2025年湖南省初中学业水平考试数学模拟试卷

这是一份2025年湖南省初中学业水平考试数学模拟试卷，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．2024年湖南省的GDP总额约为5万亿元，将数据5万亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列是我们日常生活中经常见到的图案，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B． C．D．
5．为了应对九年级中考体育测试，某班对学生的跳远进行了抽测，其中一名同学进行了6次测试，其跳远的数据如下（单位：厘米）：238，235，240，242，240，243，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．240，240B．240，239C．241，240D．240，241
6．如图，，分别与，相交，若，则β的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，是的直径，是的弦，若则的长度为（ ）

A．1B．1.5C．2D．3
8．湖南是著名的“吃货大省”，小明来到湖南游玩并品尝湖南美食，小明对以下特色美食很有兴趣，它们是“臭豆腐”、“口味虾”、“酱板鸭”、“茶颜悦色”，若小明想先随机选择其中两种美食进行尝试，则选中“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，反比例函数的图象上有一点P，其中P的横坐标为，连接并将绕点O逆时针旋转且缩短至原来的一半得到，反比例函数恰好经过点Q，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，用一个半径为的滑轮将物体G向上拉升，若物体G的上升速度为，上升的时间为，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则图中线段在这段时间内扫过的面积（单位：）是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．任意写一个使二次根式有意义的x值 ．
12．因式分解： ．
13．若关于x的方程的一个根为，则方程的另一个根为 ．
三、解答题
14．如图，在6×6的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点．A，B两点均为格点，请仅用无刻度直尺找出经过A，B两点的圆的圆心O，并保留作图痕迹．
四、填空题
15．我国南宋时期数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即若已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，如图，的边长分别为，，则此三角形面积为 ．
16．我们经常在一些古装电视剧中看到送信员说这样的一句话：“六百里加急！”．在我们的古代数学名著《九章算术》中有一道关于驿站送信的题目，其大意是：一份重要的文件，若用慢马送到600里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为x天，则根据题意可列出的方程为 ．
17．如图，一个网红“打卡”景点把密码在广告牌上做成了一道趣味数学题．如果是你去这个景点“打卡”，想要连接上这个，你会输入的密码是 ．
18．如图，是半圆O的直径，，点A（靠近点M）是半圆O的三等分点，点B是弧上一动点，交BM于点C，当点B从A运动至点N时，点C运动的路径长是 ．
五、解答题
19．计算：．
20．先化简，后求值：，其中．
21．我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为和，测得无人机离水平地面的高度为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度为多少米？（参考数据：，，结果保留整数）
22．随着人们的生活水平越来越高，人们更加注重身体健康，日常生活中很多人用“微信运动”来记录一天当中行走的步数，某校一个数学活动小组对某社区居民进行随机调查，并用得到的数据绘制了以下两副不完整的统计图，若将行走的步数用x来表示，并进行如下分类：D类：；C类；B类：；A类：，请根据信息完成以下各小题．
(1)本次抽查的人数为 人，其中m的值是 ；
(2)补全条形统计图；
(3)这个社区居民总共是3000人，你估计每天步数在10000步以上的人数约是 人．
23．为了响应共青团中央的号召，某中学的团员积极参与青年大学习的答题竞赛活动．竞赛活动共有20道题，每道题答对得5分，答错扣2分，不答得0分．
(1)若某位参赛团员的最终得分是83分，其中有2道题没有作答，请问该团员答对了多少道题？
(2)若参赛团员的得分至少需要得到85分才能获评“答题能手”，则参赛团员最少需要答对多少道题才能获评“答题能手”？
24．（1）初步发现：如图1，是的弦，P，Q分别是弦上两点，D是内一点，，于点E，求证：；
（2）思考探究：如图2，等边内接于，其中边和分别交弦于点P和点Q，D是边上一点，，连接和，于点E，请问第（1）小题中的结论仍然成立吗？请说明理由．
25．如图，将等腰的斜边向上平移至（点B和A重合），连接，M为线段上一点（不与点C重合），连接并将其绕点A顺时针旋转至，连接交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，分别取的中点连接，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由．
26．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”，例如：函数与x轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”，1是该函数的“零点”．
(1)请完成以下两个小题：
①下列函数中，是“零点函数”的为（ ）
A． B． C．
②请写出下列函数的“零点”：一次函数的“零点”是 ，二次函数的“零点”是 ；
(2)已知二次函是“零点函数”（a，b，c是常数，）．
①若，函数的“零点”是，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，与y轴的交点在正半轴上，请求出这个函数的解析式；
②若一次函数与二次函数相交于点和，“零点函数”满足下列条件：①，②，试确定线段长度的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是是解题的关键．
根据相反数的定义进行求解即可．
【详解】解：根据相反数的定义，的相反数是，
故选：．
2．C
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：5万亿，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，解题的关键是掌握把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据定义判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方，合并同类项，据相关运算法则进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D
