山东省青岛市莱西市2024届高三(上)期末教学质量检测数学试卷(解析版)

这是一份山东省青岛市莱西市2024届高三(上)期末教学质量检测数学试卷(解析版)，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数，则复数虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，
所以的虚部为.
故选：B.
2. 对于直线，下列选项正确的为（ ）
A. 直线倾斜角为
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线的一个方向向量为
D. 直线经过第二象限
【答案】C
【解析】因为直线的斜率为，所以直线倾斜角为，故A错误；
在中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故B错误；
在中，令，解得，即直线过两点，
，所以直线的一个方向向量为，故C正确；
画出直线的图象如图所示，
所以直线不经过第二象限，故D错误.
故选：C.
3. 在等比数列中，，则（ ）
A. 4B. C. 8D. 5
【答案】A
【解析】由题意，所以，即等比数列公比为，
所以，解得，所以.
故选：A.
4. “”是“直线与平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，直线与平行；
当直线与平行时，
有且，解得，
故“”是“直线与平行”的充要条件，
故选：C
5. 圆与圆相交于A、B两点，则（ ）
A. 2B. C. D. 6
【答案】D
【解析】两圆方程相减得直线的方程为，
圆化为标准方程，
所以圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
弦长，
所以.
故选：D
6. 是等差数列的前项和，若恒成立，则不可能的值为（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】D
【解析】由题意得，时，取得最大值，所以有，，，
若，则，
若，，则，有，
.
故选：D
7. 设数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（ ）
A. 2024B. 2023C. 2022D. 2021
【答案】B
【解析】，又，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
所以，
故，令
由且，则，
由，则，
则，所以，
故，则正整数的值为2023.
故选：B
8. 直线与椭圆交于A、B两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为E，AE的中点为，设直线与椭圆的另一交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，则，
，，
，①，
三点共线，，②，
在椭圆上，，两式相减可得，
③
将①②代入③可得，
，，
所以椭圆的离心率.
故选：A
二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列结论正确的是（ ）
A. 在复平面内对应的点在第三象限
B.
C. 的共轭复数为1
D. 复数的实部为
【答案】BD
【解析】对于A，在复平面对应的点为在第二象限（因为），故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，的共轭复数为，故C错误；
对于D，的实部为，故D正确.
故选：BD.
10. 已知点是直线的上一动点，，，成公差非0的等差数列，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则的最大值为
B. 直线恒过定点
C. 存在3个点到直线的距离为.
D. 已知，，若存在点，使得，则正数的范围为.
【答案】ACD
【解析】因为，，成公差非0的等差数列，设公差为，
则，，所以直线，
由，化简得，
由，解得，则直线过定点，故B不正确；
设，则，又，知，
故点在直线上，则点为两直线的交点，
而与是互相垂直的直线，
所以点在以为直径的圆上，圆方程为，
其圆心为，半径为，因，则和除外.
若，则的最大值为，故A正确；
又点到直线的距离为，半径为，
所以存在3个点到直线的距离为，故C正确；
已知，，若存在点，使得，
即以原点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，
故，解得，故D正确.
故选：ACD.
11. 南宋数学家杨辉所著的（详解九章算法.商功）中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…..，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】由题意，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，即，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
12. 已知椭圆，直线与相交于两点，，若椭圆恒过定点，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. |AB|的长可能为3D. |AB|的长可能为4
