福建省龙岩市第一中学2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试题

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时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则该双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
2.若方向向量为的直线l与圆相切，则直线l的方程可以是
A. B. C. D.
3.甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名没有重名次已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有
A. 27种B. 48种C. 54种D. 72种
4.已知是等差数列的前n项和，若，则使的最小整数
A. 12B. 13C. 24D. 25
5.若…，则的值为
A. B. 0C. D. 1
6.已知抛物线的焦点为F，A，B两点在抛物线C上，并满足，过点A作x轴的垂线，垂足为M，若，则
A. B. 1C. 2D. 4
7.已知数列的前n项和为，若，则的最大值为
A. B. C. D. 1
8.已知椭圆的左右焦点分别为、，的三个顶点均在C上，、分别落在线段、上且轴，若，则
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知动点M，N分别在圆：和：上，动点P在x轴上，则
A. 圆的半径为3 B. 圆和圆相离
C. 的最小值为 D. 过点P做圆的切线，则切线长最短为
10.已知数列的前n项和为，且，，则下列命题正确的是
A. 若为等差数列，则数列为递增数列 B. 若为等比数列，则数列为递增数列
C. 若为等差数列，则数列为递增数列 D. 若为等比数列，则数列为递增数列
11.已知抛物线C：的准线为l，直线与C相交于A、B两点，M为AB的中点．则
A. 当时，以AB为直径的圆与l相交 B. 当时，以AB为直径的圆经过原点O
C. 当时，点M到l的距离的最小值为2 D. 当时，点M到l的距离无最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知正项等比数列，，且，，成等差数列，则
13.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为 .
14.已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，与内切圆的圆心分别为，，半径分别为，，则的横坐标为 ;若，则双曲线离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.本小题13分
点在抛物线上，且到抛物线的焦点F的距离为
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F的直线交抛物线于B，C两点，且，求直线BC的方程．
16.本小题15分
已知数列的前n项和为，，
证明：数列为等比数列;
在和中插入k个数构成一个新数列，2，，4，6，，8，10，12，，，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2的等差数列.求数列的前30项和
17.本小题15分
已知椭圆C：，点，在C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作与x轴不垂直的直线l，与椭圆C交于不同的两点A，B，点D与点A关于x轴对称，直线BD与x轴交于点Q，O为坐标原点、若的面积为2，求直线l的斜率.
18.本小题17分
已知双曲线C：的离心率为，右顶点为，A，B为双曲线C右支上两点，且点A在第一象限，以AB为直径的圆经过点
（1）求C的方程；
（2）证明：直线AB恒过定点；
（3）若直线AB与x，y轴分别交于点M，P，且M为PA中点，求的值．
19.本小题17分
若无穷项数列满足为常数，且，则称数列为“数列”.
（1）设，，若首项为1的数列为“数列”，求
（2）若首项为1的等比数列为“数列”，求数列的通项公式及前n项和
（3）设，，若首项为1的数列为“数列”，记数列的前n项和为，求所有满足的n值.