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中考数学一轮复习考点题型训练专题07 一元一次方程(2份,原卷版+解析版)
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知识回顾
方程的概念:
含有未知数的等式叫做方程。
一元一次方程的概念:
只含有一个未知数,且未知数次数是1的整式方程是一元一次方程。一般形式为:。
必须同时满足三个条件:
①只含有一个未知数。
②未知数的次数是1。
③是整式方程。
方程的解与一元一次方程的解:
是方程(一元一次方程)左右两边成立的未知数的值叫做方程(一元一次方程)的解。
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1.(2022•贵阳)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中,该书的第八章名为“方程”.如:从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x,y的系数与相应的常数项,即可表示方程x+4y=23,则表示的方程是 x+2y=32 .
【分析】认真审题,读懂图中的意思,仿照图写出答案.
【解答】解:根据题知:从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x,y的系数与相应的常数项,
一个竖线表示一个,一条横线表示一十,
所以该图表示的方程是:x+2y=32.
考点二:一元一次方程之等式的性质
知识回顾
等式的性质:
性质1:等式的左右两边同时加上(减去)同一个数(或式子),等式仍然成立。
即:
性质2:等式的两边同时乘上(或除以)同一个(不为0的)数,等式仍然成立。
即:。
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2.(2022•青海)根据等式的性质,下列各式变形正确的是( )
A.若则a=bB.若ac=b c,则a=b
C.若a2=b2,则a=bD.若﹣x=6,则x=﹣2
【分析】根据等式的性质,进行计算逐一判断即可解答.
【解答】解:A、若=,则a=b,故A符合题意;
B、若ac=bc(c≠0),则a=b,故B不符合题意;
C、若a2=b2,则a=±b,故C不符合题意;
D、﹣x=6,则x=﹣18,故D不符合题意;
故选:A.
3.(2022•滨州)在物理学中,导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系:I=,去分母得IR=U,那么其变形的依据是( )
A.等式的性质1B.等式的性质2
C.分式的基本性质D.不等式的性质2
【分析】根据等式的性质,对原式进行分析即可.
【解答】解:将等式I=,去分母得IR=U,实质上是在等式的两边同时乘R,用到的是等式的基本性质2.
故选:B.
考点三:一元一次方程之解一元一次方程
知识回顾
解一元一次方程的步骤:
①去分母——等式左右两边同时乘分母的最小公倍数。
②去括号。注意括号前的符号,是否需要变号。
③移项——含有未知数的项移到等号左边,常数移到等号右边。移动的项一定要变符号。
④合并——利用合并同类项的方法合并。
⑤系数化为1——等式左右两边同时除以系数(或乘上系数的倒数)
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4.(2022•黔西南州)小明解方程的步骤如下:
解:方程两边同乘6,得3(x+1)﹣1=2(x﹣2)①
去括号,得3x+3﹣1=2x﹣2②
移项,得3x﹣2x=﹣2﹣3+1③
合并同类项,得x=﹣4④
以上解题步骤中,开始出错的一步是( )
A.①B.②C.③D.④
【分析】对题目的解题过程逐步分析,即可找出出错的步骤.
【解答】解:方程两边同乘6应为:3(x+1)﹣6=2(x﹣2),
∴出错的步骤为:①,
故选:A.
5.(2022•百色)方程3x=2x+7的解是( )
A.x=4B.x=﹣4C.x=7D.x=﹣7
【分析】方程移项合并,即可求出解.
【解答】解:移项得:3x﹣2x=7,
合并同类项得:x=7.
故选:C.
6.(2022•海南)若代数式x+1的值为6,则x等于( )
A.5B.﹣5C.7D.﹣7
【分析】根据题意可得,x+1=6,解一元一次方程即可得出答案.
【解答】解:根据题意可得,
x+1=6,
解得:x=5.
故选:A.
7.(2022•威海)按照如图所示的程序计算,若输出y的值是2,则输入x的值是 .
【分析】不知x的正负,因此需要分类讨论,分别求解.
【解答】解:当x>0时,+1=2,
解并检验得x=1.
当x≤0时,2x﹣1=2,
解得x=1.5,
∵1.5>0,舍去.
所以x=1.
故答案为:x=1.
