湖南省长沙市浏阳市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

这是一份湖南省长沙市浏阳市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）如图，点M（﹣3，4）到原点的距离是（ ）
A．3B．4C．5D．7
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3﹣＝B．+＝C．×＝D．÷＝
4．（3分）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小宇同学在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝18米，则A、B两点的距离是（ ）
A．9米B．18米C．36米D．54米
5．（3分）如图，平行四边形ABCD中，若∠B＝2∠A，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
6．（3分）如图，已知线段AB、AD和射线BP，且AD∥BP，在射线BP上找一点C，使得四边形ABCD是平行四边形，下列作法不一定可行的是（ ）
A．过点D作DC∥AB与BP交于点C
B．在AD下方作∠ADC与BP交于点C，使∠ADC＝∠ABP
C．在BP上截取BC，使BC＝AD，连接DC
D．以点D为圆心，AB长为半径画弧，与BP交于点C，连接DC
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC为直角，AB∥CD，AB＝CD，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AO＝6.5，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．60B．30C．90D．96
8．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
9．（3分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且DE∥CA，DF∥BA，下列说法不正确是（ ）
A．若AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形
B．若AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
C．若AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形
D．若∠ADC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
10．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．则EF的长为（ ）
A．4B．C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）要使二次根式有意义，实数x的取值范围是 ．
12．（3分）已知菱形的两条对角线分别是4和6，则其面积是 ．
13．（3分）若x，y为实数，且，则xy＝ ．
14．（3分）古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为相a、b、c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦﹣秦九韶公式，请你利用海伦﹣秦九韶公式计算以下△ABC的面积为 ．
15．（3分）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是3，直角三角形的两直角边分别为a，b，那么a+b的值是 ．
16．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则∠DAB+∠DBA＝ °．（点D，A，B是网格线交点）
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、CE．
（1）求证：△ACD≌△EDC；
（2）若点D是BC中点，说明四边形ADCE是矩形．
19．（6分）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
20．（8分）先化简，再求值：，其中a＝1007．如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）先化简，再求值：，其中a＝﹣2024．
21．（8分）如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D均在网格的格点上．
（1）判断∠BCD是否为直角．（填写“是”或“不是”）
（2）直接写出四边形ABCD的面积为 ．
（3）找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等．
22．（9分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？请说明理由．
23．（9分）如图，矩形AEBO的对角线AB、OE交于点F，延长AO到点C，使OC＝OA，延长BO到点D，使OD＝OB，连接AD、DC、BC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若OE＝20，∠BCD＝60°，则菱形ABCD的面积为 ．
24．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE＝EF．
25．（10分）若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”．
（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是 ；（填序号点①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
初步应用
（2）在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝ ；
深入研究
（3）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠B＝72°．
求证：梯形ABCD是绝妙四边形．
（4）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，是最简二次根式，符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
2．（3分）如图，点M（﹣3，4）到原点的距离是（ ）
A．3B．4C．5D．7
【解答】解：∵点M的坐标为（﹣3，4），
∴点M离原点的距离是＝5．
故选：C．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3﹣＝B．+＝C．×＝D．÷＝
【解答】解：A、原式＝2，所以A选项错误；
B、与不能合并，所以B选项错误；
C、原式＝＝，所以C选项正确；
D、原式＝＝，所以D选项错误．
故选：C．
4．（3分）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小宇同学在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝18米，则A、B两点的距离是（ ）
A．9米B．18米C．36米D．54米
【解答】解：∵小宇同学在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，
∴DE是△OAB的中位线，
∴，
∴AB＝2DE＝2×18＝36（米）．
故选：C．
5．（3分）如图，平行四边形ABCD中，若∠B＝2∠A，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
又∠B＝2∠A，
∴．
故选：D．
6．（3分）如图，已知线段AB、AD和射线BP，且AD∥BP，在射线BP上找一点C，使得四边形ABCD是平行四边形，下列作法不一定可行的是（ ）
A．过点D作DC∥AB与BP交于点C
B．在AD下方作∠ADC与BP交于点C，使∠ADC＝∠ABP
C．在BP上截取BC，使BC＝AD，连接DC
D．以点D为圆心，AB长为半径画弧，与BP交于点C，连接DC
【解答】解：A．由作法得DC∥AB，而AD∥BP，则四边形ABCD是平行四边形，所以A选项不符合题意；
B．由作法得∠ADC＝∠ABP，由AD∥BP得∠ADC＝∠DCP，则∠DCP＝∠ABP，所以DC∥AB，则四边形ABCD是平行四边形，所以B选项不符合题意；
C．由作法得BC＝AD，而AD∥BP，则四边形ABCD是平行四边形，所以C选项不符合题意；
