2024-2025学年江苏省南京、镇江、徐州等十校联盟高二上学期12月月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京、镇江、徐州等十校联盟高二上学期12月月考数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线l过点A(−4, 3)、B(−1,0)，则l的倾斜角为( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
2.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a2，a4成等比数列，则a2=( )
A. −10B. −6C. 4D. −4
3.直线ax+2y−6=0与直线3x+a+5y+3=0平行，则a=( )
A. −6B. 1C. −6或1D. 3
4.已知圆C的圆心在x轴上且经过A(1,1)，B(2,−2)两点，则圆C的标准方程是( )
A. (x−3)2+y2=5B. (x−3)2+y2=17
C. (x+3)2+y2=17D. x2+(y+1)2=5
5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. x±y=0B. x± 3y=0C. 3x±y=0D. 2x±y=0
6.已知A(−2,0)，B(2,0)，若圆(x−a−1)2+(y−3a+2)2=4上存在点P满足PA⋅PB=5，则a的取值范围是( )
A. [−1,2]B. [−2,1]C. [−2,3]D. [−3,2]
7.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在C上(M位于第一象限)，且点M，N关于原点O对称，若MF1·MF2=0， 15|MF2|=|NF2|，则C的离心率为( )
A. 154B. 157C. 2 15−27D. 15−24
8.已知数列{an}的通项公式an=2n−1，在其相邻两项ak，ak+1之间插入2k个3(k∈N∗)，得到新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Sn，则使Sn≥100成立的n的最小值为( )
A. 28B. 29C. 30D. 31
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线C:mx2+ny2=1，下列说法正确的是( )
A. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 n
B. 若m>0，n=0，则C是两条直线
C. 若n>m>0时，则C是椭圆，其焦点在y轴上
D. 若mn0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B,F2A=−23F2B，则C的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列an是首项为2，各项均为正数的等比数列，且a4是6a2和a3的等差中项．
(1)求an的通项公式；
(2)若数列bn满足bn=1lg2an⋅lg2an+1，求bn的前2024项和T2024 ．
16.(本小题12分)
已知A(−1,1)，B(0,−1)，点C在直线l:x+y−2=0上．
(1)若点C的横坐标为13，求▵ABC的面积；
(2)若▵ABC的周长最小，求点C的坐标及▵ABC的周长．
17.(本小题12分)
已知圆F1:(x+1)2+y2=1，圆F2:(x−1)2+y2=9，若动圆P与圆F1外切，且与圆F2内切，记动圆圆心P的轨迹为C ．
(1)求C的方程；
(2)过F2的直线l与C交于A，B两点，且AF2=2F2B，求直线l的方程．
18.(本小题12分)
已知圆M:x2+(y−2)2=1，直线l:x−y−1=0，点P在直线l上．
(1)求PO2+PM2的取值范围；
(2)过点P引圆M的两条切线PA、PB，切点为A、B．
(i)求四边形MAPB面积的最小值；
(ii)设AB中点为N，是否存在定点Q使得|NQ|为定值，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
如果一条双曲线的实轴以及虚轴分别是另一条双曲线的虚轴及实轴，则称两条双曲线共轭．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:x24−y2b2=1(b>0)的离心率为 5，设双曲线C的共轭双曲线为C′．
(1)求双曲线C′的标准方程；
(2)若双曲线C的切线l与C′以及两条渐近线自上而下依次交于点A，E，F，B，求证：(i)SAOB为定值；(ii)AE=BF．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.A
5.C
6.A
7.C
8.B
9.BD
10.ACD
11.BCD
12.312
13.x−12+y−12=1
14.3 55
15.解：(1)
设数列an的公比为q>0，则an=2qn−1．
因为a4是6a2和a3的等差中项，所以2a4=6a2+a3，
即2×2q3=6×2q+2q2，
解得q=2或q=−32(舍去)或q=0(舍去)
所以an=2×2n−1=2n．
(2)
由(1)知an=2n,
∴bn=1lg22n⋅lg22n+1=1nn+1=1n−1n+1，
∴Tn=1−12+12−13+13−14+⋯⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1．
∴T2024=20242025，
故bn的前2024项和T2024=20242025．

16.解：(1)∵xC=13，代入x+y−2=0，解得yC=53，即C(13,53)，
lAB：2x+y+1=0，C到BC的距离为d=2 53，|AB|= 5，
∴S△ABC=12|AB|⋅d=53．
(2)设点A关于直线l的对称点为A′(x0,y0)，
由题意得y0−1x0+1×−1=−1x0−12+y0+12−2=0,
解得x0=1y0=3，即A′(1,3)，
∴lBA：y=4x−1，联立x+y−2=0，解得C(35,75)，
此时AB+BC+CA=AB+BA′= 5+ 17．
17.解：(1)设动圆的半径为R，
由题意|PF1|=R+1，|PF2|=3−R，
∴|PF1|+|PF2|=R+1+3−R=4，
又|F1F2|=2