考点四:一元一次方程之实际应用
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列方程解实际应用题的步骤:
①审题——仔细审题,找出题目中的等量关系。
②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。
③列方程:根据等量关系与未知数列出一元一次方程。
④解方程——按照解方程的步骤解一元一次方程。
④答——检验方程的解是否满足实际情况,然后作答。
常见的基本等量关系:
①行程问题基本等量关系:
路程=时间×速度;时间=路程÷速度;速度=路程÷时间。
顺行:顺行速度=自身速度+风速(水速);逆行速度=自身速度-风速(水速)
②工程问题:
工作总量=工作时间×工作效率。
③配谈问题:
实际生产比=配套比。
④商品销售问题:
利润=售价-成本;售价=标价×0.1折扣;利润率=利润÷进价×100%
⑤图形的周长,面积,体积问题。
常见的建立方程的方法:
①基本等量关系建立方程。
②同一个量的两种不同表达式相等。
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8.(2022•六盘水)我国“DF﹣41型”导弹俗称“东风快递”,速度可达到26马赫(1马赫=340米/秒),则“DF﹣41型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标?设飞行x分钟能打击到目标,可以得到方程( )
A.26×340×60x=12000B.26×340x=12000
C.D.
【分析】根据速度×时间=路程列方程,时间单位换算成分,路程单位换算成公里即可得出答案.
【解答】解:根据题意得:=12000,
故选:D.
9.(2022•西宁)在数学活动课上,兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验.如图所示,在轻质木杆O处用一根细线悬挂,左端A处挂一重物,右端B处挂钩码,每个钩码质量是50g.若OA=20cm,OB=40cm,挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡.设重物的质量为xg,根据题意列方程得( )
A.20x=40×50×3B.40x=20×50×3
C.3×20x=40×50D.3×40x=20×50
【分析】利用重物的质量×OA的长度=3个钩码的质量×OB的长度,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.
【解答】解:依题意得:20x=40×50×3.
故选:A.
10.(2022•营口)我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一,书中记载一道问题:“良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何追及之?”题意是:快马每天走240里,慢马每天走150里,慢马先走12天,试问快马几天可以追上慢马?若设快马x天可以追上慢马,则下列方程正确的是( )
A.240x+150x=150×12B.240x﹣150x=240×12
C.240x+150x=240×12D.240x﹣150x=150×12
【分析】利用路程=速度×时间,结合x天快马比慢马多走的路程为慢马12天走的路程,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.
【解答】解:依题意得:240x﹣150x=150×12.
故选:D.
11.(2022•十堰)我国古代数学名著《张邱建算经》中记载:“今有清酒一斗直粟十斗,醑酒一斗直粟三斗.今持粟三斛,得酒五斗,问清、醑酒各几何?”意思是:现在一斗清酒价值10斗谷子,一斗醑酒价值3斗谷子,现在拿30斗谷子,共换了5斗酒,问清、醑酒各几斗?如果设清酒x斗,那么可列方程为( )
A.10x+3(5﹣x)=30B.3x+10(5﹣x)=30
C.D.
【分析】根据共换了5斗酒,其中清酒x斗,则可得到醑酒(5﹣x)斗,再根据拿30斗谷子,共换了5斗酒,即可列出相应的方程.
【解答】解:设清酒x斗,则醑酒(5﹣x)斗,
由题意可得:10x+3(5﹣x)=30,
故选:A.
12.(2022•随州)我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载:“良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日,问良马几何追及之.”意思是:“跑得快的马每天走240里,跑得慢的马每天走150里,慢马先走12天,快马几天可以追上慢马?”若设快马x天可以追上慢马,则可列方程为( )
A.150(12+x)=240xB.240(12+x)=150x
C.150(x﹣12)=240xD.240(x﹣12)=150x
【分析】设快马x天可以追上慢马,根据路程=速度×时间,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.
【解答】解:设快马x天可以追上慢马,
依题意,得:150(x+12)=240x.
故选:A.
13.(2022•苏州)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术,其中方程术是其最高的代数成就.《九章算术》中有这样一个问题:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.今不善行者先行一百步,善行者追之,问几何步及之?”译文:“相同时间内,走路快的人走100步,走路慢的人只走60步.若走路慢的人先走100步,走路快的人要走多少步才能追上?(注:步为长度单位)”设走路快的人要走x步才能追上,根据题意可列出的方程是( )
A.x=100﹣xB.x=100+x
C.x=100+xD.x=100﹣x
【分析】设走路快的人要走x步才能追上,由走路快的人走x步所用时间内比走路慢的人多行100步,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.
【解答】解:设走路快的人要走x步才能追上,则走路慢的人走×60,
依题意,得:×60+100=x.
故选:B.
14.(2022•甘肃)《九章算术》是中国古代的一部数学专著,其中记载了一道有趣的题:“今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海.今凫雁俱起,问何日相逢?”大意是:今有野鸭从南海起飞,7天到北海;大雁从北海起飞,9天到南海.现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞,问经过多少天相遇?设经过x天相遇,根据题意可列方程为( )
A.()x=1B.()x=1C.(9﹣7)x=1D.(9+7)x=1
【分析】设总路程为1,野鸭每天飞,大雁每天飞,当相遇的时候,根据野鸭的路程+大雁的路程=总路程即可得出答案.
【解答】解:设经过x天相遇,
根据题意得:x+x=1,
∴(+)x=1,
故选:A.
