中考数学一轮复习考点题型归纳与分层训练专题06 一元一次方程（2份打包，原卷版+解析版）

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专题06 一元一次方程
【专题目录】
技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值
技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧
【题型】一、一元一次方程概念
【题型】二、一元一次方程的解法
【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题
【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题
【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题
【考纲要求】
1、了解等式、方程、一元一次方程的概念，掌握等式的基本性质．
2、掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程的解法．
3、会列方程(组)解决实际问题.
【考点总结】一、一元一次方程
整
式
方
程
一元一次方程
概念
只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程。其一般形式是ax+b=0(a,b为常数，且a≠0).
解法
解法依据是等式的基本性质.
性质①：若a=b，则a±m=b±m；
性质②：若a=b，则am=bm；若a=b，则(d≠0).
解法的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.
【注意】
一元一次方程的特征
1. 只含有一个未知数x
2. 未知数x的次数都是1
3. 等式两边都是整式，分母中不含未知数。
2．解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母；
(2)去括号；
(3)移项；
(4)合并同类项；
(5)未知数的系数化为1.
【技巧归纳】
技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值
【类型】一、利用一元一次方程的定义求字母系数的值
1．已知方程(m－2)x|m|－1＋16＝0是关于x的一元一次方程，求m的值及方程的解．
2．已知方程(3a＋2b)x2＋ax＋b＝0是关于x的一元一次方程，求方程的解．
3．已知(m2－1)x2－(m＋1)x＋8＝0是关于x的一元一次方程，求式子199(m＋x)(x－2m)＋9m＋17的值．
【类型】一、利用方程的解求字母系数的值
题型1：利用方程的解的定义求字母系数的值
4．关于x的方程a(x－a)＋b(x＋b)＝0有无穷多个解，则(　　)
A．a＋b＝0 　B．a－b＝0 　C．ab＝0 D.＝0
5．关于x的方程(2a＋b)x－1＝0无解，则ab是(　　)
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
6．已知关于x的方程9x－3＝kx＋14有整数解，那么满足条件的整数k＝__________．
7．已知x＝是方程6(2x＋m)＝3m＋2的解，求关于y的方程my＋2＝m(1－2y)的解．
8．当m取什么整数时，关于x的方程mx－＝的解是正整数？
题型2：利用两个方程同解或解具有已知倍数关系确定字母系数的值
9．如果方程－8＝－的解与关于x的方程2ax－(3a＋5)＝5x＋12a＋20的解相同，确定字母a的值．
题型3：利用方程的错解确定字母系数的值
10．小马虎解方程＝－1，去分母时，方程右边的－1忘记乘6，其他步骤都正确，这时方程的解为x＝2，试求a的值，并正确解方程．
参考答案
1．解：由题意，得所以m＝－2.
将m＝－2代入原方程，得－4x＋16＝0，解得x＝4.
2.解：由题意，得
所以3a＝－2b，即a＝－b.
当3a＋2b＝0时，原方程可化为ax＋b＝0，则x＝－.
将a＝－b代入方程的解中，得x＝－＝.
3．解：由题意，得所以m＝1.
当m＝1时，原方程可化为－2x＋8＝0，解得x＝4.
当m＝1，x＝4时，199(m＋x)(x－2m)＋9m＋17＝199×5×2＋9×1＋17＝2 016.
4．A　5.B　6.8，－8，10或26
7．解：将x＝代入方程6(2x＋m)＝3m＋2，
得6＝3m＋2，解得m＝－.
将m＝－代入方程my＋2＝m(1－2y)，
得－y＋2＝－(1－2y)，解得y＝.
点拨：已知一元一次方程的解，确定关于某一个未知数的方程中另外一个字母的值，只需把未知数的值(方程的解)代入原方程，即可得出含另一个字母的方程，通过求解确定另一个字母的值，从而进行关于其他字母的计算．
8．解：原方程可化为mx－＝x－，
所以(m－1)x＝1，所以(m－1)x＝2.
因为x必须为正整数且m为整数，故m－1＝1或2.

