2024~2025学年浙江省衢州市部分学校高一(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年浙江省衢州市部分学校高一(上)期中数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，，则.
故选：A.
2. 命题“，使得”的否定为（ ）
A. ，B. ，使得
C. ，D. ，使得
【答案】C
【解析】由命题“，使得”，则命题的否定为“，”．
故选：C．
3. 设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由命题p为真命题，得，解得，
显然，
所以“命题p为真命题”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】取，，则，但，A项错误；
因为，所以，即成立，B项正确；
取，，则.又，，，C项错误；
取，，则.但，D项错误.
故选：B.
5. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】在 上分别为增函数，减函数，增函数，
故，.
故选：A.
6. 方程的解所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，在上连续，且单调递增，
对于A，因为，，
所以的零点不在内，所以A错误，
对于B，因为，，
所以的零点不在内，所以B错误，
对于C，因为，，
所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，
所以C正确，
对于D，因为，，
所以的零点不在内，所以D错误.
故选：C.
7. 已知函数，则的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴，
定义域关于原点对称，故是偶函数，排除A，
当时，，即，
当时，又有，因此，排除B，C.
故选：D．
8. 已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对于上任意不相同的，都有，
即对于上任意不相同的，都有，
所以是上的增函数，且，
所以，所以，
故由题意可知，存在使得，
所以，且最小值无限逼近，所以.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. “，”是“”成立的充分不必要条件
D. “”是“”的必要不充分条件
【答案】ACD
【解析】A：由，得，故A正确；
B：由，令，则不满足，故B错误；
C：若，则，所以充分性成立；
若，令，不满足，所以必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
D：若，若，则不成立，所以充分性不成立；
若，则，所以必要性成立，
所以“”是“”是必要不充分条件，故D正确.
故选：ACD.
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，且，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；
选项B：，∴a2>ab>b2，所以本命题是真命题；
选项C: ，
，所以本命题是真命题；
选项D：若时，显然不成立，所以本命题是假命题.
故选：BC．
11. 已知非空集合，若对，都有，成立，则称集合是封闭集.下列说法中正确的是（ ）
A. 集合是封闭集
B. 若集合是封闭集，则也是封闭集
C. 若集合，为封闭集，且，则也是封闭集
D. 若集合，为封闭集，且，则也是封闭集
【答案】AD
【解析】对于A，记，由，设，，
则，，可知，，
则集合是封闭集，故A正确；
对于B，取集合{有理数}，
若，则都有，成立，故集合是封闭集．
{无理数}，取，可知，，
故不是封闭集，故B错误；
对于C，取，是封闭集．
取，由，设，，
则，，
则，，可知是封闭集，且，
取，则，但，
因此不是封闭集，故C错误；
对于D，设，则，，
若集合，为封闭集，且，
则，；，；
从而，，则也是封闭集，故D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线的倾斜角大小为______.
【答案】
【解析】由直线可知其斜率为，
所以其倾斜角满足，所以.
13. 已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则_____.
【答案】
【解析】由函数是定义在上的奇函数，得，
而当时，，则，
所以.
14. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为_____________․
【答案】
【解析】当时，在上单调递增，函数值集合为，
在上单调递减，函数值集合为，
当时，在上单调递增，函数值集合为，
函数的图象如下：
方程化，
解得或，
方程有5个不等的实数根，
等价于与的图象与直线和共有五个交点，而，
因此或，解得或，
所以取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，，
所以，.
（2）因为，所以，解得，
所以，实数的取值范围为.
16. 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，分别是的中点，且．
（1）求证：平面；
（2）若，且是边长为4的正三角形，求三棱锥的体积．
解：（1）连接，与交于点，
分别是的中点，所以点是的中点，
即是三角形的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）四边形是菱形，所以，
又，，平面，所以平面，
，
由侧面是矩形可得，
又，，平面，
所以平面，即平面，
所以.
17. 某市为迎接国庆游客，出台了一系列政策.已知该市最多能容纳游客35万人，每万名游客平均可创造160万元的经济效益.已知该市维持旅游市场的成本分为固定成本和流动成本两部分，其中固定成本为300万元/年，每接待万名游客需要投入的流动成本为（单位：万元），
当游客人数不超过14万人时，；
当游客人数超过14万人时，．
（1）写出该市旅游净收入（万元）关于游客人数（万人）的函数解析式；（注：旅游净收入旅游收入固定成本流动成本）；
（2）当游客人数达到多少万人时，该市的旅游净收入能达到最大？
解：（1）根据题意得，
当时，，
当时，，
故.
（2）当时，，
且当时，在单调递增，当时，在单调递减，
此时．
当时，，
当且仅当时，等号成立．
因为，故当时，取得最大值1250，
即为使该市旅游净收入达到最大，游客人数应为9万人．
18. 函数满足：对任意实数，，有成立；函数，，，且当时，gx>0.
（1）求并证明函数为奇函数；
（2）证明：函数在0,+∞上单调递增；
（3）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.
解：（1）因为，
令，则，得f1=0；
令，则，得；
证明：，令，
依题意得，即f-x=-fx，
所以是奇函数.
（2）由得：
，即，
，，，则，则，
可得，
即，所以函数在0,+∞上单调递增.
（3）因为，，且函数为奇函数，
则，可知是偶函数，
且，
因为，可得，
因为是偶函数，且，
可得，
又因为函数在0,+∞上单调递增，可得，
因，则，
可知，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
综上所述：.
可得，解得，且，
所以的取值范围为.
19. 定义：对函数和，，若对任意，且，均有，则称“函数与具有类性质”.
（1）判断与是否具有类性质，并说明理由；
（2）已知，
①若与具有类性质，求的取值范围；
②若与具有类性质，且，证明： 对任意，.
解：（1）与具有2类性质，理由如下：
要证明与具有2类性质，
即验证不等式：，化简，得：，
两侧同时除以，得：，
由于，所以，故不等式成立，
所以函数与具有2类性质.
（2）①与具有1类性质，
故，
化简，得：，
两侧同时除以，得：，
解得：，
因为与在上单调递减，
所以（时取等号，故无法取等）
又，等号成立条件无法取得，
故（时取等号，故无法取等），故.
②因为与具有2类性质，
所以对，，
当时，则，
当时，由于在单调递增，
不妨设，，
因为，
故
，
综上所述，，.