贵州省贵阳市某校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题.（解析版）-A4

这是一份贵州省贵阳市某校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题.（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了不能使用科学计算器等内容，欢迎下载使用。
同学你好！答题前请认真阅读以下内容：
1．本卷为数学试卷，全卷共4页，三大题，25小题，满分150分，考试时间120分钟．考试形式闭卷．
2．答题前，务必将自己的姓名、座位号填写在答题卡上相应的位置．
3．答题时，必须使用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔，将答案填涂或书写在答题卡上相应位置，字体工整，笔迹清楚，在试卷上答题无效．
4．不能使用科学计算器．
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请在答题卡上相应位置填涂，每小题3分，共36分．
1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可．
【详解】解：A、是一元一次方程，不是关于x的一元二次方程，不符合题意；
B、中含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，不符合题意；
C、不是整式，不是关于x的一元二次方程，不符合题意；
D、是关于x的一元二次方程，符合题意，
故选：D．
2. 正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ）
A. 对角相等B. 邻边相等C. 对角线相等D. 对角线互相垂直
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形与菱形的性质，熟记正方形与菱形的性质定理是解题的关键．
根据正方形与菱形的性质逐项判定即可解答．
【详解】解：菱形和矩形的性质合在一起得到了正方形．
正方形具有而菱形不具有的性质即为矩形的特性，由矩形对角线相等满足条件．
故选：C．
3. 一元二次方程的一次项系数是（ ）
A. 5B. C. 2D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得一次项为，即可求解．
【详解】解：由题意可得：一次项为，其系数为
故选B
【点睛】此题考查了一元二次方程的有关概念，解题的关键是确定一次项，掌握单项式系数的概念，单项式中的数字因数为单项式的系数．
4. 对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是（ ）
A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 平行四边形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正方形的判定，掌握正方形判定定理是解题的关键．
【详解】对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是正方形，
故选A．
5. 下列方程中，没有实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，依次判断即可求解．
【详解】解：A、，其中，，，
，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、，其中，，，
∆=22-4×1×-15=64>0，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、，其中，，，
，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、，其中，，，
，
∴方程没有实数根，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练一元二次方程根的判别式是解题的关键．
6. 如图，将两条宽度相同的纸条相交成30°角叠放，重合部分构成四边形，已知，则原纸条的宽度为（ ）
A. 6B. 3C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点，证得四边形ABCD为菱形是解题的关键．
先可判断重叠部分为平行四边形，再由平行四边形的面积可得邻边相等，即重叠部分为菱形可得，然后由含角的直角三角形的性质即可解答．
【详解】解：如图：过点A作于E，于F，
∵两条纸条宽度相同，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∵，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴．
故选：B．
7. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义：是解题的关键．
先将方程整理为，再根据一元二次方程定义列不等式解答即可．
【详解】解：∵，
∴
∵是关于x的一元二次方程，
∴，则．
故选：D．
8. 如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）
A. 邻边相等的矩形是正方形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 两个全等的直角三角形构成正方形
D. 轴对称图形是正方形
【答案】A
【解析】
【分析】将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，可得到BA＝BF，折痕为BE，沿EF剪下，故四边形ABFE为矩形，且有一组邻边相等，故四边形ABFE为正方形．
【详解】解：∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，
∴BA＝BF，
∵折痕为BE，沿EF剪下，
∴四边形ABFE为矩形，
∴四边形ABEF为正方形．
故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的判定定理，关键是根据邻边相等的矩形是正方形和翻折变换解答．
9. 小星利用表格中的数据，估算一元二次方程的根，
由此可以确定，方程的一个根的大致范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间．
【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围．
10. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A. B. 5C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，直接求解即可．
【详解】解：由题意，得：；
故选B．
11. 如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点．若，，则线段的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，斜边上的中线，中位线定理求出的长，勾股定理求出的长，斜边上的中线求出线段的长即可．
【详解】解：∵O是矩形的对角线的中点，E是边的中点，
∴，，
∴，，
∴；
故选C．
12. 如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）
A. 1B. 1.3C. 1.2D. 1.5
【答案】C
【解析】
【分析】首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM=AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利用面积相等求出AP的长，即可得AM.