当m－1＝1，即m＝2时，x＝2；
当m－1＝2，即m＝3时，x＝1.
所以当m＝2或3时，方程的解为正整数．
9．解：－8＝－，
去分母，得2(x－4)－48＝－3(x＋2)．
去括号、移项、合并同类项，得5x＝50.系数化为1，得x＝10.
把x＝10代入方程2ax－(3a＋5)＝5x＋12a＋20，
得2a×10－(3a＋5)＝5×10＋12a＋20，
去括号、移项，得20a－3a－12a＝5＋50＋20.
合并同类项，得5a＝75，系数化为1，得a＝15.
10．解：由题意得4x－2＝3x＋3a－1，
移项、合并同类项，得x＝3a＋1.
因为x＝2，所以2＝3a＋1，则a＝.
当a＝时，原方程为＝－1，解得x＝－3.
技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧
【类型】一、分子、分母含小数的一元一次方程
题型1：巧化分母为1
1．解方程：－＝.
2．解方程：－＝－10.
题型2：巧化同分母
3．解方程：－＝1.
题型3：巧约分去分母
4．解方程：－6.5＝－7.5.
【类型】二、分子、分母为整数的一元一次方程
题型1：巧用拆分法
5．解方程：－＝.
6．解方程：＋＋＋＝1.
题型2：巧用对消法
7．解方程：＋＝3－.
题型3：巧通分
8．解方程：－＝－.
【类型】三、含括号的一元一次方程
题型1：利用倒数关系去括号
9．解方程：－x＝2.
题型2：整体合并去括号
10．解方程：x－＝(x－9)．
题型3：整体合并去分母
11．解方程：(x－5)＝3－(x－5)．
题型4：不去括号反而添括号
12．解方程：＝(x－1)．
题型5：由外向内去括号
13．解方程：＋2＝0.
题型6：由内向外去括号
14．解方程：2＝x.
参考答案
1．解：去分母，得2(4x－1.6)－5(3x－5.4)＝10(1.8－x)．
去括号、移项、合并同类项，得3x＝－5.8.
系数化为1，得x＝－.
点拨：本题将各分数分母化为整数1，从而巧妙地去掉了分母，给解题带来了方便 .
2．解：去分母、去括号，得8x＋4－2x＋4＝－10.
移项、合并同类项，得6x＝－18.
系数化为1，得x＝－3.
点拨：由0.25×4＝1，0.5×2＝1，可巧妙地将分母化为整数1.
3．解：化为同分母，得－＝.
去分母，得0.1x－0.16＋0.5x＝0.06.
解得x＝.
4．解：原方程可化为＋1＝.
去分母，得4－6x＋0.01＝0.01－x.
解得x＝.
点拨：本题将第二个分数通过约分处理后，使两个分数的分母相同，便于去分母．
5．解：拆项，得－－＋＝2－.
移项、合并同类项，得＝2.
系数化为1，得x＝4.
点拨：方程通过拆项处理后，便于合并同类项，使复杂方程简单化．
6．解：拆项，得＋＋＋＝1.
整理得x－＝1.解得x＝.
点拨：因为＝x－，＝－，＝－，＝－，所以把方程的左边每一项拆项分解后再合并就很简便 .
7．解：原方程可化为＋＝＋，
即＝.所以x＝.
点拨：此题不要急于去分母，通过观察发现－＝，两边消去这一项可避免去分母运算．
8．解：方程两边分别通分后相加，得＝.
化简，得＝.
解得x＝－.
点拨：本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．
9．解：去括号，得－1－3－x＝2.
移项、合并同类项，得－x＝6.
系数化为1，得x＝－8.
点拨：观察方程特点，由于与互为倒数，因此让乘以括号内的每一项，则可先去中括号，同时又去小括号，非常简便．
10．解：原方程可化为x－x＋(x－9)－(x－9)＝0.
合并同类项，得x＝0.
系数化为1，得x＝0.
11．解：移项，得(x－5)＋(x－5)＝3.
合并同类项，得x－5＝3.
解得x＝8.
点拨：本题将x－5看成一个整体，通过移项、合并同类项进行解答，这样避免了去分母，给解题带来简便．
12．解：原方程可化为[(x－1)＋1－(x－1)]＝(x－1)．
去中括号，得(x－1)＋－(x－1)＝(x－1)．
移项、合并同类项，得－(x－1)＝－.
解得x＝.
13．解：去中括号，得－2＋2＝0.[来源:学科网]
去小括号，得x－＝0.
移项，得x＝.
系数化为1，得x＝3.
14．解：去小括号，得2[x－x＋]＝x.
去中括号，得x＋1＝x.
移项，合并同类项，得x＝－1.
系数化为1，得x＝－.
【题型讲解】
【题型】一、一元一次方程概念
例1、关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【详解】
解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，
解得：a=3，m=2，
所以a+m=3+2=5，
故选：C．
【题型】二、一元一次方程的解法
例2、解一元一次方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．
【详解】解：方程两边都乘以6，得：3（x+1）＝6﹣2x，故选：D．
例3、解方程：
【答案】
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．
【详解】解：