15.(2022•南充)《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何.”设鸡有x只,可列方程为( )
A.4x+2(94﹣x)=35B.4x+2(35﹣x)=94
C.2x+4(94﹣x)=35D.2x+4(35﹣x)=94
【分析】由上有三十五头且鸡有x只,可得出兔有(35﹣x)只,利用足的数量=2×鸡的只数+4×兔的只数,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.
【解答】解:∵上有三十五头,且鸡有x只,
∴兔有(35﹣x)只.
依题意得:2x+4(35﹣x)=94.
故选:D.
16.(2022•南通)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,余三.问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,多余3钱.问人数、羊价各是多少?若设人数为x,则可列方程为 .
【分析】根据购买羊的总钱数不变得出方程即可.
【解答】解:若设人数为x,则可列方程为:5x+45=7x﹣3.
故答案为:5x+45=7x﹣3.
17.(2022•大连)我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题:“今有共买豕,人出一百,盈一百;人出九十,适足.”其大意是:“今有人合伙买猪,每人出100钱,则会多出100钱;每人出90钱,恰好合适.”若设共有x人,根据题意,可列方程为 .
【分析】先根据每人出90钱,恰好合适,用x表示出猪价,再根据“每人出100钱,则会多出100钱”,即可得出关于x的一元一次方程,即可得出结论.
【解答】解:∵每人出90钱,恰好合适,
∴猪价为90x钱,
根据题意,可列方程为100x﹣90x=100.
故答案为:100x﹣90x=100.
18.(2022•铜仁市)为了增强学生的安全防范意识,某校初三(1)班班委举行了一次安全知识抢答赛,抢答题一共20个,记分规则如下:每答对一个得5分,每答错或不答一个扣1分.小红一共得70分,则小红答对的个数为( )
A.14B.15C.16D.17
【分析】设小红答对的个数为x个,根据抢答题一共20个,记分规则如下:每答对一个得(5分),每答错或不答一个扣(1分),列出方程求解即可.
【解答】解:设小红答对的个数为x个,
由题意得5x﹣(20﹣x)=70,
解得x=15,
故选:B.
19.(2022•台湾)某鞋店正举办开学特惠活动,如图为活动说明.
小彻打算在该店同时购买一双球鞋及一双皮鞋,且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券.若小彻计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差50元,则下列叙述何者正确?( )
A.使用折价券的花费较少,且两双鞋的定价相差100元
B.使用折价券的花费较少,且两双鞋的定价相差250元
C.参加特惠活动的花费较少,且两双鞋的定价相差100元
D.参加特惠活动的花费较少,且两双鞋的定价相差250元
【分析】设两双鞋子的价格分别为x,y(x<y),则特惠活动花费0.6x+y,使用折价券花费0.8(x+y),由0.6x+y﹣0.8(x+y)=﹣0.2x+0.2y=0.2(y﹣x)>0可得使用折价券的花费较少,由0.2(y﹣x)=50可得y﹣x=250,即两双鞋定价相差250元,即可求解.
【解答】解:设两双鞋子的价格分别为x,y(x<y),
∴特惠活动花费:0.6x+y,使用折价券花费:0.8(x+y),
∵0.6x+y﹣0.8(x+y)
=﹣0.2x+0.2y
=0.2(y﹣x)>0,
∴使用折价券的花费较少,
∵0.2(y﹣x)=50,
∴y﹣x=250,
∴两双鞋定价相差250元,
故选:B.
20.(2022•台湾)根据如图中两人的对话纪录,求出哥哥买游戏机的预算为多少元?( )
A.3800B.4800C.5800D.6800
【分析】设哥哥买游戏机的预算为x元,根据题意列出一元一次方程,解方程,即可得出答案.
【解答】解:设哥哥买游戏机的预算为x元,
由题意得:(x+1200)×0.8=x﹣200,
解得:x=5800,
故选:C.
21.(2022•岳阳)我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题,原文如下:今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽,问:城中家几何?大意为:今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完,问:城中有多少户人家?在这个问题中,城中人家的户数为( )
A.25B.75C.81D.90
【分析】设城中有x户人家,利用鹿的数量=城中人家户数+×城中人家户数,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:设城中有x户人家,
依题意得:x+x=100,
解得:x=75,
∴城中有75户人家.
故选:B.
22.(2022•河北)“曹冲称象”是流传很广的故事,如图.按照他的方法:先将象牵到大船上,并在船侧面标记水位,再将象牵出.然后往船上抬入20块等重的条形石,并在船上留3个搬运工,这时水位恰好到达标记位置,如果再抬入1块同样的条形石,船上只留1个搬运工,水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重均为120斤,设每块条形石的重量是x斤,则正确的是( )
A.依题意3×120=x﹣120
B.依题意20x+3×120=(20+1)x+120
C.该象的重量是5040斤
D.每块条形石的重量是260斤
【分析】利用题意找出等量关系,将等量关系中的量用已知数和未知数的代数式替换即可得出结论.
