山东省临沂市第九中学南昌路校区2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考测试（解析版）-A4

这是一份山东省临沂市第九中学南昌路校区2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考测试（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了单项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
第I卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
1. 下列函数中是二次函数的有（ ）
①；②；③；④
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答．
【详解】①，是二次函数；
②，分母中含有字母，不是二次函数；
③，是二次函数；
④，不是二次函数.
则二次函数共2个，
故选：B
2. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（ ）
A. -2B. 2C. 2或D. 4或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案．
【详解】解：根据题意可得：
，
解得．
故选：A．
3. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选：A．
4. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．若，则m的值是（ ）
A. 2B. ﹣1C. 2或﹣1D. 不存在
【答案】A
【解析】
【分析】先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，即可求出m的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴，
解得：m>−1且m≠0，
∵x1、x2是方程mx2−(m+2)x+=0的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴m=2或−1，
∵m>−1，
∴m=2．
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于m的不等式组；(2)牢记，．
5. 已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A. 图象的开口向上B. 当时，y的值随x的值增大而增大
C. 图象经过第二、三、四象限D. 图象的对称轴是直线
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：由题意得，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线，故选项D符合题意；
当时，y的值随x的值增大而增大，当x>1时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；
∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；
故选：D．
6. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A. 2026B. 2025C. 2023D. 2022
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把代入，得，然后把所求式子化为代入计算即可作答．
【详解】解：∵是关于的方程的一个根，
∴，
∴，
故选：D．
7. 抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）
A. y＝（x+1）2﹣2B. y＝（x﹣1）2+2
C. y＝（x﹣1）2﹣2D. y＝（x+1）2+2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．
【详解】抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位得y＝（x+1）2+2．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
8. 王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用互赠的数量加上老师赠送的数量等于总数量，列出方程即可．
【详解】解：设班级有x名学生，由题意，得：；
故选C．
9. 直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，，而抛物线对称轴位于轴右侧，则，故选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，对称轴位于轴左侧，则，故选项符合题意；
故选：．
10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛物线求得对称轴，再结合抛物线上的点离对称轴的距离越小，纵坐标越小得不等式求解，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，
∵，，
∴两点位于对称轴左侧，点位于对称轴右侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，
解得：，
故选：．
第II卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据二次项系数不等于零且列式求解即可．
【详解】解：由题意，得
且，
∴且．
故答案为：且．
12. 若抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为____．
【答案】m＞﹣1
【解析】
【分析】直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可．
【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1），
∴顶点坐标为（2，m+1），
∵顶点在第一象限，
∴m+1＞0，
∴m的取值范围为m＞﹣1．
故答案为：m＞﹣1．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），以及各个象限点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
13. 已知点A和 B是抛物线上的两点，如果，那么_____．（填“”、“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，当时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，据此求解即可
【详解】解：∵，
∴，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线对称轴为直线，
∵，
∴．
答案：
14. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线与直线的交点坐标是解题关键．
【详解】解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方，
∴不等式解集是：，
故答案为：
15. 写一个关于的一元二次方程，使方程的两根之积为4，则方程为___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，则方程的常数项为4（二次项系数为1的情况下），据此求解即可．
【详解】解：∵方程的两根之积为4，
∴方程的常数项为4（二次项系数为1的情况下），
∴符合题意的方程可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
16. 老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．
甲：函数图象的顶点在x轴上；
乙：当x1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式_________．
【答案】．
【解析】
【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式形为，且a=1，h≥1，据此可得．
【详解】解：根据题意知，函数图象的顶点在x轴上，
设函数的解析式为；
该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同

当x1时，y随x的增大而减小；
所以取
满足上述所有性质的二次函数可以是：，
故答案为：，（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及及其解析式．
三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解方程
（1）；
（2）．
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用公式法解方程即可；
（2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可；
（3）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可；
（4）把看做一个整体，把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可.
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小问4详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得．
18. 已知一个二次函数的图象以为顶点，且过点．
（1）求该函数的解析式；
（2）设抛物线与x轴分别交于点C，D，与y轴交于点E，则的面积为__________．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是∶
（1）设顶点式，然后把代入求出a的值即可；
（2）根据抛物线解析式求得线段的长度和点E的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【小问1详解】
解∶设函数解析式为，
把代入，得，
解得，
∴；
【小问2详解】
解∶令，则，解得，，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴的面积为，
故答案：6．
19. 已知关于x的方程．
（1）若方程有一个根为2，求a的值及该方程的另一个根；
（2）求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1）a＝1，方程的另一个根为﹣3
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）将x=2代入方程得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，即可得到结论．
【小问1详解】
∵x＝2是方程的解
∴把x＝2代入方程得：4+2a-a﹣5＝0
解得a＝1
∵
∴
∴
∴a＝1，方程的另一个根为﹣3．
【小问2详解】
∵，
∴不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
20. 如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当的面积等于时，求运动时间．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设运动时间为，则，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设运动时间为，则，依题意，得：
，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
即当的面积等于时，运动时间为．
21. 已知二次函数的图象经过点．求：
（1）该二次函数的表达式．
（2）函数图象的顶点坐标．
（3）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）将解析式化顶点式即可求解；
（3）根据解析式求得开口方向与对称轴，结合题意即可求解．
【小问1详解】
解：将点代入，得
，
解得：，
所以二次函数的表达式为：，
【小问2详解】
解：，
所有顶点坐标为：；
【小问3详解】
∵，，开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，化为顶点式，二次函数图象的性质，求得解析式是解题的关键．
22. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线的对称轴于点D，连结BD，已知点A坐标为（-1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求梯形COBD的面积．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式．
（2）抛物线解析式令x=0求出y的值，求出OC的长，根据对称轴求出CD的长，令y=0求出x的值，确定出OB的长，根据梯形面积公式即可求出梯形COBD的面积．
【详解】（1）将A（―1，0）代入中，得：0=4a+4，解得：a=－1．
∴该抛物线解析式为．
（2）对于抛物线解析式，令x=0，得到y=3，即OC=3，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴CD=1．
∵A（－1，0），∴B（3，0），即OB=3．
∴．
23. 某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】（1）每次下降百分率为；
（2）每千克应涨价5元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系正确列出方程
（1）设每次降价的百分率为a，则两次降价的百分率为，再列出方程即可，
（2）根据总盈利＝每千克盈利×数量，列出方程即可解答；
【小问1详解】
解：设每次降价的百分率为a，则两次降价后的百分率为，
或（舍去），
答：每次下降的百分率为；
【小问2详解】
解：设每千克涨价x元，
依题意得：
解得：，，
要尽快减少库存，
则，
x
…
0
3
5
…
y
…
0
…