【详解】在△ABC中，因为AB2+AC2=BC2，
所以△ABC为直角三角形，∠A=90°，
又因为PE⊥AB，PF⊥AC，
故四边形AEPF为矩形，
因为M 为 EF 中点，
所以M 也是 AP中点，即AM=AP，
故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小，
由，可得AP=，
AM=AP=
故本题正确答案为C.
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键.
二、填空题：每小题4分，共16分．
13. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是_______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程进行求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
∴；
故答案为：0．
14. 如图，在一块长为22m、宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形一边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m2．若设道路宽为xm，则根据题意可列方程为_____．
【答案】（22-x）（17-x）=300．
【解析】
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【详解】设道路的宽应为x米，由题意有（22﹣x）（17﹣x）=300，
故答案为：（22﹣x）（17﹣x）=300．
15. 矩形的两条对角线将矩形分成4个三角形，它们的面积_______．（填“相等”或“不相等”）
【答案】相等
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积问题等知识点，掌握矩形的对角线互相平分与等底同高的三角形面积相等成为解题的关键．
如图：由四边形是矩形，根据矩形的对角线互相平分，即可得，则易证，即可得，又由与等底同高，可得，进而完成解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵与等底同高，
∴，
同理：，
∴．
∴矩形的两条对角线将矩形分成4个三角形的面积相等．
故答案为：相等．
16. 如图，在正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点G．过点A作，垂足为点M，交边于点N．若，，则线段的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．连接，，，先证明，得到，，证明为等腰直角三角形，从而可证明，设，则根据勾股定理列方程并求解，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：如图，连接，，，
四边形为正方形，
，，，
在和中，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，，
，
设，
，，
，
，，
在中，，
即，
解得，
，
，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴
故答案为：．
三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，本大题有9小题，共98分．
17. 解下列方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和公式法解一元二次方程成为解题的关键.
（1）直接运用因式分解法求解即可；
（2）先运用根的判别式确定根的情况，然后再运用公式法求解即可.
【小问1详解】
解：，
，
，
.
【小问2详解】
解：，
，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∴，
，.
18. 如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，，有下列条件：
①，②．
请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查矩形判定，选择①，根据，，得到四边形为平行四边形，再根据有一个角是90度的平行四边形是矩形，即可得证，选择②，根据，，得到四边形为平行四边形，再根据有一个角是90度的平行四边形是矩形，即可得证．
【详解】解：选择①：
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
选择②：
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
19 解方程时，小明同学解答过程如下：
第①步∵，，
第②步∴
第③步∴
第④步∴，．
小华同学发现解题过程中存在错误，请你指出错误的是第_______步；并写出正确的解题过程．
【答案】①，正确解答过程见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程-公式法、一元二次方程的一般形式等知识点，掌握运用公式法解一元二次方程成为解题的关键．
先把方程化成一般式，然后再按照公式法逐步判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，，即第①步发生错误；
∴，
第③步∴，
第④步∴，．
20. 已知：如图，在中，，是边的中点，，，垂足
分别是、．
求证：；
只添加一个条件，使四边形是正方形，并给出证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）添加
【解析】
【分析】(1)连接AD，已知AB=AC，D是的BC边的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD是∠BAC的角平分线，又因DE⊥AC，DF⊥AB，根据角平分线的性质定理即可证得DF=DE；（2）添加，再由，，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可以证明四边形AFDE为矩形，再由DF=DE，即可判定四边形EDFA是正方形．
【详解】连接AD，
∵，是的边的中点，
∴AD是的角平分线，
∵，，
∴；
添加，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质定理及正方形的判定，熟知性质及判定方法是解决本题的关键.