【解答】解:由题意得出等量关系为:
20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和=21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重,
∵已知搬运工体重均为120斤,设每块条形石的重量是x斤,
∴20x+3×120=(20+1)x+120,
∴A选项不正确,B选项正确;
由题意:大象的体重为20×240+360=5160斤,
∴C选项不正确;
由题意可知:一块条形石的重量=2个搬运工的体重,
∴每块条形石的重量是240斤,
∴D选项不正确;
综上,正确的选项为:B.
故选:B.
23.(2022•牡丹江)某商品的进价为每件10元,若按标价打八折售出后,每件可获利2元,则该商品的标价为每件 元.
【分析】设该商品的标价为每件x元,根据八折出售可获利2元,可得出方程:80%x﹣10=2,再解答即可.
【解答】解:设该商品的标价为每件x元,
由题意得:80%x﹣10=2,
解得:x=15.
答:该商品的标价为每件15元.
故答案为:15.
24.(2022•长春)《算法统宗》是中国古代重要的数学著作,其中记载:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.其大意为:今有若干人住店,若每间住7人,则余下7人无房可住;若每间住9人,则余下一间无人住.设店中共有x间房,可求得x的值为 .
【分析】由等量关系“一房七客多七客,一房九客一房空”,即可列出一元一次方程求得.
【解答】解:依题意得:
7x+7=9(x﹣1),
解得:x=8,
故答案为:8.
25.(2022•百色)小韦同学周末的红色之旅,坐爸爸的车去百色起义纪念馆,从家里行驶7千米后,进入高速公路,在高速公路上保持匀速行驶,小韦记录高速公路上行驶的时间(t)和路程(s)数据如表,按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道,再行驶5千米到达纪念馆,则小韦家到纪念馆的路程是 千米.
【分析】可设小韦家到纪念馆的路程是x千米,根据高速路行驶速度不变的等量关系列出方程计算即可求解.
【解答】解:设小韦家到纪念馆的路程是x千米,依题意有:
=2,
解得x=212.
故小韦家到纪念馆的路程是212千米.
故答案为:212.
26.(2022•绥化)在长为2,宽为x(1<x<2)的矩形纸片上,从它的一侧,剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形(第一次操作);从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形(第二次操作);按此方式,如果第三次操作后,剩下的纸片恰为正方形,则x的值为 .
【分析】本题中的x与(2﹣x)不知那个大,因此需要分类讨论,从而列方程求解.
【解答】解:第一次操作后的两边长分别是x和(2﹣x),第二次操作后的两边长分别是(2x﹣2)和(2﹣x).
当2x﹣2>2﹣x时,有2x﹣2=2(2﹣x),解得x=1.5,
当2x﹣2<2﹣x时,有2(2x﹣2)=2﹣x,解得x=1.2.
故答案为:1.2或者1.5.
27.(2022•河北)如图,棋盘旁有甲、乙两个围棋盒.
(1)甲盒中都是黑子,共10个.乙盒中都是白子,共8个.嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒,使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍,则a= ;
(2)设甲盒中都是黑子,共m(m>2)个,乙盒中都是白子,共2m个.嘉嘉从甲盒拿出a(1<a<m)个黑子放入乙盒中,此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个;接下来,嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒,其中含有x(0<x<a)个白子,此时乙盒中有y个黑子,则的值为 .
【分析】(1)根据嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒,使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍,列出方程计算即可求解;
(2)根据题意可得乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多的个数,根据题意可以求出y=x,进一步求出的值.
【解答】解:(1)依题意有:a+8=2(10﹣a),
解得a=4.
故答案为:4;
(2)依题意有:2m+a﹣(m﹣a)=(m+2a)个,
y=a﹣(a﹣x)=a﹣a+x=x,
==1.
故答案为:(m+2a),1.
28.(2022•乐山)如果一个矩形内部能用一些正方形铺满,既不重叠,又无缝隙,就称它为“优美矩形”.如图所示,“优美矩形”ABCD的周长为26,则正方形d的边长为 .
【分析】设正方形b的边长为x,则正方形a的边长为2x,正方形c的边长为3x,正方形d的边长为5x,利用矩形的周长计算公式,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可求出x的值,再将其代入5x中即可求出结论.
【解答】解:设正方形b的边长为x,则正方形a的边长为2x,正方形c的边长为3x,正方形d的边长为5x,
依题意得:(3x+5x+5x)×2=26,
解得:x=1,
∴5x=5×1=5,
即正方形d的边长为5.
故答案为:5.
t(小时)
0.2
0.6
0.8
s(千米)
20
60
80
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