湖南省长沙市2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试题-A4

这是一份湖南省长沙市2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试题-A4，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．1， ，2 B． C．5，6，7 D．7，8，9
3．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．3 月 9 日中国政府向世界卫生组织捐款 2000 万美元，捐款将用于新冠肺炎防控、发展中国家公共卫生体系建设等指定用途．2000 万用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，若DE=3，则AB等于( )
A．4 B．5 C．5.5 D．6
6．下列运算正确的是( )
A． B．
C． D．
7．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DE⊥AB于点E，则DE的长度为（ ）
A． B． C．5 D．
8．下列说法错误的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∠EAF＝45°，且AE+AF＝3，则▱ABCD的周长是（ ）
A．12 B． C． D．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG，同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为( )
A．1 B． C．4 D．
二、填空题
11．计算：＝_____．
12．如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是_______．
13．如图，P是正方形ABCD内一点，且PA＝PD，PB＝PC．若∠PBC＝60°，则∠PAD＝_____．
14．若x＝+1，y＝﹣1，则x2y+xy2＝____．
15．在平面直角坐标系中，已知点，则以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为______．
16．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠D=60°，∠A＝105°，∠B＝120°，则的值为__________．
17．化简：＝ ．
三、解答题
18．计算：×（﹣）﹣|2﹣3|+（）﹣3．
19．已知x＝+1，y＝﹣1，求：
（1）代数式xy的值；
（2）代数式x3+x2y+xy2+y3的值．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 的三个顶点都在格点上.
(1)直接写出边 AB、AC、BC 的长．
(2)判断△ABC 的形状，并说明理由．
21．已知：如图，在⊿ABC中，AB=AC，D、E、F分别是BC、AB、AC边的中点. 求证：四边形AEDF 是菱形.
22．一架云梯长13m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙5m．
（1）这个梯子AC的顶端A距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了3m，如图到达DE位置，那么梯子的底部在水平方向滑动的距离CE是多少米？
23．如图所示，以△ABC的三边AB、BC、CA在BC的同侧作等边△ABD、△BCE、△CAF,请说明：四边形ADEF为平行四边形．
24．如图1，ACB和ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，ACB的顶点A在ECD的斜边DE上．
（1）求证：AE2+AD2＝2AC2；
（2）如图2，若AE＝2，AC＝2，点F是AD的中点，求CF的长．
25．在△ABC中，AB＝AC＝5．
（1）若BC＝6，点M、N在BC、AC上，将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合，求折痕MN的长；
（2）点D在BC的延长线上，且BC：CD＝2：3，若AD＝10，求证：△ABD是直角三角形．
参考答案
1．B
【分析】
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【详解】
A、，故此选项错误；
B、是最简二次根式，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2．A
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、12+()2=22，故是直角三角形，故此选项正确；
B、()2+()2≠=()2，故不是直角三角形，故此选项错误；
C、52+62≠72，故不是直角三角形，故此选项错误；
D、72+82≠92，故不是直角三角形，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3．C
【分析】
把被开方数相除，然后化简即可．
【详解】
原式=．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解答本题的关键．
4．D
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：2000 万=，
故答案为：D．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．D
【分析】
由两个中点连线得到DE是中位线，根据DE的长度即可得到AB的长度.
【详解】
∵点D是BC的中点，点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=6，
故选：D.
【点睛】
此题考查三角形的中位线定理，三角形两边中点的连线是三角形的中位线，平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
6．C
【分析】
根据二次根式加、减、乘、除的运算法则进行计算．
【详解】
解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，原式运算错误，故本选项不符合题意；
C、，原式运算正确，故本选项符合题意；
D、，原式运算错误，故本选项不符合题意；
故选C.
