精品解析：安徽省合肥市蜀山区合肥市科大附中南校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

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1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间炒120分钟．
2．选择题需用2B铅笔写在简答题卡上，写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列各式中表示二次函数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、，未知数的最高次数是1，不是二次函数，故不符合题意；
B、，分母中含有字母，不是二次函数，故不符合题意；
C、，是二次函数，故符合题意；
D、，未知数的最高次数是1，不是二次函数，故不符合题意；
故选：C．
2. 如果线段，，那么和的比例中项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，即可求解．
【详解】解：设它们的比例中项是xcm，根据题意得：
x2=2×18，
解得：（线段是正数，负值舍去）．
故选：D
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例中项的平方等于两条线段的乘积是解题的关键．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对图形，绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对图形，绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意；
C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对图形，绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意；
D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对图形，绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
4. 如图所示，△ABC中DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形性质：相似三角形对应边的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
【详解】因为△ABC中DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，
所以，△ADE∽△ABC,
所以， , ,
故选D
【点睛】本题考核知识点：相似三角形性质.解题关键点：熟记相似三角形性质.
5. 已知α为锐角，且，则α的度数为（ ）
A. 30°B. 60°C. 45°D. 75°
【答案】A
【解析】
【分析】根据即可求解．
【详解】解：已知α为锐角，且，
∵，
∴，解得，
故选：A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握三角函数值，要熟记特殊角的三角函数值．
6. 二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数图象平移的规律作答即可．
【详解】二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位
得到的函数关系式是
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象平移的规律，即上加下减，左加右减，熟练掌握平移规律是解题的关键．
7. 如图，在中，点E在上，与交于点F，若，且，则的长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质得出，再利用相似三角形的性质得出的长．
【详解】解：在中，
，，
，
，
，且，
，
．
故选D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的性质与判定，得出是解题关键．
8. 如图，已知，为反比例函数图象上的两点，动点在正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，先求出的坐标，由三角形的三边关系定理得：，延长交轴于，当在点时，，此时线段与线段之差达到最大，由待定系数法求出的解析式为，，令，求出的值即可，解此题的关键是确定点的位置．
【详解】解：把，代入反比例函数得：，，
，，
在中，由三角形的三边关系定理得：，
如图，延长交轴于，当在点时，，
，
此时线段与线段之差达到最大，
设直线的解析式是，
把，代入得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，，解得，
，
故选：A．
9. 如图，一个边长分别为、、的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，另两个顶点分别在正方形的两条边、上，那么这个正方形的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，由的三边为3、4、5，根据勾股定理逆定理可以证明其是直角三角形，利用正方形的性质可以证明，然后利用相似三角形的性质可以得到，设为，则是，根据勾股定理即可求出，也就求出了正方形的面积．
【详解】解：如图，的三边为3、4、5，而，
为直角三角形，
，
而四边形为正方形，
，
，，
，
，
，即，
设为，则是，
是，
三角形为直角三角形，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】此题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理等知识，综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．
10. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②AG+DF=FG；③△DEF∽△ABG；④S△ABG= S△FGH．其中正确的是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，
将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，
∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正确；
在Rt△ABF中，AF==8，
∴DF=AD﹣AF=10﹣8=2，
设AG=x，则GH=x，GF=8﹣x，HF=BF﹣BH=10﹣6=4，
在Rt△GFH中，∵GH2+HF2=GF2，
∴x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，