【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题
例4、某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x名工人生产螺钉，依题意列方程为（　　）
A．1200x＝2000（22﹣x） B．1200x＝2×2000（22﹣x）
C．1200（22﹣x）＝2000x D．2×1200x＝2000（22﹣x）
【答案】D
【分析】首先根据题目中已经设出每天安排x个工人生产螺钉，则（22-x）个工人生产螺母，由1个螺钉需要配2个螺母，可知螺母的个数是螺钉个数的2倍，从而得出等量关系，就可以列出方程．
【详解】解：设每天安排x个工人生产螺钉，则（22-x）个工人生产螺母，利用一个螺钉配两个螺母．由题意得：2×1200x=2000（22-x），即2×1200x=2000（22-x），故选D．
【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题
例5、随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（　　）
A．180 B．170 C．160 D．150
【答案】A
【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x元，则售价为80%x元，根据等量关系：利润=售价﹣进价列出方程，解出即可．
【详解】解：设该超市该品牌粽子的标价为x元，则售价为80%x元，
由题意得：80%x﹣120=20%×120，
解得：x=180．
即该超市该品牌粽子的标价为180元．
故选：A．
【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题
例6、一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题得-1分，某同学做完了25道题，共得70分，那么他做对的题数是（ ）
A．17道 B．18道 C．19道 D．20道
【答案】C
【分析】设作对了x道，则错了（25-x）道，根据题意列出方程进行求解.
【详解】设作对了x道，则错了（25-x）道，依题意得4x-(25-x)=70，解得x=19
故选C.
一元一次方程（达标训练）
一、单选题
1．（2020·浙江·模拟预测）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可
【详解】解：①不含未知数，故错
②未知数的最高次数为2，故错
③含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对
④左边不是整式，故错
⑤不是等式，故错
⑥含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对
故选：B
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键
2．（2022·浙江温州·三模）解方程，以下去分母正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用等式的性质在分式方程两边分别乘 即可．
【详解】A，故此选项不符合题意．
B，故此选项不符合题意．
C，故此选项不符合题意．
D，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解分式方程去分母，根据等式的性质在分式方程两边分别乘以分母的最简公分母，熟练掌握等式的性质是解此题的关键．
3．（2022·重庆沙坪坝·一模）若关于x的方程的解是，则a的值为（    ）
A． B．9 C． D．1
【答案】D
【分析】把代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4．（2022·河北石家庄·二模）是下列哪个方程的解（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把x＝1代入各选项进行验算即可得解．
【详解】解：A、5−1＝4≠6，故本选项错误；
B、，，4≠6，故本选项错误；
C、当x=1时，x-1=0即分式的分母为0，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了方程的解的概念，使方程的左右两边相等的未知数的值是方程的解．
5．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）我国古代的洛书中记载了最早的三阶幻方九宫图．在如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则的值是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等列出方程，即可求解．
【详解】解：设幻方正中间的数字为，
依题意得：，
解得：．
故选A．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．

二、填空题
6．（2022·四川达州·二模）方程2x-3=5的解为________.
【答案】x=4
【分析】根据解一元一次方程的解法求解即可得．
【详解】解：2x-3=5，
移项得2x=8，
系数化为1得：x=4，
故答案为：x=4．
【点睛】题目主要考查解一元一次方程，熟练掌握方法是解题关键．
7．（2022·四川广元·二模）已知：A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且．若点C点在数轴上且满足，则C点对应的数为________．
【答案】8或20##20或8
【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：∵
∴a＋4＝0，b−12＝0
解得：a＝−4，b＝12
∴A表示的数是−4，B表示的数是12
设数轴上点C表示的数为c
∵AC＝3BC
∴|c＋4|＝3|c−12|
当点C在线段AB上时
则c＋4＝3（12−c）
解得：c＝8
当点C在AB的延长线上时
则c＋4＝3（c−12）
解得：c＝20
综上可知：C对应的数为8或20．
【点睛】本题考查了非负数的性质，方程的解法，数轴两点之间的距离，运用分类讨论思想方程思想和数形结合思想是解本题的关键．

三、解答题
8．（2022·四川广元·一模）解方程：．
【答案】
【分析】先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化“1”，从而可得答案.
【详解】解：去括号，得.
移项及合并同类项，得.
系数化为1，得.
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤”是解本题的关键.
9．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学二模）“小口罩，大温暖”，为有效防控疫情，缓解基层防疫物资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发．烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A，B两种不同款型，其中A型口罩单价100元，B型口罩单价80元．
(1)先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A，B两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元，求免费发放给该社区环卫工人的A型口罩和B型口罩各多少盒？
(2)我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开，按照试点发放中A，B两种款型的数量比共发放2000盒．若该社区人口平均每500人发放A型口罩m盒，B型口罩（）盒．求该街道社区人口总数．
【答案】(1)免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒
(2)该街道社区人口总数为50000人

【分析】（1）设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，根据题意，列出方程，即可求解；
（2）根据题意可得，从而得到m=12，即可求解．
(1)
解：设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，
依题意得：，解得：．
答：免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒．
(2)
解：依题意得：，
解得：m=12，
∴m+3m−28=20．
∴该街道社区人口总数=×500=50000（人）．
答：该街道社区人口总数为50000人．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．