5．A
【分析】此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，众数即一组数据中出现次数最多的数，根据中位数和众数的定义求解即可．
【详解】解：将跳远的数据从小到大排列为：235，238，240，240，242，243，
∴中位数为：，
∵240出现的次数最多，
∴众数为240，
故选：A．
6．B
【分析】设的对顶角为，根据题意，得，利用平行线的性质解答即可．
本题考查了对顶角的性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：设的对顶角为，根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了圆周角定理，直径对的圆周角是直角，30度所对的直角边是斜边的一半，连接，因为，所以，再结合是的直径，则，运用30度所对的直角边是斜边的一半，即可作答．
【详解】解：连接，如图所示：

∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：C．
8．B
【分析】本题考查画树状图法求概率，先画出相应的树状图，得共有12种等可能结果，小明选中“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的结果有2种，再求出相应的概率，即可作答．
【详解】解：依题意，把“臭豆腐”、“口味虾”、“酱板鸭”、“茶颜悦色”分别记为画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，小明选中“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的结果有2种，则选中“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的概率是．
故选：B
9．B
【分析】过点P作轴，过点Q作轴，过点Q作的延长线于点，记与轴的交点为点，先得出，，再结合连接并将绕点O逆时针旋转且缩短至原来的一半得到，得出，，运用三角形内角和性质得，再结合勾股定理列式计算，得出，得出，即可作答．
【详解】解：如图所示：过点P作轴，过点Q作轴，过点Q作的延长线于点，记与轴的交点为点，
∵反比例函数的图象上有一点P，其中P的横坐标为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵连接并将绕点O逆时针旋转且缩短至原来的一半得到，
∴，
则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∵过点Q作轴，过点Q作的延长线于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
设（为正数），
在中，
即，
∴，
解得，
∴，
则，
∵点在第二象限，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的性质，反比例函数的图象性质，勾股定理，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查了弧长公式以及扇形面积公式，先得出物体G的上升距离是，再设点P旋转路径所对的圆心角为，列式，解出，最后运用扇形面积公式列式计算，即可作答．
【详解】解：∵物体G的上升速度为，上升的时间为，
∴物体G的上升距离是，
则在这个时间内，设点P旋转路径所对的圆心角为，
∴，
解得，
∴线段在这段时间内扫过的面积，
故选：C．
11．2024 答案不唯一
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，被开方数是解题的关键．
【详解】∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故，
故答案为：2024．
12．
【分析】本题考查了公式法和提公因式法进行因式分解，观察式子，先整理，再运用平方差公式进行因式分解，作答即可．
【详解】解：
．
故答案为：
13．/
【分析】设另一个根为，结合根与系数关系定理，求解即可．
本题考查了根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：设另一个根为，
根据题意，得，
解得，
故答案为：．
14．见解析
【分析】根据圆心确定的条件即弦的垂直平分线的交点，再利用垂径定理解答即可．
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、垂径定理等知识点，灵活运用垂径定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，画图如下：
则点O即为所求．
15．12
【分析】先计算，代入公式计算即可．
本题考查了二次根式的应用，熟练掌握公式，精准化简二次根式是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：12．
16．
【分析】设规定时间为x天，则快马的时间为天，慢马的时间为天，再根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可．
本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
【详解】解：设规定时间为x天，则快马的时间为天，慢马的时间为天，
根据题意，得，
故答案为：．
17．
【分析】根据式子，确定算式中的计算规律，解答即可．
本题考查数字的变化规律，能够根据所给的式子，探索出数字之间的联系是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得最左边的两位数为#前后两个数的积，其相邻的两位数为左右两个数的和乘以中间数，最后的四位数为最左边数为底数，中间数为指数的幂乘以10，
∵，，，
∴，
故答案为：．
18．
【分析】根据题意得，利用圆周角定理求得，则，可确定点C的轨迹为圆弧，过点A和M分别作和的垂线相交于点G，过点G作于点H，则，且点G为的圆心，有，，结合已知得，，结合勾股定理求得，利用弧长公式即可求得其路径长．
【详解】解：连接和，如图，
∵点A（靠近点M）是半圆O的三等分点，
∴，
∵点B是弧上一动点，
∴，
∴，
则点C的轨迹为圆弧，
过点A和M分别作和的垂线相交于点G，过点G作于点H，则，且点G为的圆心，
那么，，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
则点C运动的路径长是，且，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查动点轨迹、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理和弧长公式，解题的关键是熟悉圆的基本性质和动点轨迹确定的方法．
19．
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，绝对值的化简解答即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，绝对值的化简，熟练掌握公式是解题的关键．