∴GF=5，
∴AG+DF=FG=5，所以②正确；
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠EFD+∠AFB=90°，
而∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠EFD，
∴△ABF∽△DFE，
∴ ，
∴，
而，
∴，
∴△DEF与△ABG不相似；所以③错误．
∵S△ABG=×6×3=9，S△GHF=×3×4=6，
∴S△ABG=1.5S△FGH．所以④正确．
故选C.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 如图，为的直径，为的弦，，垂足为，，，______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，由垂径定理可得，由勾股定理可得，最后根据即可得出答案，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
为的直径，为的弦，，，
，
，
，
，
故答案为：．
12. 如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，若的面积为6，则k的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知， 的面积， 再根据图象所在象限求出k的值即可．
【详解】解：根据比例系数k的几何意义得：的面积．
∵的面积为6，
即，
解得： ，
∵函数图象位于第二象限，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查对反比例函数性质，理解k的几何意义结合图像的象限可得出答案．．
13. 如图，点A在二次函数y＝ax2(a＞0)第一象限的图象上，AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B、C，连接BC，交函数图象于点D，DE⊥y轴于点E，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】设A(m，am2)，则B(m，0)，C(0，am2)，根据待定系数法求得直线BC的解析式，然后联立方程求得D的横坐标即可求得的值.
详解】设A(m，am2)，则B(m，0)，C(0，am2)，
设直线y＝kx+b，
∴，解得，
∴y＝﹣amx+am2，
解得x1＝m，x2＝m(舍去)，
∵DE⊥y轴于点E，
∴DE＝m，
∴＝＝.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
14. 如图，在矩形中，，E是边上的点，，连接，垂足为点F，连接．
（1）__________．
（2）_________．
【答案】 ①. 4 ②. ##
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质可得、进而得到，运用勾股定理可得，即；然后再证明可得；
（2）由可得，进而得到；如图，连接交于点H，根据垂直的定义和等量代换可得，最后在中解直角三角形即可解答．
【详解】解：∵矩形
∴，
∴
∴
∵
∴．
∴
在和
，，
∴，
∴；
（2）∵
∴
∴．
如图，连接交于点H，
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
三、（本大题共有2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算
【答案】
【解析】
【分析】利用有理数的乘方，负整数指数幂，特殊角的锐角三角函数值计算求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数运算和特殊角度的三角函数，解决本题的关键是要熟练掌握整数指数幂和负整指数幂的计算法则．
16. 已知二次函数y=﹣2x2+5x﹣2．
（1）写出该函数的对称轴，顶点坐标；
（2）求该函数与坐标轴的交点坐标．
【答案】（1）抛物线的对称轴直线x=，顶点坐标为（，）；（2）抛物线交y轴于（0，﹣2），交x轴于（2，0）或（，0）．
【解析】
【分析】（1）把二次函数y=-2x2+5x-2化为顶点式的形式，根据二次函数的性质写出答案即可；
（2）令x=0可求图象与y轴的交点坐标，令y=0可求图象与x轴的交点坐标；
【详解】（1）∵y=﹣2（x2﹣x+﹣）﹣2=﹣2（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴直线x=，顶点坐标为（，）．
（2）对于抛物线y=﹣2x2+5x﹣2，
令x=0，得到y=﹣2，
令y=0，得到﹣2x2+5x﹣2=0，
解得：x=2或，
∴抛物线交y轴于（0，﹣2），交x轴于（2，0）或（，0）．
四、（本大题共有2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知反比例函数的图象经过点
（1）求k的值．
（2）点均在反比例函数的图象上，若，比较的大小关系．
【答案】（1）9 （2）当或时，；当时，
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）可得反比例函数解析式为，进而得到反比例函数经过第二，四象限，在每个象限内y随x增大而增大，据此求解即可．
【小问1详解】
解：把点代入到反比例函数中得，，
解得，
∴k值为9．
【小问2详解】
解：由（1）得反比例函数解析式为，
∵，
∴反比例函数经过第二，四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵点都在反比例函数的图象上，
∴当或时，；当时，．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
18. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、，．
（1）在坐标系中画出关于轴的对称图形；
（2）在原点的异侧，画出以为位似中心与位似比为2的位似图形；
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了作图—轴对称变换、位似变换，解题的关键是掌握轴对称的性质和位似变换的性质，正确作出图形．
（1）利用关于轴对称点的性质得出对应点的位置，再顺次连接即可得出答案；
（2）利用位似变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，即为所作，
；
【小问2详解】
解：如图，即为所作，
．
五、（本大题共有2小题，每小题10分，满分20分）
19. 2022年月日，合肥古逍遥津公园摩天轮“庐州之眼”正式开放，对外营业．该摩天轮静止时最高点到地面的距离为米，最低点到地面的距离为米，点是摩天轮的圆心，是其垂直于地面的直径，若摩天轮匀速运行一周需要分钟，某人在摩天轮启动前在点处，摩天轮开启后匀速运行秒后，求某人距离地面的高度．（结果精确到米，参考数据：，，，，，．）

