河北省石家庄一中2024-2025学年高一上学期期中数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省石家庄一中2024-2025学年高一上学期期中数学试题（解析版）-A4，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项对是符合题目要求的．
1. 已知集合，若，则实数（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系可得或（舍去），解出，由集合的互异性检验即可得出答案.
【详解】因为，，
所以或（舍去），
则．即
故选：B．
2. 已知函数则 （ ）
A. 0B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数解析式求值即可.
【详解】因为函数，
所以，
故选：A
3. 已知，则下列选项一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取特殊值可判断ABC，利用函数的单调性判断D.
【详解】取，显然不成立，故A错误；
取，，故B错误；
取，则，故C错误；
由幂函数为奇函数，且在上单调递增知，函数在上单调递增，
所以由，故D正确.
故选：D
4. 若为奇函数，则的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合，列出方程，即可求得的值.
【详解】由函数为奇函数，可得，
可得，解得，
经检验，当时，，
满足，符合题意，所以.
故选：D.
5. 已知函数的定义域为0,2，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复合函数的定义域的性质进行求解即可.
【详解】因为函数fx的定义域为，所以满足，即，
又函数有意义，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C
6. “”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解一元二次不等式，再由充分、必要条件的概念求解.
【详解】因为或，
又或，但或不能推出，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
7. 已知函数的值域为，那么a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解析式得出在上有，由题意可得，然后求解即可.
【详解】当时，单调递增，所以在上有，
所以要使函数值域为，
则需，解得.
故选：C
8. 已知正实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程，可分别看作两函数图象交点的横坐标，作出图象，数形结合得解.
【详解】由可把看作函数与函数在0,+∞上交点的横坐标，
同理，可看作函数与在0,+∞上交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中，作，，的图象，

由图象可知，
故选：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设函数，则（ ）
A. 是奇函数B. 是偶函数
C. 在上单调递减D. 在上单调递减
【答案】AC
【解析】
【分析】求出函数定义域，利用奇偶函数定义判断AB；判断指定区间上的单调性判断CD.
【详解】函数的定义域为R，
，则是奇函数，不是偶函数，A正确，B错误；
对于C，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，因此在上单调递减，C正确；
对于D，当时，在上单调递增，D错误.
故选：AC
10. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 的最小值是2
B. “方程有一正一负根”的充要条件是“”
C. 不等式的解集为
D. 命题“”否定为“”
【答案】BD
【解析】
【分析】分和两种情况结合基本不等式即可判断A选项；方程有一正一负根的充要条件是，
解该不等式即可判断B选项；原不等式可化为，由分式不等式的方法求解可以判断C选项；由全称量词命题的否定可以判断D选项.
【详解】对于A，当时， ，当且仅当时取等号；
当时，有，当且仅当时取等号，
所以只有当时，的最小值才是2，故A错误；
对于B，方程有一正一负根的充要条件是，
解得，故B正确；
对于C，不等式等价于，即，即，
即为，解得，所以原不等式的解集为，故C错误；
对于D，“”的否定为“”故D正确.
故选：BD
11. 若（其中为整数，），则把整数叫做离实数最近的整数，并用符号“”表示“离实数最近的整数为”设函数，下列结论正确的为（ ）
A. B. 函数为偶函数且其值域为
C. D. 是函数图象的一条对称轴
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A、C选项根据定义计算即可；对于B.通过函数解析式看以看出代表的含义是在数轴上实数与离实数最近的整数的距离；对于D，证明，即可证明是函数对称轴.
【详解】对于A：由题可知，所以，；
又，所以，故A错误；
对于B：的定义域为，
若时，又，
则，所以，则，
若时，又，
则，此时，则，
若，即，则，又，
则，此时，则，
综上可得，所以为偶函数，
又代表的含义是在数轴上实数与离实数最近的整数的距离，
又，所以，所以，所以的值域为，故B 正确；
对于C：，得，
，得，，
即，故C正确；
对于D：当时，，
所以函数图象的对称轴方程为，
即是函数图象的一条对称轴，故D正确.
