江苏省镇江市、南京市联盟校2023-2024学年高一下学期5月学情调查数学试题

这是一份江苏省镇江市、南京市联盟校2023-2024学年高一下学期5月学情调查数学试题，共9页。试卷主要包含了若，，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、单项选择题：本小题共8题，每小题5分，共40分.在在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.向量与的夹角为（ ）
A.10°B.20°C.30°D.40°
2.如图所示直角梯形上、下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（ ）
A.2B.3C.4D.6
3.已知，则（ ）
A.B.C.D.
4.已知，表示两条不同直线，表示平面，则（ ）
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
5.如图所示，在空间四边形中，点E，H分别是边，的中点，点F，G分别是边，上的点，且，则下列说法正确的个数为（ ）
①E，F，G，H四点共面；
②平面；
③与的交点M一定在直线上.
A.0B.1C.2D.3
6.在平行四边形中，已知，，，点在边上，满足，则（ ）
A.B.0C.-1D.1
7.若，，则（ ）
A.B.C.5D.
8.以P为顶点，圆O为底面的圆锥中，轴截面为等边三角形，M为底面圆O上一点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得得6分分，部分选对得得部分分，有选错的得得0分.
9.已知向量，，则下列说法中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则，的夹角为钝角
D.若，则在上的投影向量的坐标为
10.设，为复数，是虚数单位，则下列结论中正确的是（ ）
A.若为虚数，则也为虚数B.若，则的最大值为
C.D.
11.如图，正方体中，E，F分别为棱，的中点，P为线段上的动点，则（ ）
A.对任意的点，总有
B.对任意的点，总有与是异面直线
C.过点E，F，D的平面截该立方体的截面形状是四边形
D.异面直线与所成角的正切值的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数满足，其中是虚数单位，则________.
13.如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，E为的中点，F在线段上，，平面，则的值为________.
14.镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一。如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为________米.
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知复数在复平面上对应点在第四象限，且，的虚部为-2.
（1）求复数；
（2）设复数、、在复平面上对应点分别为A、B、C，求的值.
16.已知锐角，满足，.
（1）求sin的值；
（2）求的大小.
17.如图，某海域的东西方向上分别有A，B两个观测塔，它们相距海里，现A观测塔发现有一艘轮船在D点发出求救信号，经观测得知D点位于A点北偏东45，同时B观测塔也发现了求救信号，经观测D点位于B点北偏西75，这时位于B点南偏西45且与B相距30海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时.
（1）求B点到D点的距离；
（2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，救援船能否在1小时内到达救援地点？请说明理由.（参考数据：，，）
18.如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为正方形，且，点为棱的中点，点F为棱上一点.
（1）若点F为中点，求证：平面；
（2）若点满足，
（i）求证：；
（ii）求直线与平面所成角的正切值.
19.对于数集，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称X是“对称的”.
（1）判断以下三个数集、、是否是“对称的”（不需要说明理由）；
（2）若，且是“对称的”，求的值；
（3）若“对称的”数集，满足：，，.求证：.
参考答案
15.（1）设，
，，
由题意得，
解得或，
又因为复数在复平面上对应点在第四象限，所以.
（2），，，
所以对应的点，，，
从而，，.
16.（1）∵，，
∵，，∴、均为正数.
∴，，
.
∴；
∵，，∴，
又∵，
∴.
17.（1）由题意知：，，，
所以.
在中，由正弦定理可得：，即，
所以（海里）；
（2）在中，，，，
由余弦定理可得：
，
所以海里，
所以需要的时间为（分钟）<60（分钟）
答：B点到D点的距离为10海里，且救援船能够在1小时内到达救援地点.
18.证明：（1）中，点，分别为棱，的中点，∴
又四边形是正方形，∴，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）（i）在四棱锥中，
平面，四边形为正方形
则
.
（ii）由（i）可知即为直线与平面所成的角，
在中，，，则
又，∴，∴
故直线与平面所成的角的正切值为
19.（1）是，是，否
（2）因为，且是“对称的”，
所以可取，设满足，即，
因为，所以s，t中必有一个负数一个正数，
而X中只有一个负数-1，所以s，t必有一个是-1
若则，但且，矛盾；
若则，其中，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
所以.
（3）证明：取，设，满足，
所以，所以s，t异号，
因为-1是X中的唯一的负数，
所以s，t中之一为-1，另一个为1，
所以，
假设，其中，则，
选取，并设，满足=，
所以，则p，q异号，从而p，q之中恰有一个为-1，
若，则，而正数，与矛盾；
若，则，矛盾，
所以当时，，综上，得证
.1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
D
D
C
C
D
D
9
10
11
12
13
14
BD
ACD
ABD
3