∵BC＝2AB．
∴AC→=3AB→=3b→-3a→．
∴PC→=PA→+AC→=a→+3b→-3a→=3b→-2a→．
故答案为：3b→-2a→．
57．（2024•普陀区二模）已知正方形ABCD的边长为4，点E、F在直线BC上（点E在点F的左侧），∠EAF＝45°，如果BE＝1，那么CF的长是 85或83 ．
【解答】解：如图，当点E在点B的左侧，
连接AC，过F作FH⊥AC于H，
∵正方形ABCD是正方形，AB＝BC＝4，
∴∠ABE＝∠ABF＝90°，AB＝BC＝4，∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴△CHF是等腰直角三角形，AC=AB2+BC2=42，
∴CH＝FH，
设CH＝FH＝x，
∴AH＝42-x，CF=2x，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAB＝45°﹣∠BAF＝∠CAF，
∵∠ABE＝∠AHC＝90°，
∴△ABE∽△AHF，
∴ABAH=BEFH，
∴442-x=1x，
∴x=425，
∴CF=2×425=85；
如图，当点E在点B的左侧，连接AC，过F作FH⊥AC交AC的延长线于H，
同理可得CF=83，
故答案为：CF的长是85或83．
58．（2024•虹口区二模）如图，已知正六边形螺帽的边长是4cm，那么与该螺帽匹配的扳手的开口a为 43 cm．
【解答】解：如图，连接AC，过点B作BM⊥AC于点M，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=(6-2)×180°6=120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB=180°-120°2=30°，
在Rt△ABM中，∠BAC＝30°，AB＝4cm，
∴AM=32AB＝23（cm），
∴AC＝2AM＝43cm．
故答案为：43．
59．（2024•虹口区二模）如图，在▱ABCD中，AB＝7，BC＝8，sinB=45．点P在边AB上，AP＝2，以点P为圆心，AP为半径作⊙P．点Q在边BC上，以点Q为圆心，CQ为半径作⊙Q．如果⊙P和⊙Q外切，那么CQ的长为 3714 ．
【解答】解：过P作PM⊥BC于M，连接PQ，如图：
∵AP＝2，
∴BP＝AB﹣AP＝5，
∵sinB=45，PM⊥BC，
∴PM＝4，BM＝3，
∴CM＝BC﹣BM＝5，
设CQ＝x，
∵⊙P和⊙Q外切，
∴PQ＝2+x，MQ＝|5﹣x|，
在Rt△PMQ中，PQ2＝PM2+MQ2，
即：（2+x）2＝（5﹣x）2+16，
解得：x=3714
故答案为：3714．
60．（2024•徐汇区二模）如图，梯形ABCD中，BC∥AD，AB＝CD，AC平分∠BAD，如果AD＝2AB，AB→=a→，AD→=b→，那么AC→是 a→+12b→ （用向量a→、b→表示）．
【解答】解：∵BC∥AD，
∴∠BCA＝∠CAD．
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD．
∴∠BAC＝∠BCA．
∴AB＝BC．
如图，过点C作CE∥AB交AD于E，则四边形ABCE是平行四边形．
∴BC＝AE．
∵AD＝2AB，
∴AD＝2BC．
∵AD→=b→，
∴BC→=12AD→=12b→．
∵AB→=a→，AC→=AB→+BC→．
∴AC→=a→+12b→．
故答案为：a→+12b→．
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