2025潍坊昌邑高二上学期11月期中考试数学含解析

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2024.11
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线过点、，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 与向量平行的一个向量的坐标是（ ）
A. B.
C D.
3. 已知直线：，：，若，则a的值为（ ）
A. B. 3C. D. 3或
4. 已知是直线上一点，且是直线的一个法向量，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 与a的取值有关
6. A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（ ）
A 钝角三角形B. 锐角三角形
C. 直角三角形D. 不确定
7. 已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 三棱锥中，，，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的动点，则（ ）
A.
B. PF1的最大值为
C. 的面积的最大值为
D. 存在点，使得
10. 将正方形沿对角线折成直二面角，下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C. 与平面所成的角为
D. 与所成的角为
11. 已知圆：和圆：，点Q是圆上的动点，则（ ）
A. 与圆、圆都相切的直线有四条
B. 若圆上到直线的距离为的点有4个，则m的取值范围是
C. 过点Q作圆的两条切线，切点分别为M和N，则
D. 已知，，若点B为圆上一动点，则的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上投影的数量为_____.
13. 已知圆心在直线上，且，都是圆上的点，则圆的标准方程为______.
14. 已知圆台上、下底面半径分别为和，母线长为.若该圆台内部有一个球，则球的半径的最大值为_____；若该圆台内部有一个正方体，且底面在圆台的下底面内，当正方体的棱长最大时，以为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，.
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若，求的模.
16. 如图，在直三棱柱中，，，，，D，E分别是，的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角余弦值.
17. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，满足条件的点P的轨迹为C.
（1）求C的轨迹方程；
（2）点M为直线：上的动点，过M作C的两条切线，切点分别为E，F，当四边形的面积最小时，求直线的方程.
18. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，M为的中点，设平面与平面的交线为.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）设H为上的动点，当与平面所成角的正弦值最大时，求的长.
19. 球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形（特别是三角形）的角、边、面积等问题，其在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A，B，C，过任意两点的大圆上的劣弧，，所组成的图形称为球面，记其面积为.易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A和；若球面上A，B，C，的对径点分别为，，，则球面与球面全等.如图2，已知球O的半径为R，圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小为，圆弧和所在平面、圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小分别为，.记.
（1）请写出，的值，并猜测函数的表达式；
（2）（i）当时，球面的面积为________（只写结果）.
（ⅱ）用，，，表示；
（3）若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，，求证：.