【点睛】
本题考查的是二次根式的加、减、乘、除的运算法则，在解题时不仅要明确同类二次根式的概念，还要懂得二次根式的化简，方能正确计算．
7．B
【分析】
利用已知的对角线求出菱形的面积以及菱形的边长，再根据菱形面积（底×高）求出DE长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴面积是AC×BD＝×6×8＝24，AC⊥BD且互相平分，
因为菱形的对角线长为6和8，
所以利用勾股定理可得菱形的边长为＝5，
则5×DE＝24，解得DE＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查菱形的性质，勾股定理，利用等面积法是解答本题的关键．
8．B
【分析】
直接利用平行四边形的判定方法以及菱形的判定方法和三角形中位线的性质、直角三角形的性质分别判断得出答案．
【详解】
A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，不合题意；
B、两条对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，故原说法错误，符合题意；
C、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，正确，不合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，不合题意；
故选：B．
【点睛】
此题考查平行四边形的判定，菱形的判定，三角形中位线的性质，直角三角形的性质，正确掌握相关判定方法是解题关键．
9．D
【分析】
要求平行四边形的周长就要先求出AB、AD的长，利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出．
【详解】
解：∵∠EAF＝45°，
∴∠C＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠EAF＝135°，
∴∠B＝∠D＝180°﹣∠C＝45°，
则AE＝BE，AF＝DF，
设AE＝x，则AF＝3﹣x，
在Rt△ABE中，
根据勾股定理可得，AB＝x
同理可得AD＝（3﹣x）
则平行四边形ABCD的周长是2（AB+AD）＝2[x+（3﹣x）]＝6，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，解题关键是利用平行四边形的性质结合等角对等边、勾股定理来解决有关的计算和证明．
10．D
【分析】
过点F作FH⊥CD，交直线CD于点Q，则∠EHF=90°，易证∠ADE=∠EHF，由正方形的性质得出∠AEF=90°，AE=EF，证得∠AED=∠EFH，由AAS证得△ADE≌△EHF得出AD=EH=4，则t+2t=4+10，即可得出结果．
【详解】
过点F作FH⊥CD，交直线CD于点Q，则∠EHF=90°，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠EHF，
∵在正方形AEFG中，∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠AED+∠HEF=90°，
∵∠HEF+∠EFH=90°，
∴∠AED=∠EFH，
在△ADE和△EHF中，
，
∴△ADE≌△EHF（AAS），
∴AD=EH=4，
由题意得：t+2t=4+10，
解得：t=，
故选D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形与矩形的性质，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
11．
【分析】
分子和分母同时乘，计算即可．
【详解】
解：＝＝，
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
12．17米
【分析】
在直角三角形ABC中，已知AB，BC，根据勾股定理即可求得AC的值，根据题意求地毯长度即求得AC+BC即可．
【详解】
将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形ABC的两直角边之和，即AC+BC，
在直角△ABC中，已知AB=13米，BC=5米，且AB为斜边，则根据勾股定理AC==12（米），故地毯长度为AC+BC=12+5=17（米）.故答案为17米
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是知道求地毯长度即求AC+BC.
13．15°
【分析】
先根据已知求得∠ABP＝30°，再证明AB＝BC＝BP，进而求出∠PAB的度数，然后求得∠PAD的度数即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠DAB＝∠CBA＝90°，
∵PB＝PC，∠PBC＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠APB＝∠PBA＝60°，PA＝PB＝AB，
∴∠DAP＝∠CBP＝30°，
∵PA＝PD，
∴∠PDA＝＝75°．
∴∠PAD＝15°，
故答案为：15°．
【点睛】
本题是对正方形知识的综合考查，熟练掌握正方形的性质是解决本题的关键.
14．2.
【分析】
先求出xy，x+y，再将x2y+xy2变形为xy（x+y）．然后代入计算即可．
【详解】
∵x＝+1，y＝﹣1，
∴xy＝（+1）（﹣1）＝2﹣1＝1，
x+y＝（+1）+（﹣1）＝2，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝1×2＝2．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，因式分解，难度适中．能够根据字母的取值将所求式子进行因式分解是解题的关键．
15．（4，2）或（-4，2）或（2，-2）
【分析】
当平行四边形的一组对边平行于x轴时，可得可能的2个点；当平行于x轴的一边为平行四边形的对角线时，利用平移的性质可得另一点．
【详解】
解：①如图1，以AB为边时，A（3，0）、B（-1，0）两点之间的距离为：3-（-1）=4，
∴第四个顶点的纵坐标为2，横坐标为0+4=4，或0-4=-4，
即D（4，2）或D′（-4，2）；
②如图2，以AB为对角线时，∵从C（0，2）到B（-1，0），是横坐标减1，纵坐标减2，
∴第四个顶点D的横坐标为：3-1=2，纵坐标为0-2=-2，即D（2，-2）
综上所述，第四个顶点D的坐标为（4，2）或（-4，2）或（2，-2）．
故答案为：（4，2）或（-4，2）或（2，-2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，坐标与图形性质．平行于x轴的直线上的点的横坐标相等；一条直线上到一个定点为定长的点有2个；平行四边形的对边平行且相等，可利用平移的性质得到平行于x轴的一边为平行四边形的对角线时第四个点．
16．
【分析】
沿AB作垂线与C的延长线相交于M点，可得到等边直角三角形和锐角为30°的直角三角形，根据三角函数求解即可.
【详解】
解：如图
连接AC并过B点作BM⊥CM，设BM=k，
∵AD＝CD，∠D=60°,
∴△ACD是等边三角形，AD=AC，
∵∠A＝105°，∠B＝120°，∠DAC=60°,
∴∠MBC=60°，∠BCM=30°，∠BAC=45°，
∵BM=k，
∴BC=2k，MC==k，
∵∠BAC=45°，∠MCA=45°，
∴AD=AC==，
∴.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值和公式的应用，正确应用公式和作出辅助线是解题的关键.，=.
