浙江省绍兴市诸暨市2023-2024学年高二(上)期末考试数学试卷(解析版)

这是一份浙江省绍兴市诸暨市2023-2024学年高二(上)期末考试数学试卷(解析版)，共15页。
1．本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
2．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 双曲线的焦点坐标是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题可知：双曲线的焦点在轴上，且，，
所以双曲线的焦点坐标为
故选：B
2. 已知是等比数列，公比为q，前n项和为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B
3. 已知函数的导函数为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由函数，可得，
因为，可得，
所以，解得.
故选：C.
4. 如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
，
.
故选：A
5. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则（ ）
A. 数列为等差数列，公差为
B. 数列为等差数列，公差为8
C. 当时，数列的前n项和为
D. 当时，数列的前n项和为
【答案】D
【解析】对于A，由，得，，
可知数列是首项为8，公差为的等差数列，
则，则，
所以，所以数列为等差数列，公差为，故A错误；
对于B，，
而，所以数列为等差数列，公差为9，故B错误；
对于CD，当时，；当时，；当时，；
所以
，故C错误，D正确.
故选：D
6. 已知曲线E：，则下列结论中错误的是（ ）
A. 曲线E关于直线对称
B. 曲线E与直线无公共点
C. 曲线E上的点到直线的最大距离是
D. 曲线E与圆有三个公共点
【答案】C
【解析】因为曲线E的方程为，
当，时，曲线E的方程为，
当，时，曲线E的方程为，
是焦点在上的等轴双曲线右支的一部分.
当，时，曲线E的方程为，
是焦点在上的等轴双曲线上支的一部分.
作出曲线E的图象如图：
由图象可知曲线E关于直线对称，曲线E与直线无公共点，故A，B正确；
作的平行线与曲线E切于点，
曲线E上的点到直线的最大距离是圆的半径为，故C错误；
圆的圆心为：，
曲线E上的点到圆心的最大距离为.
圆过点，如图：
曲线E与圆有三个公共点，故D正确.
故选：C.
7. 在平面直角坐标系xOy中，点，在椭圆C：上，且直线OA，OB的斜率之积为，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】因为点，在椭圆上，
所以，
因为直线的斜率之积为，
所以，
得到，
得，
.
故选：C
8. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，若直线AB与平面xOy交于点，点P的轨迹方程为，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】依题意，，显然，则，
解得，
又，即，
所以.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 记为无穷等比数列的前n项和，若，则（ ）
A. B.
C. 数列为递减数列D. 数列有最小项
【答案】BD
【解析】对于A，设等比数列的公比为q，因为，所以，
又，即，所以，且，故A错误；
对于B，又，故B正确；
对于C，若，，
当n为奇数时，，此时，则，
当n为偶数时，，此时，则，
此时数列不单调，故C错误；
对于D，因为，
当时，此时数列单调递增，则有最小项，无最大项；
当时，若n为正奇数时，，则，
此时单调递减，则，
若n为正偶数时，，则，
此时单调递增，则，
故当时，的最大值为，最小值为，
综上所述，数列有最小项，故D正确.
故选：BD.
10. 如图，在正三棱台中，已知，则（ ）
A. 向量，，能构成空间的一个基底
B. 在上的投影向量为
C. AC与平面所成的角为
D. 点C到平面的距离是点到平面的距离的2倍
【答案】AD
【解析】A选项，正三棱台中，向量，，不共线，
故向量，，能构成空间的一个基底，A正确；
B选项，，故，，
取中点，的中点，连接，则⊥，⊥，
取的中心，连接，则⊥底面，
过点作平行于，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
连接，过点作⊥于点，
则，
因为，由勾股定理得，
则，
故，
，
故在上的投影为，
B错误；
C选项，，设平面的法向量为，
则，
解得，令得，故，
，
设AC与平面所成的角为，
则，
故，故AC与平面所成的角为，C错误；
D选项，点C到平面的距离是，
点到平面的距离，
点C到平面的距离是点到平面的距离的2倍，D正确.
故选：AD
11. 已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，O为坐标原点，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】当时，，此时的焦点坐标为，直线也恒过点，设，，
将联立得，，
由韦达定理可知，，
，
，
∵，
∴，则错误；
由抛物线的定义可知，则正确；
当时，，此时的焦点坐标为，直线恒过点，
设，，
将联立得，，
由韦达定理可知，，
，
，
则，
即，
∴，则正确；
，则正确；
故选：.
12. 已知函数，，记，，则（ ）
A. 若正数为的从小到大的第n个极值点，则为等差数列
B. 若正数为的从小到大的第n个极值点，则为等比数列
C. ，在上有零点
D. ，在上有且仅有一个零点
【答案】ABD
【解析】由函数，
可得，，
对于A中，由，
令，可得，解得，即
所以数列的通项公式为，则（常数），
所以数列为等差数列，所以A正确；
对于B中，由，则，
可得（常数），
所以数列为等比数列，所以B正确；
对于C、D中，由，令，即，
显然，且时，不是函数的零点；
当，且时，可得，
令，其中，且，可得，
令，即，即，解得，且，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以当时，有极小值，且，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以当时，有极大值，且，
所以函数的值域为，
当时，函数与没有公共点，
所以函数在上没有零点，所以C错误；
当时，函数与只有一个公共点，
即函数在上有且仅有一个零点，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知：的圆心坐标为，半径为r，则________．
【答案】0
【解析】，圆心为，半径，
所以，则.
故答案为：
14. 数列满足，，则________．
【答案】
【解析】由题意，易知，
由，两边取倒数得，即，
所以数列是首项，公差为2的等差数列，
所以，即，
则.
故答案为：.
15. 已知函数在某点处的切线的斜率不大于1，则切点为整点（横纵坐标均为整数）的个数是________．
【答案】4
【解析】由题意，，即，
解得，其中的整点有0,1,2,3，共4个.
故答案为：4
16. 已知，是双曲线C：的左右焦点，过作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为N，直线与双曲线C交于点，且均在第一象限，若，则双曲线C的离心率是________．
【答案】或
【解析】因为均在第一象限，
所以垂足在渐近线上，，则，
由题意可得，所以，
又因，所以，即，
所以，所以，
故，
在中，，则，
在中，由余弦定理得，
，
即，
整理得，
即，解得或，
当时，离心率，
当时，离心率，
所以双曲线C的离心率是或.
故答案为：或.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 记是公差为整数等差数列的前n项和，，且，，成等比数列．
（1）求和；
（2）若，求数列的前20项和．
解：（1）设，由，
得，所以或，
由于，所以.
所以，，.
（2）由知：，故，
由
所以.
18. 已知圆M：，圆N经过点，，．
（1）求圆N的标准方程，并判断两圆位置关系；
（2）若由动点P向圆M和圆N所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程．
解：（1）由题意可知：，则圆N是以为直径的圆，
则圆N的圆心，半径，
所以：，
又因为圆M的圆心，半径，
可得，
即，所以两圆外离（相离）.
（2）设圆M上的切点为A，圆N上的切点为B，
由题意可得：，
设，则，
整理得，
所以点P的轨迹方程为：．
19. 已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围．
解：（1）当时，，定义域为