20．，
【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，
原式．
21．米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是熟练掌握三角函数的定义．在和中，利用锐角三角函数，求出和的长，然后计算出的长即可．
【详解】解：∵，
∴，，
在中，
∵，
∴，
∴（米），
在中，∵，
∴（米），
∴（米）．
答：这条河的宽度米．
22．(1)250，40
(2)见解析
(3)600
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图综合、用样本估计总体以及中位数的运用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
（1）依据D组的人数和所占的百分比即可得到总人数，然后求出C组的人数，进而得出m的值；
（2）根据（1）中求出的C组人数补全条形统计图即可；
（3）用3000乘以样本中每天步数在10000步以上的人数所占的百分比即可求解．
【详解】（1）解：（人）
∴本次抽查的人数为250人；
∴C组的人数为（人）
∴
∴；
（2）补全条形统计图如下：
（3）（人）
∴估计每天步数在10000步以上的人数约是600人．
23．(1)17
(2)无答错题时，至少答对17题；有答错题时，至少要答对18题．
【分析】（1）设该团员答对了x道，则答错了道，根据题意，得，解答即可．
（2）设团员至少答对了x道，答错了y道，则不答道，根据题意，得，解答即可．
本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，
【详解】（1）解：设该团员答对了x道，则答错了道，
根据题意，得，
解得．
答：该团员答对了17道题．
（2）解：设团员至少答对了x道，答错了y道，则不答道，
当参赛团员必须每题都得解答时，则即，
根据题意，得，
整理，得，
又x是非负整数，
故x的最小值为18，
答：参赛团员最少需要答对18道题才能获评“答题能手”．
当参赛团员不是每题都得解答时，则，
根据题意，得，
整理，得，
又y是非负整数，
当时，，
又x是非负整数，
故x的最小值为17，
即至少答对17道，答错0道，不答3道，才能获评“答题能手”．
当时，，
又x是非负整数，
故x的最小值为18，
即至少答对18道，答错1道，不答1道，才能获评“答题能手”．
当时，，
又x是非负整数，
故x的最小值为18，
即至少答对18道，答错2道，不答0道，才能获评“答题能手”．
当时，，
又x是非负整数，
故x的最小值为19，
不符合题意，舍去．
故无答错题时，至少答对17题；有答错题时，至少要答对18题．
24．（1）见解析；（2）成立，见解析
【分析】（1）根据垂径定理即可求证；
（2）连接，先证明，再证明，则可证明为等边三角形，再由垂径定理和等腰三角形的三线合一即可求证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：成立，理由如下：
证明：连接，
∵为等边三角形，
∴
∵等边内接于，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难度较大，重点在于构造全等三角形解决问题．
25．(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）先得出 ，再结合旋转，得，即可证明，即可作答．
（2）先在线段取点，连接，使得，再得出，则，通过证明，即可作答．
（3）先连接取的中点，连接，运用中位线的判定与性质，得，，结合旋转性质，得是等腰直角三角形，通过角的运算以及等量代换，得，再运用两边成比例，夹角相等，得证，即可作答．
【详解】（1）证明：∵将等腰的斜边向上平移至（点B和A重合），连接，
∴ ，
∴四边形是平行四边形，，
∵连接并将其绕点A顺时针旋转至，连接交于点E，连接．
∴，
∴，
即，
∵，
∴；
（2）证明：如图：在线段取点，连接，使得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
（3）解：如图：连接取的中点，连接，
∵点P，Q分别是的中点，点是的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵连接并将其绕点A顺时针旋转至，连接交于点E，连接．
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴，
设,
则在中，；在中，；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
即．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转性质，平行四边形的判定与性质，中位线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
26．(1)①A②，；
(2)①或②
【分析】（1）①根据“零点函数”的定义进行逐项分析，即可作答；
②结合“零点”的定义进行分析，即可作答；
（2）①先得出，因为函数的“零点”是，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，则，得，因为，所以，得，因为与y轴的交点在正半轴上，得，则，故或；
②先得，则因为，所以，再结合，即，整理，因为一次函数与二次函数相交于点和， ，把，分别代入化简得，再令，则，令，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：①A选项：依题意，令，则，
∴；
∴函数与x轴的交点坐标是，即函数是“零点函数”，是该函数的“零点”；
B选项：令，则，方程无解，
∴函数不是“零点函数”；
C选项：令，则，
∴，
此时方程无解，
∴函数不是“零点函数”；
故选：A．
②依题意，令，则，
∴；
∴一次函数与x轴的交点坐标是，
∴一次函数的“零点”是；
令，则，
∴；
∴二次函数的“零点”是；
故答案为：，；
（2）解：①依题意，把代入，得出，
∵函数的“零点”是，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，
∴，
则，
∴，
∵是函数的“零点”，
∴
即，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵与y轴的交点在正半轴上，
∴，
则，
∴
∴或；
②∵一次函数与二次函数相交于点和，
∴，
则，
整理得，
∴
∵“零点函数”满足，
∴，
∵，
∴，
则，
即，
即，
∴，
∴，
∴，
∵一次函数与二次函数相交于点和，
∴
∴
依题意，
，
∵
∴，
∵，
∴，
令，则，
∵，
∴，
令，
∵，
∴开口向上，对称轴为直线，在对称轴的左边时，随的增大而减小，
则把代入，
解得，
把代入，
解得，
∴在中，的最大值为，最小值为，
∴，，
则，，
∴线段长度的取值范围为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，二次函数的图象性质，两点间的距离公式，完全平方公式，平方差公式，一次函数与二次函数的综合，新定义，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
D
A
B
C
B
B
C