湖北省部分重点中学2024-2025学年高三上学期第二次联考数学试题及参考答案

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．16 13．2 14．2
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15. （13分）（1）因为，则，又，则，所以，则， （2分）
所以， （3分）
又，所以， （4分）
所以． （7分）
设，，由（1）知，则，，又，则，即，得， （9分）
所以， （12分）
当且仅当时等号成立，所以的最小值为． （13分）
（15分）（1）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图：设，则，，，，
（2分）
，，由，. （5分）
，若三棱锥的体积最大值，则取得最大值，，当且仅当时，即时取等号，即E，F分别是棱AB，BC上中点. （8分）
（法一）过作，连接，由可得，，则， （9分）
连接和，交于点，连接，则是以为底边的等腰三角形，而，得出为平面与平面的夹角， （10分）
，，所以，设到的距离为，
而到的距离为，则
故平面与平面的夹角正弦值为. （15分）
（法二）设平面与平面的夹角为，
设平面的一个法向量为则
令则故 （10分）
设平面的一个法向量为则
令则故 （12分）
则 （14分）
故平面与平面的夹角正弦值为. （15分）
17. （15分）（1）由题意甲第2局赢的概率为， （3分）
所以乙赢的概率为； （4分）
由已知时，， （6分）
所以，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以； （9分）
(3)即，令，则，易知是减函数，，所以时，，递减，
显然，因此要求的最大值，即求的最小值， （11分）
又，为偶数时，，为奇数时，，
且在为奇数时，是单调递增的，
所以是中的最小值， （13分）
所以，又在上是减函数，
所以，而，故
所以，所以满足的整数的最小值为． （15分）
（17分）（1）设点，由题意可知，即，经化简，得的方程为， （3分）
当时，曲线是焦点在轴上的椭圆；当时，曲线是焦点在轴上的双曲线． （5分）
由①可知的方程为，设点，其中且，因为，所以，
因此，三点共线，且
， （7分）
（法一）设直线的方程为，联立的方程，得，
则，
由（1）可知， （9分）
所以
，所以为定值2； （12分）
（法二）设，则有，解得，
同理由，解得， （9分）
所以，
所以为定值2； （12分）
由椭圆定义，得，，
解得，同理可得，
所以
．因为，
所以的周长为定值． （14分）
②当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，
根据（ⅰi）的证明，同理可得三点共线，且，
同理可得，
由双曲线的定义，得，
根据，解得，同理根据，解得，
所以
，
由内切圆性质可知，，
当时，（常数）．
因此，存在常数使得恒成立，且． （17分）
19. （17分）解：（1）
当时，，， （3分）又也适合此式，， （4分）
数列是首项为1，公比为的等比数列，故； （5分）
（2）可知，,则， （7分）
数列是首项为，公差为的等差数列，其通项，故； （9分）
不妨令,则，
令数列的前项和，
则，
累加，则，
，
下面先证不等式 ②
令，则.
，即②成立. （14分）
在②中令，得到③ （15分）
当时，；当时，由①及③得：
. （17分）1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
D
B
C
C
A
D
9
10
11
AD
BCD
ACD