令，得或，
所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为：
（2）
①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
故只有一个极小值点，与条件矛盾，故舍去．
②当时，在和上单调递增，在上单调递减，
故有两个极值点a和，与条件相符．
③当时，和上单调递增，在上单调递减，
故有两个极值点a和，与条件相符．
④当时，，
故在上单调递增，无极值点，舍去．
⑤当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
故只有一个极大值点，与条件矛盾，故舍去．
综上可得：或
20. 在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，交于O，，，．

（1）求P到平面的距离；
（2）求钝二面角的余弦值．
解：（1）由题知，，，，，
由，，，得平面．
在正中，作于H，又平面,平面，
所以，又AO，BD是平面ABCD内两相交直线，
所以面，
所以，点P到平面ABCD的距离为．
（2）建立空间直角坐标系，由（1）知是中点，即，
则，，， ，
，，

设平面的法向量为，则
，取，得，
设平面的一个法向量是，
则，取得，
设所求钝二面角的平面角为，则．
21. 物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列．

（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值．（参考数据：，，，）
解：（1），
在点处的切线方程为：
令，得，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
故
（2）令
法一：错位相减法
，
，
两式相减得：
化简得：
故，
化简得
令，
则，
当时，，即，
当时，，即，
所以
从而整数；
法二：裂项相消法
由，
设且，
则，
于是，
得，
即
所以

故，化简得
令，
则时，，
当当时，，即，
当时，，即，
所以
从而整数
22. 抛物线C：，椭圆M：，．
（1）若抛物线C与椭圆M无公共点，求实数r的取值范围；
（2）过抛物线上点作椭圆M的两条切线分别交抛物线C于点P，Q，当时，求面积的最小值．
解：（1）联立得，
，由题意上述方程无实根，
所以，得，又，
所以．
（2）设l：，与椭圆联立得
由直线与椭圆相切得，即
设直线AP和直线AQ得斜率为，，则，
联立，得，解得或，
于是，所以，同理可得
，
令，，则
，
所以
，
令，，，
设，，则，
时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
易知在即时，趋向于正无穷大，又，，
故，
所以．