一元一次方程（提升测评）
一、单选题
1．（2022·湖北十堰·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为x，则可列方程（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决．
【详解】解：设合伙人数为x，则可列方程为
；
故选：A
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
2．（2022·浙江温州·二模）若代数式的值为8，则代数式的值为（    ）
A．0 B．11 C． D．
【答案】C
【分析】由的值为8，求得x=0，再将x=0代入计算可得．
【详解】解：∵的值为8，
∴2x+2+3x+6=8，
∴x=0，
当x=0时，2×(-2)+3×(-1)=-7．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，代数式的求值，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．
3．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知，下列等式不成立的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等式的性质和合并同类项即可判断．
【详解】由，得，故A成立；
，故B成立；
根据等式的性质，等式两边同加或减一个等式，左右两边仍相等，
，故C成立；
，故D不成立；
故选D．
【点睛】本题考查了等式的性质和合并同类项，熟记运算法则是解题的关键．
4．（2022·河北保定·一模）已知分式：的某一项被污染，但化简的结果等于，被污染的项应为（    ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】设被污染的部分为p，然后根据等式的性质解关于p的方程，求出p的表达式即可．
【详解】解：设被污染的部分为p，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算和利用等式的性质解一元一次方程，解题的关键是根据等式的性质解方程和掌握分式混合运算顺序和运算法则．
5．（2022·重庆·三模）下列四种说法中正确的有（    ）
①关于x、y的方程存在整数解．
②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数．
③若，则．
④若，则．
A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【分析】将提公因式2得，由x、y为整数，则为偶数，因为107为奇数，即原等式不成立，即可判断①；将，整理得，即得出，由于实数a、b不相等，即得出a、b互为相反数，故可判断②；整理得，即得，即，故可判断③；由，得出，即可变形为，可以得出或，故可判断④．
【详解】解：∵，
∴如果x、y为整数，那么为偶数，
∵107为奇数，
∴不存在整数解，故①错误；




∴，
∵实数a、b不相等，
∴a、b互为相反数，故②正确；




∴，即，故③正确；
∵
∴，
∴，即，
∴，
∴或，故④不一定正确．
综上可知正确的有②③．
故选B．
【点睛】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键．

二、填空题
6．（2022·山东临沂·一模）如图，用一块长7.5cm、宽3cm的长方形纸板，和一块长6cm、宽1.5cm的长方形纸板，与一块小正方形纸板以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则小正方形的边长是______cm，拼成的大正方形的面积是______cm2．

【答案】     4.5     81
【分析】设小正方形的边长为xcm，然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小正方形的边长，然后求得大正方形的边长即可求得面积．
【详解】解：设小正方形的边长为xcm，则大正方形的边长为(6+7.5-x）cm或（x+3+1.5）cm，根据题意得：6+7.5-x=x+3+1.5，
解得：x=4.5，
则大正方形的边长为6+7.5-x=6+7.5-4.5=9(cm）,
大正方形的面积为92=81(cm2),
故答案为：4.5；81．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，设出小正方形的边长并表示出大正方形的边长．
7．（2022·上海静安·二模）方程的解是________．
【答案】x=1
【分析】首先方程两边同时平方，把无理方程化为有理方程，再解方程即可求得
【详解】解：方程两边同时平方，得3x-2=1，
解得x=1，
经检验，x=1是原方程的解，
所以，原方程的解为x=1．
故答案为：x=1．
【点睛】本题考查了无理方程的解法，熟练掌握和运用无理方程的解法是解决本题的关键，注意要检验．

三、解答题
8．（2022·河北·育华中学三模）如图，数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，已知b是最小的正整数，且a、c满足．

(1)①直接写出数a、c的值 ， ；
②求代数式的值；
(2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，求与点B重合的点表示的数；
(3)请在数轴上确定一点D，使得AD＝2BD，则D表示的数是 ．
【答案】(1)①-2，6；②64
(2)3
(3)4或0

【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性即可求出a和c，②把a和c的值代入求值即可；
（2）根据题意，求出b的值，然后求出线段AC的中点，即可求出结论；
（3）设点表示的数为，然后根据点D的位置分类讨论，分别根据列出方程即可分别求出结论．
（1）
解：
①∵，
∴，，
解得，．
故答案为：-2，6．
②把，代入，
；
（2）
解：∵b是最小的正整数，
∴，
∴线段AC的中点为，
设与点B重合的点表示的数为n，则(1+n)÷2=2，
解得：n=3．
∴与点B重合的点表示的数是3．
故答案为：3．
（3）
解：因为a=-2，b=1，c=6，设点表示的数为，若，分三种情况讨论：
①若点在点A的左侧，则x