17．10
【分析】
根据二次根式的性质计算．
【详解】
解：
＝5+5
＝10．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．1+2
【分析】
根据负整数指数幂和二次根式的乘法法则运算．
【详解】
解：原式＝﹣+2﹣3+8
＝﹣4+2﹣3+8
＝1+2．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
19．（1）2；（2）16.
【分析】
（1）直接代入平方差公式计算即可；
（2）先计算出x+y和x2+y2,原式整理成（x2+y2）（x+y）代入计算即可；
【详解】
（1）xy=（+1）（-1）=（）2-1=2；
（2）∵x＝+1，y＝﹣1，xy=2,
∴x+y=+1+-1=2，
∴x2+y2=（x+y）2-2xy=8，
则x3+x2y+xy2+y3
= x2（x+y）+y2（x+y）
=（x2+y2）（x+y）
=8×2
=16.
【点睛】
此题考查整式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，解题关键在于掌握运算法则.
20．(1)AB＝，AC＝，BC＝；(2)△ABC 是等腰直角三角形，理由见解析.
【分析】
(1)利用勾股定理进行求解即可得到结论；
(2)根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到结论．
【详解】
(1)AB＝，AC＝=，BC＝；
(2)△ABC 是等腰直角三角形，理由如下：
∵AB2+AC2＝5+5＝10＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
又∵AB＝AC，
∴△ABC 是等腰直角三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
21．证明见解析.
【分析】
根据三角形的中位线的性质，证明AE=AF=ED=FD，然后根据四条边相等的四边形是菱形证明即可.
【详解】
证明：⊿ABC中，E、D分别是AB， BC的中点，
∴ED =(三角形的中位线等于第三边的一半).
同理 FD= .
∵ AE= ，AF = ，
∴ AE=AF=ED=FD ，
∴ 四边形AEDF是菱形（四条边相等的四边形是菱形）.
22．（1）梯子的高为12 m；（2）(-5)m
【分析】
（1）直接根据勾股定理求出AB的长即可；
（2）先根据梯子的顶端下滑了3米求出AD的长，再根据勾股定理求出BE的长，进而可得出结论．
【详解】
解：（1）由题意可知△ABC是直角三角形，
∵BC＝5m AC＝13m．
∴由勾股定理得：AB＝＝12（m），
∴梯子的高为12 m；
（2）由题意可知DE＝AC＝13m，
∵AD＝3m，
∴BD＝12﹣3＝9（m），
在Rt△DBE中，由勾股定理得：BE＝＝＝2（m），
∴﹣5）（m）．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解这在几何的计算问题中是经常用到的，请同学们熟记并且能熟练地运用它．
23．证明见解析
【详解】
分析：由△ABD，△EBC都是等边三角形，易证得△DBE≌△ABC（SAS），则可得DE=AC，又由△ACF是等边三角形，即可得DE=AF，同理可证得AD=EF，即可判定四边形ADEF是平行四边形．
本题解析：
证明：∵△ABD，△EBC都是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB，BC＝BE＝EC，
∠DBA＝∠EBC＝60°，
∴∠DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA，
∴∠DBE＝∠ABC，
在△DBE和△ABC中，∵ ，
∴△DBE≌△ABC（SAS），
∴DE＝AC，
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF，
∴DE＝AF，
同理可证：AD＝EF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
24．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由“SAS”可证△ECA≌△DCB，可得AE＝BD，∠CEA＝∠CDB＝45°，由勾股定理可求解；
（2）由勾股定理可求AD的长，由等腰直角三角形的性质可得CH＝DH＝EH＝4，可求HF的长，由勾股定理可求CF的长．
【详解】
（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，
∴∠ECA+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∠CEA＝∠CDE＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°，AB2＝2AC2，
∴∠ECA＝∠DCB，
连接BD，如图1所示：
在△ECA和△DCB中，，
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠CEA＝∠CDB＝45°，
∴∠ADB＝∠CDB+∠EDC＝90°，
∴△ADB是直角三角形，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴AD2+AE2＝AB2，
∴AE2+AD2＝2AC2；
（2）解：如图2，过点C作CH⊥DE于H，如图2所示：
∵AE2+AD2＝2AC2，AE＝2，AC＝2，
∴AD＝6，
∴DE＝AE+AD＝8，
∵点F是AD的中点，
∴AF＝DF＝3，
∵△ECD都是等腰直角三角形，CH⊥DE，DE＝8，
∴CH＝DH＝EH＝4，
∴HF＝DH﹣DF＝1，
∴CF＝＝＝．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
25．（1）；（2）见解析
【分析】
（1）如图1，过作于，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，，设，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图2，过作于，根据等腰三角形的性质得到，设，，，得到，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图1，过作于，
，，
，
，
将沿折叠，使得点与点重合，
，，
设，
，
，
，
解得：，
；
（2）如图2，过作于，
，
，
，
设，，，
，
，，
，，
联立方程组解得，（负值舍去），
，
，
是直角三角形．
【点睛】