D．由作法得DC＝AB，而AD∥BP，则四边形ABCD不一定是平行四边形，所以D选项符合题意．
故选：D．
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC为直角，AB∥CD，AB＝CD，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AO＝6.5，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．60B．30C．90D．96
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO＝2×6.5＝13，
∴BC＝＝＝12，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝5×12＝60，
故选：A．
8．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【解答】解：如图，连接CM、CN，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝3，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：5﹣3＝2．
故选：A．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且DE∥CA，DF∥BA，下列说法不正确是（ ）
A．若AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形
B．若AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
C．若AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形
D．若∠ADC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA
∴四边形AEDF是平行四边形，
A．若AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形，正确，不符合题意；
B．若AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形，正确，不符合题意；
C．若AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形，正确，不符合题意；
D．若∠ADC＝90°，不能得出四边形AEDF是矩形，错误，符合题意；
故选：D．
10．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．则EF的长为（ ）
A．4B．C．D．
【解答】解：由折叠的性质可知，BE＝DE，∠BEF＝∠DEF，
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝∠BEF，
∴BF＝BE，
设AE＝x，则BE＝DE＝9﹣x，
由勾股定理得，AB2＝BE2﹣AE2，即32＝（9﹣x）2﹣x2，
解得x＝4，
∴BF＝BE＝DE＝5，
如图，作EG⊥BF于G，则四边形ABGE是矩形，
∴EG＝AB＝3，BG＝AE＝4，∠EGF＝90°，
∴GF＝BF﹣BG＝1，
由勾股定理得，，
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）要使二次根式有意义，实数x的取值范围是 x≥2024 ．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣2024≥0，
解得：x≥2024．
故答案为：x≥2024．
12．（3分）已知菱形的两条对角线分别是4和6，则其面积是 12 ．
【解答】解：∵菱形的两条对角线分别是4和6，
∴菱形的面积＝，
故答案为：12．
13．（3分）若x，y为实数，且，则xy＝ ﹣6 ．
【解答】解：∵，
∴x﹣3＝0，y+2＝0，
∴x＝3，y＝﹣2，
∴xy＝3×（﹣2）＝﹣6；
故答案为：﹣6．
14．（3分）古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为相a、b、c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦﹣秦九韶公式，请你利用海伦﹣秦九韶公式计算以下△ABC的面积为 2 ．
【解答】解：∵＝＝5，
∴s＝＝2．
故答案为：2．
15．（3分）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是3，直角三角形的两直角边分别为a，b，那么a+b的值是 ．
【解答】解：设大正方形的边长为c，小正方形的边长为d，
∵直角三角形的两直角边分别为a，b，
∴a2+b2＝c2，a﹣b＝d，
∵大正方形的面积是12，小正方形的面积是3，
∴c2＝12，d2＝3，
∴a2+b2＝12，（a﹣b）2＝3，
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴12﹣2ab＝3，
∴2ab＝9，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝12+9＝21，
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＝．
16．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则∠DAB+∠DBA＝ 45 °．（点D，A，B是网格线交点）
【解答】解：如图，延长AD到T，连接BT．
则TD2＝BT2＝1+22＝5，DB2＝12+32＝10，
∴TD2+TB2＝DB2，
∴∠DTB＝90°，
∴∠TDB＝∠DAB+∠DBA＝45°，
故答案为：45．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝
＝3．
18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、CE．
（1）求证：△ACD≌△EDC；
（2）若点D是BC中点，说明四边形ADCE是矩形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），
∴AB∥DE，AB＝DE（平行四边形的对边平行且相等）；
∴∠B＝∠EDC（两直线平行，同位角相等）；
又∵AB＝AC（已知），
∴AC＝DE（等量代换），∠B＝∠ACB（等边对等角），
∴∠EDC＝∠ACD（等量代换）；
∵在△ADC和△ECD中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），
∴BD∥AE，BD＝AE（平行四边形的对边平行且相等），
∴AE∥CD，
∵点D是BC中点，
∴BD＝CD，
∴AE＝CD（等量代换），
∴四边形ADCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”性质），
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
19．（6分）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
【解答】解：设水深x尺，芦苇（x+1）尺，
由勾股定理：x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，x+1＝13，
答：水深12尺，芦苇的长度是13尺．
20．（8分）先化简，再求值：，其中a＝1007．如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 小亮 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ＝﹣a（a＜0） ；
（3）先化简，再求值：，其中a＝﹣2024．
【解答】解：（1）根据上述解答过程，可知小亮的解法是错误的；
故答案为：小亮；
（2）小亮错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：＝﹣a（a＜0），
故答案为：＝﹣a（a＜0）；
（3）原式＝
＝a+2
＝a+2（3﹣a）
＝6﹣a，
将a＝﹣2024代入，
则原式＝6+2024＝2030．
21．（8分）如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D均在网格的格点上．
（1）判断∠BCD是否为直角．（填写“是”或“不是”）
（2）直接写出四边形ABCD的面积为 14 ．
（3）找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等．