故选：BCD
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12. 若，，则__.
【答案】
【解析】
【分析】
利用指数及指数幂的运算律求解.
【详解】，，
.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查指数及指数幂的运算，属于基础题.
13. 已知定义在上的函数在上单调递增，且函数为奇函数，则的解集为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先判断出在单调递增，利用单调性解不等式.
【详解】函数为奇函数，又在上单调递增，
在单调递增，
从而可化为：，
，原不等式的解集为.
故答案为：.
14. 设表示，，中最大的数，设，且，则的最小值为__________．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质求解.
详解】令其中，
所以，
因为，则，即，
，
则,故,则，
当且仅当且时等号成立，
如取时可满足等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）化简
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用分数指数幂的运算计算即得；
（2）利用指数运算法则化简即得.
【详解】（1）；
（2）由平方，得，即，
由平方，得，即，
∴.
16. 已知全集，集合，集合，集合．
（1）求，
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）或，
（2）或
【解析】
【分析】（1）先解不等式得出集合、，再由集合的运算可得结果；
（2）因为，所以，分和两种情况求解即可.
【小问1详解】
根据题意：集合，
集合或
或，
【小问2详解】
因为，所以，
若，则
若，则，得时，可得，
实数的取值范围为或 .
17. 已知运货卡车以的速度匀速行驶了，按交通法规限制 （单位：km/h），假设汽油的价格是7元/L，而运货卡车每小时耗油，司机的工资是每小时14元．
（1）求这次行车总费用关于的表达式；
（2）当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）求出行车所用时间，列出总费用表达式，从而求解；
（2）根据（1）中的表达式并结合基本不等式，从而求解.
【小问1详解】
行车所用时间为，
根据汽油的价格是每升7元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元，
可得行车总费用：．
【小问2详解】
由（1）
当且仅当即取得最小值.
18. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，是图象过点的指数函数，且．
（1）求，的解析式；
（2）用单调性的定义证明是上的增函数；
（3）设函数的最小值为．求的表达式，并求出的最大值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性得到关系式，结合题干中的条件，解出函数的解析式；
（2）利用单调性的定义证明即可；
（3）求出函数的解析式，结合换元法及二次函数的性质，分类讨论求解最小值，得出，再根据分段函数求最大值.
【小问1详解】
由题意，设，则，解得，
所以，
定义在R上的奇函数hx和偶函数，则，
∵①，
∴，即②，
联立①②解得: ，
【小问2详解】
hx在上单调递增，证明如下:
设，且，
，
，，
，即，
在上是单调递增.
【小问3详解】
，
令，可知时单调递增，则，
，
令，
当，即时，在时单调递增，则；
当，即时，在时单调递减，在时单调递增，则；
当，即时，在时单调递减，则；
综上，
所以当时，，当时，，
当时，，
综上，的最大值为2.
19. 已知集合A为非空数集.定义：
（1）若集合，直接写出集合S，T；
（2）若集合且．求证：；
（3）若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值.
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）1350.
【解析】
【分析】（1）根据新定义直接求出；
（2）首先根据定义得出，然后由，得出结论，再验证也是中元素即得；
（3）设满足题意，其中利用最大的和最小的构造也中至少含有的元素，以及中至多含有的元素，得，然后由利用，得，再由中最小的元素0与最大的元素得到，然后构造一个集合，由得出的范围，求得中元素个数可以为1350，从而得出结论．
【小问1详解】
由已知，则，；
【小问2详解】
由于集合且，
所以T中也只包含四个元素，因为
即且，即，
又，
所以，从而，
此时满足题意，所以；
【小问3详解】
设满足题意，其中，
2，
，
∵，∴，
又中最小的元素为0，最大的元素为，
则
设，，
则，
因为，可得，即，
故m的最小值为675，于是当时，A中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350.
【点睛】方法点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是对新定义的理解，第（3）小题较难，解题方法首先是对集合中元素进行排序，即设满足题意，其中，利用集合中的最大元素和最小元素确定的最小值，的最小值，确定的范围，然后构造出一个集合，使得能取得范围内的最大值．