2025届八省高三部分重点中学12月联考数学试题（含答案）

这是一份2025届八省高三部分重点中学12月联考数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={x|ln(x−1)≤0}，B={x|0≤2x−1≤2}，则A∪B=( )
A. {x|1y>0，z>0，则yx>y+zx+z
C. 若xy≠0且x1yD. 若x>y>0，则x+1y>y+1x
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,00)的左焦点，α，β分别为双曲线C的两条渐近线的倾斜角，已知点F到其中一条渐近线的距离为2，且满足α=15β，则双曲线C的焦距为 ．
13.某流水线上生产的一批零件,其规格指标X可以看作一个随机变量,且X~N(98,σ2),对于X≥100的零件即为不合格,不合格零件出现的概率为0.05,现从这批零件中随机抽取500个,用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间(96,100)的个数,则随机变量Y的方差是 .
14.已知函数f(x)=ax−1−lga(x−1)(其中a>0，且a≠1)为其定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1+sinAcsA=1+sinBcsB．
(1)判断△ABC的形状;
(2)设AB=2，且D是边BC的中点，求当∠CAD最大时△ABC的面积．
16.(本小题12分)
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/​/BC，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，AP =AD=2AB=4BC．
(1)求证：平面PAC⊥平面PBD;
(2)AM⊥平面PCD于点M，求二面角M−AD−P的余弦值．
17.(本小题12分)
设函数f(x)=(x−π2)csx+1．
(1)讨论函数f(x)在区间[0,π]上的单调性;
(2)判断并证明函数y=f(x)在区间[π2,3π2]上零点的个数．
18.(本小题12分)
已知过A(−1,0)，B(1,0)两点的动抛物线的准线始终与圆x2+y2=9相切，该抛物线焦点P的轨迹是某圆锥曲线E的一部分．
(1)求曲线E的标准方程;
(2)已知点C(−3,0)，D(2,0)，过点D的动直线与曲线E交于M，N两点，设△CMN的外心为Q，O为坐标原点，问：直线OQ与直线MN的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值;如果不是定值，说明理由．
19.(本小题12分)
n为不小于3的正整数，对整数数列S0:a1，a2，⋯，an，可以做以下三种变换：
①将a1，a2，⋯，an中的a1减1，a2加1，其余项不变，称此变换为对S0做A1变换;
②取i∈{2,⋯,n−1}，将a1，a2，⋯，an中的ai减2，ai−1，ai+1均加1，其余项不变，称此变换为对S0做Ai变换;
③将a1，a2，⋯，an中的an减1，an−1加1，其余项不变，称此变换为对S0做An变换．
将数列S0做一次变换得到S1，将数列S1做一次变换得到S2⋯⋯
例如：n=4时，对数列S0:0，−1，1，0依次做A3，A4变换，意义如下：
先对S0做A3变换得到数列S1:0，0，−1，1，再对S1做A4变换得到数列S2:0，0，0，0．
(1)n=5时，给定数列S0:0，−1，1，0，0，求证：可以对S0做若干次变换得到数列0，0，0，0，0;
(2)n=5时，求证：对任意整数数列S0:a1，a2，a3，a4，a5，若a1+a2+a3+a4+a5=0，则可以对S0做若干次变换得到数列0，0，0，0，0;
(3)若将变换 ①中的a2改为a3，将变换 ③中的an−1改为an−2，在n=10时，求证：对任意整数数列S0:a1，a2，⋯，a10，若a1+a2+⋯+a10=0，且a1+a3+a5+a7+a9和a2+a4+a6+a8+a10均为偶数，则可以对整数数列S0做若干次变换得到数列0,0,⋯,010个．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.D
5.C
6.A
7.A
8.B
9.AD
10.ABC
11.BD
12.8
13.45
14.[e−e,1)
15.解：(1)由二倍角公式得(sin A2+cs A2)2cs2 A2−sin2 A2=(sinB2+csB2)2cs2B2−sin2B2，
∴sinA2+csA2csA2−sinA2=sinB2+csB2csB2−sinB2整理得sinA2csB2−csA2sinB2=0，
即sin(A2−B2)=0．
∵A，B∈(0,π)，∴A2−B2=0，即A=B，
即△ABC为等腰三角形．
(2)由(1)及题设，有AC=BC=2CD，
∴cs∠CAD=AC2+AD2−CD22AC⋅AD=AC2+AD2−AC242AC⋅AD
=3AC24+AD22AC⋅AD=3AC8AD+AD2AC≥2 3AC8AD⋅AD2AC= 32，
∴∠CAD≤π6，当且仅当ADAC= 32时，等号成立．
即∠CAD的最大值为π6，此时由ADAC= 32可得△ACD为直角三角形，∠ACD=π3．
又由(1)可得△ABC为正三角形，∴△ABC的面积S= 34×22= 3．
16.解：(1)在Rt△ABC和Rt△ABD中，tan∠BAC=BCAB=12，tan∠ABD=ADAB=2，
∴∠BAC与∠ABD互余，即AC⊥BD．
又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD．
又AC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC．
又BD⊂平面PBD，
∴平面PAC⊥平面PBD．
(2)∵AB，AD，AP两两互相垂直，
∴分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
不妨设BC=1，则A(0,0,0)，C(2,1,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，
∴PC=(2,1,−4)，PD=(0,4,−4)，
∵点M在平面PCD内，∴设PM=xPC+yPD，
则AM=AP+xPC+yPD=(0,0,4)+x(2,1,−4)+y(0,4,−4)=(2x,x+4y,4−4x−4y)，
∵AM⊥平面PCD，PC、PD⊂平面PCD，
∴AM⊥PC，AM⊥PD，
∴AM⋅PC=21x+20y−16=0AM⋅PD=20x+32y−16=0,解得x=1217,y=117,
∴AM=(2417,1617,1617)，即M(2417,1617,1617)，
∴点M到平面PAD的距离d1=2417，
点M到棱AD的距离d2= (2417)2+(1617)2=8 1317，
设二面角M−AD−P大小为θ，可知θ为锐角，
则sinθ=d1d2=248 13=3 1313，
∴csθ= 1−sin2θ=2 1313，
即二面角M−AD−P的余弦值为2 1313．
17.解：(1)f′(x)=csx−(x−π2)sinx，且f′(π2)=0，
当0⩽x⩽π2时，csx⩾0，(x−π2)sinx⩽0，
从而f′(x)=csx−(x−π2)sinx⩾0，即此时函数f(x)在区间[0,π2]上单调递增；
当π2