【解答】解：（1）∠BCD不是直角．
理由：∵CD＝＝，BC＝＝，BD＝＝4，
∴BD2≠BC2+CD2，
∴∠BCD≠90°；
（2）四边形ABCD的面积＝5×5﹣×1×5﹣×2×5﹣×1×3﹣1×1﹣×1×2＝14．
故答案为：14；
（3）如图，四边形ABED即为所求（答案不唯一）．
22．（9分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？请说明理由．
【解答】（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点，
∴AE＝DE，BD＝CD，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，
在△AFE和△DCE中，
，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝BD，
∵AF∥BD
∴四边形AFBD为平行四边形；
（2）解：当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形，理由为：
∵E为AD的中点，D为BC中点，
∴AE＝DE，BD＝CD，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，
在△AFE和△DCE中，
，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝BD，
∵AF∥BD
∴四边形AFBD为平行四边形；
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝＝BD，
∵四边形AFBD为平行四边形，AD＝BD；
∴四边形AFBD为菱形．
23．（9分）如图，矩形AEBO的对角线AB、OE交于点F，延长AO到点C，使OC＝OA，延长BO到点D，使OD＝OB，连接AD、DC、BC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若OE＝20，∠BCD＝60°，则菱形ABCD的面积为 200 ．
【解答】（1）证明：∵CO＝AO，DO＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵四边形AEBO是矩形，
∴∠AOB＝90°，
∴BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形AEBO是矩形，
∴AB＝BC＝OE＝20，
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，
∴∠BCO＝30°，∠AOB＝90°，
∴OB＝BC＝×20＝10，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：OC＝，
∴BD＝2OB＝2×10＝20，AC＝2OC＝2×10，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×20×20＝200．
故答案为：200．
24．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE＝EF．
【解答】证明：取AB的中点H，连接EH；
∵∠AEF＝90°，
∴∠2+∠AEB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠AEB＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵E是BC的中点，H是AB的中点，
∴BH＝BE，AH＝CE，
∴∠BHE＝45°，
∵CF是∠DCG的角平分线，
∴∠FCG＝45°，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，
在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
25．（10分）若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”．
（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是 ③④ ；（填序号点①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
初步应用
（2）在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝ 140°或80°或160° ；
深入研究
（3）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠B＝72°．
求证：梯形ABCD是绝妙四边形．
（4）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
【解答】解：（1）∵菱形的四条边相等，
∴连接对角线能得到两个等腰三角形，
∴菱形是巧妙四边形；
正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四边形；
故答案为：③④；
（2）分三种情况，
①当AC＝AD＝AB时，如图1，
∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠BAD＝80°，
∴∠BAC＝∠DAC＝40°，
∵AC＝AD＝AB，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠ACB＝∠ABC＝＝70°，
∴∠BCD＝2∠ACD＝140°；
②当AD＝CD，AB＝BC时，如图2，
∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD＝∠BAD＝80°；
③在四边形ABCD中，AC＝CD＝BC，如图3，
∴∠CAD＝∠ADC＝40°
∴∠ACD＝∠ACB＝100°
∴∠BCD＝360°﹣100°﹣100°＝160°；
综上，∠BCD＝140°或80°或160°；
故答案为：140°或80°或160°；
（3）如图4，连接AC与BD，交于点O，
在梯形ABCD中，AB＝CD，
∴∠ABC＝∠DCB＝72°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝∠ADC＝108°，
∵AB＝AD＝CD，
∴△ABD是等腰三角形，∠ABD＝∠ADB＝36°，
∴∠DBC＝72°﹣36°＝36°，∠BDC＝108°﹣36°＝72°＝∠DCB，
∴△BDC也是等腰三角形，
∴对角线BD叫做这个四边形ABCD的“巧分线”，
同理可得△ADC和△ACB也是等腰三角形，
∴对角线AC叫做这个四边形ABCD的“巧分线”，
∴梯形ABCD是绝妙四边形；
（4）∵AC是四边形ABCD的巧分线，
∴△ACD和△ABC是等腰三角形，
①当AC＝BC时，如图5，过C作CH⊥AB于H，过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵∠HAD＝∠AHC＝∠G＝90°，
∴四边形AHCG是矩形，
∴AH＝CG＝AB＝CD，
∴∠CDG＝30°，
∴∠ADC＝150°，
∴∠DAC＝∠DCA＝15°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝75°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BCD＝30°+15°＝45°；
②当AC＝AB时，如图6，
∵AC＝AB＝AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝∠ACD＝60°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝75°+60°＝135°；
③当AB＝BC时，如图7，此时∠BCD＝90°；
④当AB＝AD＝CD时，如图8，过点C作CH⊥AB于H，作DF＝DC，交CH于F，过点F作FE⊥AD于E，
由①得：∠EDF＝∠DCF＝∠DFC＝30°，
∴∠CDF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∠ADC＝180°﹣30°﹣120°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACD＝75°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝15°，
∴∠ACB＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
∴∠BCD＝360°﹣150°﹣75°＝135°．
综上，∠BCD的度数是45°或135°或90°．