【答案】米．
【解析】
【分析】令摩天轮开启后匀速运行秒后，某人到达点，过点作于点，先求出、的长，然后在中，解直角三角形即可得解．
【详解】解：如图，令摩天轮开启后匀速运行秒后，某人到达点，过点作于点，

∵该摩天轮静止时最高点到地面的距离为米，最低点到地面的距离为米，
∴（米），
∴（米），（米），
∵摩天轮开启后匀速运行秒，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴（米），即某人距离地面的高度为米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20. 如图，是的直径，且经过弦的中点，已知，，则的长的长度．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、余弦的定义，连接，由垂径定理可得，由余弦的定义计算出，由勾股定理可得，设，则，由勾股定理可得，求解即可得出答案，熟练掌握垂径定理、勾股定理、余弦的定义，是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
是的直径，且经过弦的中点，
，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
．
六、（本题满分12分）
21. 如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数 （x＜0）的图象交于点B（﹣2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点D（3﹣3n，1）是该反比例函数图象上一点．
（1）求m的值；
（2）若∠DBC=∠ABC，求一次函数y=kx+b的表达式．
【答案】（1）-6；（2）．
【解析】
【分析】（1）由点B（﹣2，n）、D（3﹣3n，1）在反比例函数（x＜0）的图象上可得﹣2n=3﹣3n，即可得出答案；
（2）由（1）得出B、D的坐标，作DE⊥BC．延长DE交AB于点F，证△DBE≌△FBE得DE=FE=4，即可知点F（2，1），再利用待定系数法求解可得．
【详解】解：（1）∵点B（﹣2，n）、D（3﹣3n，1）在反比例函数（x＜0）的图象上，
∴，解得：；
（2）由（1）知反比例函数解析式为，∵n=3，∴点B（﹣2，3）、D（﹣6，1），
如图，过点D作DE⊥BC于点E，延长DE交AB于点F，
在△DBE和△FBE中，∵∠DBE=∠FBE，BE=BE，∠BED=∠BEF=90°，
∴△DBE≌△FBE（ASA），∴DE=FE=4，
∴点F（2，1），将点B（﹣2，3）、F（2，1）代入y=kx+b，
∴，解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是能借助全等三角形确定一些相关线段的长．
七、（本题满分12分）
22. 已知菱形ABCD中，AB=8，点G是对角线BD上一点，CG交BA的延长线于点F．
（1）求证：CG2=GE•GF；
（2）如果DG=GB，且AG⊥BF，求cs∠F．

【答案】（1）证明见解析；（2）；
【解析】
【分析】（1）利用菱形的性质易证△ADG≌△CDG，由全等三角形的性质可得：∠DAG=∠DCG，再根据菱形的性质可得∠F=∠DCG=∠DAG，所以△GAE∽△GFA，由相似三角形的性质即可证明CG2=GE•GF；
（2）易证△DAG∽△DBA，由相似三角形性质可得AD2=DG•BD，再利用已知条件可证明∠ABD=∠DAG=∠F，进而可得到csF=cs∠ABG的值．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD，∠CDG=∠ADG，

在△ADG和△CDG中，，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCG，CG=AG
∵BF∥CD，
∴∠F=∠DCG=∠DAG，
∴△GAE∽△GFA，
∴AG2=GE•GF，
∴CG2=GE•GF；
（2）∵BF∥CD，DG=GB，
∴，
∴BF=2CD=16，AF=8，
∴∠ABD=∠DAG=∠F，
∴△DAG∽△DBA，
∴AD2=DG•BD，
∴DG=，BG=，
∴csF=cs∠ABG=．
【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握菱形的性质及相似三角形的判定与性质.
八、（本题满分14分）
23. 如图，点是y轴正半轴上的点，点A的坐标为，以AC为边作等腰直角三角形ABC，其中，，，以点B为顶点的抛物线经过点A且和x轴交于另一点D，交y轴于点E．
（1）点B的坐标为_____________；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得？若存在求点P的坐标，不存在则说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点P的坐标为或．设，根据列出方程，即可求解．
【解析】
【分析】（1）作垂足为F，先证明，进而即可求解；
（2）设抛物线的函数表达式为，把代入求出a的值，进而即可求解；
（3）先求出，再求出直线AC的表达式为：，
【详解】（1）作垂足为F，
∵，
∴∠ACO+∠BCF=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCF=∠OAC，
又∵∠AOC=∠CBF=90°，，
∴，
∴，，
∴，所以点B的坐标为；
（2）设抛物线函数表达式为，
由题意得：，解得：。
所以抛物线的函数表达式为即；
（3）由对称性得，易知，
所以，
设直线AC的表达式为：，
由题意得：，解得，，
所以直线AC的表达式为：；
如图，假设存在点P，设．作轴交AC于Q，则．
所以，，
所以，，
所以，，整理得：，
解得：，
当时，，
此时点P坐标为
当时，，此时点P坐标为
综上所述，AC上方抛物线上存在点P，使得，点P的坐标为或．