安徽省淮南市凤台县2024~2025学年九年级上学期期中调研数学试卷（解析版）-A4

这是一份安徽省淮南市凤台县2024~2025学年九年级上学期期中调研数学试卷（解析版）-A4，共18页。
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，的顶点坐标为．根据抛物线的解析式即可写出函数的顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线顶点式：，
∴顶点坐标为：．
故选：D．
2. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”.下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
3. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=-7＜0，进而可得出方程没有实数根．
【详解】解：∵△=b2-4ac=12-4×1×2=-7＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查根的判别式，牢记“当△＜0时，方程没有实数根”是解题的关键．
4. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数得图像与几何变换，熟知二次函数图像平移得法则是解题的关键．
根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是．
故选C．
5. 如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的内接四边形对角互补，计算解答即可．
本题考查了圆的内接四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形．
∴．
∵，
∴．
故选：C．
6. 如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由旋转得，，则，因为，所以，代入计算，即可作答．
【详解】解：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
7. 如图，是的弦，是的直径，于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．
根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可．
【详解】解：是直径，，
，，，，
故A、B、C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
8. 某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年第一季度新产品的研发资金y（万元）关于x的函数关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金．
【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，
今年一季度新产品的研发资金，
故选：C．
9. 函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数和二次函数图象与系数的关系解答．
【详解】解：中，当x=0时，；
中，当x=0时，；
∴两个函数同时经过点，即与y轴的交点为同一个点，
∴由选项得只有D选项符合题意
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，熟练掌握一次函数和二次函数图象与系数的关系是解题关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为1,0，0,4将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，则经过第2025次旋转后，点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查规律探索求点坐标．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，抽象概括出相应的坐标规律，是解题的关键．
根据风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知旋转4次为一个循环，得到经过第2025次旋转后，点D的坐标与第1次旋转结束时点D的坐标相同，进行求解即可．
【详解】解：在正方形中，点A的坐标为1,0，
点，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴D1,3，
由题意，可得风车第1次旋转结束时，点D的坐标为；第2次旋转结束时，点D的坐标为；第3次旋转结束时，点D的坐标为；第4次旋转结束时，点D的坐标为，
∵将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴旋转4次为一个循环．
∵，
∴经过第2025次旋转后，点D的坐标与第1次旋转结束时点D的坐标相同，为；
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 点关于原点O的对称点的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，根据“关于原点对称时，横纵坐标都互为相反数”求解即可．
【详解】解：关于原点的对称点的坐标为．
故答案为：．
12. 若是方程的一个根，则的值为______．
【答案】2021
【解析】
【分析】本题考查方程的解，以及整体代入法求代数式的值，先根据是方程的一个根得到，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴即，
∴，
故答案为：2021．
13. 如图，是的直径，C，D是上两点．若，则的度数是__________．
【答案】##110度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，解本题的关键在熟练掌握圆周角定理．根据圆周角定理直接得出的度数即可．
【详解】解：∵对着同一段，，
∴．
故答案为：．
14. 已知二次函数
（1）若则函数的最大值为_______．
（2）若当时，的最大值为5，则的值为_______．
【答案】 ①. 4 ②. 1或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
（1）由题意可知此时二次函数为，再将其变为顶点式即得出答案；
（2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线，再分类讨论当时和当时，结合二次函数的图象和性质求解即可．
【详解】解：（1）当时，该二次函数为，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为．
故答案为：；
（2）∵，
∴该二次函数的对称轴为直线．
当时，抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．
∵x轴上到的距离比到的距离大，
∴当时，y有最大值，
∴，
解得：；
当时，抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值，最大值为，
∴，
解得：．
综上可知a的值为或．
故答案为：1或．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 用公式法解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程．先找出方程中的值，再利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：．变形得：．
∵，
∴，
∴，
∴．
16. 已知二次函数．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）请你判断点是否在此二次函数的图象上．
【答案】（1）函数图象的开口向上、对称轴是直线、顶点坐标为
（2）点不在此二次函数的图象上
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是做题的关键．
（1）把二次函数化为顶点式的形式，进而可得出结论；
（2）通过计算自变量为1时的函数值，则可判断点是否在此二次函数的图象上．
【小问1详解】
解：∵，，
∴此函数图象的开口向上、对称轴是直线、顶点坐标为；
【小问2详解】
解：∵当时，，
∴点不在此二次函数的图象上．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长8m，设圆心为，交水面于点D，轮子的吃水深度为2m，求该桨轮船的轮子直径．
【答案】该桨轮船的轮子直径为10m
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用，勾股定理的应用，本题先表示m，求解m，再利用勾股定理建立方程求解即可.
【详解】解：设半径为rm，则m，
∴m．
∵m，，
∴m．
在中有，即，
解得m
则该桨轮船的轮子直径为10m．
18. 如图，已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）请画出与关于原点对称的，并写出点的坐标；
（2）将绕原点顺时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标．
【答案】（1）图形见解析，
（2）图形见解析，
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换、画关于原点对称图形、写出直角坐标系中点的坐标，准确作图是解答本题的关键．
（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案；
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【小问1详解】
如图，即为所求，
由图可得，点的坐标为；
【小问2详解】
如图，即为所求，
由图可得，点的坐标为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使得点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F．
（1）若，，求线段长；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由直角三角形的性质及勾股定理求出和的长，由旋转的性质得出，由勾股定理可得出答案；
（2）由旋转的性质得出，证出，则可得出．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
∴；
【小问2详解】
证明：∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
20. 某养殖户为扩大养殖规模，拟一边利用墙建一个矩形的养鸡场地，如图，已知可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形养鸡场地中，垂直于墙的边为，面积为．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，y有最大值?最大值是多少?
【答案】（1）
（2）当时，y有最大值，最大值为，
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，并由求出自变量x的取值范围即可；
（2）把（1）中所得的二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：由（1）知，
化成顶点式：，
∵开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y有最大值，最大值为，
六、（本题满分12分）
21. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，
（1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证；
（2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论．
解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
【小问1详解】
证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，
∴，，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴的度数为．
七、（本题满分12分）
22. 某企业设计了一款旅游纪念工艺品，每件的成本是60元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查，当销售单价是100元/件时，每天的销售量是80件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出4件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）写出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式．
（2）求出当销售单价定为多少元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当销售单价定为90元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是3600元
【解析】
【分析】（1）根据销售单价为x元，则降价元，每件的盈利元，每天可售出件，根据题意，得，解得即可．
（2）根据，构造二次函数，根据抛物线的最值，解之即可得出x的值即可求得．
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键．
【小问1详解】
根据销售单价为x元，则降价元，
每件的盈利元，每天可售出件，
根据题意，得，
故．
【小问2详解】
由（1）可得．
∵，，
∴当时，y取得最大值，最大值为3600．
答：当销售单价定为90元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是3600元．
八、（本题满分14分）
23. 阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：；
（3）能力提升
如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的性质以及旋转的性质可证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理证明，即得答案；
（2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质证明，得到，再利用勾股定理即可得证；
（3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，先证明，再证明C，O，，四点共线，再利用勾股定理计算得出，由此即得答案．
【小问1详解】
解：，
，，，
由题意知旋转角，
为等边三角形，
，，
在中，，，，
，
为直角三角形，且，
；
故答案为：；
【小问2详解】
证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到，
由旋转性质得， ，，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理得，，
即；
【小问3详解】
解：如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接，
在中，，，
，
，
绕点B顺时针方向旋转，
，，
，
，
绕点B顺时针方向旋转，得到，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
C，O，，四点共线，
中， ，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．