【答案】AC
【解析】由消去得：，
点在椭圆内，必有，设，则，
而，，由，得，
即，整理得，因此，
整理得，于是椭圆恒过定点，且，
显然，，A正确，B错误；
，
而，则，，因此，C正确，D错误.
故选：AC
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 记双曲线的离心率为，写出满足条件“直线与无公共点”的的一个值____________.
【答案】2（答案不唯一，满足皆可）
【解析】由题意双曲线的一条渐近线为，其斜率为，
若直线与无公共点，则，所以，
满足题意的双曲线的离心率为.
故答案为：2（答案不唯一）.
14. 已知复数()的模为，则的最大值为_______.
【答案】
【解析】因为，所以，
故在以为圆心，为半径的圆上，
表示圆上的点与原点所在直线的斜率，
如图，由平面几何知识，易知当直线与圆相切时取得最值，
在中，，所以,
此时.
故答案：.
15. 数列的前项和，数列定义如下:对于正整数是使得不等式成立的所有中的最小值，则数列的前项和为____________.
【答案】
【解析】数列的前项和，当时，，而满足上式，
因此，由，得，则当为正奇数时，，当为正偶数时，，
于是数列的前项和为
.
故答案为：
16. 过抛物线的焦点的直线交于两点，中点的轨迹经过点，则的最小值为____________.
【答案】
【解析】抛物线的焦点，
因为过抛物线的焦点的直线交于两点，
若直线的斜率不存在时，的中点定在轴上，中点不可能为；
则设直线的方程为：，设，
联立方程组：，得：，
得，
所以中点的轨迹满足：，
当恰好为时，即，解得，得此时抛物线，
一般地，直线的方程为：，且，
则
故，
令，，其中，
则，，
由，得，
当时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故当时，函数取得最小值，
所以的最小值为，
故答案为：.
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列的前项和.
条件①:；条件②:；条件③:.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解：（1）由题意知:，
即:，化简得.
所以数列的通项公式.
（2）若选①:，
，
若选②:，
.
，
若选③:，
18. 已知抛物线上第一象限一点到其焦点的距离为2.
（1）求拋物线的方程及点的坐标;
（2）过点的直线交抛物线于A，B两点，的角平分线过抛物线焦点，求直线的方程.
解：（1）由题意得:由可得:，故抛物线方程为:，
当时，，又因为，所以，
所以点坐标为;
（2）由题意可设直线方程为，
由，消去得，
所以，
因为的角平分线过焦点，
轴，所以，
所以，即，
即，所以，
直线的方程为.
19. 已知为等差数列，公差中的部分项恰为等比数列，且公比为，若;
（1）求；
（2）求数列的通项公式及其前项之和.
解：（1）由成等比数列，则，
即，整理得，
且，则，可得，
故等比数列的公比.
（2）在等差数列中，可得，
在等比数列中，可得，
则，即，
所以.
20. 已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，数列，数列bn的前项和.
（1）求
（2）求
解：（1）因为成等比数列，所以，
设等差数列的公差为，，所以，
解得，
，
，
对上式两边同时除以得:，即
，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故，即；
（2）当为偶数时，
,
当为奇数时，
,
故.
21. 中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过点一条渐近线方程为.
（1）求的方程:
（2）若过的上焦点的直线与交于A，B两点.求证:以AB为直径的圆过定点.并求该定点.
解：（1）由题可设双曲线方程为，
双曲线经过点
双曲线方程为
（2）设AB方程为，
显然，由韦达定理得：，
，
以AB为直径的圆的方程为，
即:，
由对称性知以AB为直径的圆必过轴上的定点，令，
得，
，即.
对恒成立，，
经过定点
检验，当时，，
此时圆的方程为，也经过点
以AB为直径的圆过定点.
22. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且直线是双曲线的一条渐近线.直线与椭圆交于C，D两点，且的周长最大值为8.椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，直线与轴相交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为.
（1）求值.
（2）若，设和的面积分别为，求的最大值.
解：（1）设与轴的交点为，由题意可知，

则，
当过右焦点时，的周长取最大值，所以，
双曲线的渐近线为，又直线是双曲线的一条渐近线，
，即，所以，
所以椭圆的标准方程，
设，直线的方程为，
与椭圆方程联立，有消去得，，
则，即，
由韦达定理得:
，即，
由题意，，
所以，.
（2）若，则直线的方程为，由韦达定理得，，

所以，
，则，
因为函数在上单调递增，故，
所以，，当，即时，等号成立，
因此，的最大值为3.