21. 关于x的一元二次方程
（1）当时，求这个方程的根；
（2）当k取何值时，方程有两个相等的实数根．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，根的判别式：
（1）将代入方程，因式分解法解方程即可；
（2）根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可．
【小问1详解】
解：当时，原方程化为：，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
22. 如图，是矩形的一条对角线，延长至点E，使得，延长至点F，使得，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质：
（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，即可得证；
（2）根据菱形的面积公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵矩形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
小问2详解】
∵矩形，，，
∴，
∴，
∴菱形的面积为．
23. 在2024年巴黎奥运会上，中国射击队员谢瑜以240.9环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．奥运冠军谢瑜的家乡在贵州省毕节市纳雍县，该县盛产辣椒，当地政府采用“公司合作社农户”利益链接模式，让群众增收，为乡村振兴注入新动能．某村民2022年种植辣椒100亩，该村民逐年扩大规模，到2024年种植面积达到169亩．
（1）求该村民这两年种植辣椒亩数的平均增长率．
（2）某村民经营辣椒销售店，经市场调查发现，当辣椒售价为10元/千克时，每天能售出200千克，售价每降低1元，每天可多售出50千克，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知辣椒的平均成本价为4元/千克，若使销售辣椒每天获利800元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）该村民这两年种植辣椒亩数的平均增长率为
（2）售价应降低4元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键：
（1）设该村民这两年种植辣椒亩数的平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可；
（2）设售价应降低元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，进行求解即可．
【小问1详解】
解：设该村民这两年种植辣椒亩数的平均增长率为，由题意，得：
，
解得：（舍去），
答：该村民这两年种植辣椒亩数的平均增长率为；
【小问2详解】
设售价应降低元，由题意，得：
，
解得：（舍去），
答：售价应降低4元．
24. 我校即将开展秋季运动会，为了展示同学们的美术和科技作品，现用长42米的绳子，靠墙围成如图所示的矩形展览区域，墙长为a米．（捆扎处绳子长度忽略不计）
（1）设边的长为x米，则边的长为________米，展览区（矩形）的面积为________；（用含x的代数式表示）
（2）当时，所围成的展览区总面积为144平方米，求的长；
（3）能否围成总面积为的展览区？请说明理由．
【答案】（1）,
（2）
（3）不能围成总面积为的展览区
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程与几何图形的应用、列代数式等知识点，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
（1）根据图形可表示出的长，再根据矩形面积公式表示出矩形面积即可；
（2）由围成总面积为144平方米以及代入（1）所得的展览区面积求出x的值，再检验，进而求得的长即可；
（3）根据围成总面积为的展览区列方程，判断方程解的情况即可解答．
【小问1详解】
解：根据题意得：,即，
∴矩形的面积为．
故答案为：,．
【小问2详解】
解：若，能围成展览区总面积144平方米,李依如下：
根据题意得：，解得或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意．
∴的长为．
【小问3详解】
解：不能围成总面积为的展览区，理由如下：
根据题意得：，整理得：，
∵，
∴方程无实数解，
∴不能围成总面积为的展览区．
25. 如图，已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和．
（1）【问题解决】
如图1，求证：；
（2）【拓展探究】
如图2，若正方形的边长为3，点E是边上的一个动点，连接，以为一边在的右侧作正方形，连接．
①若，求线段的长度．
②如图3，当点E在射线上运动时，直接写出的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由“”可证；
（2）①过点作，交延长线于点，，得出，，求出，根据勾股定理求出；②先证明点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为3，作点关于直线的对称点，连接，．在中，可得．根据求解即可．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，
；
【小问2详解】
解：①如图，过点作，交延长线于点，

∵，
∴，
由正方形的性质可得，，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②如图4中，过点过点作，交延长线于点，
同理可证明，
∴，

点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为3，
作点关于直线的对称点，连接，．
在中，，，，
，
同理可证明，
∴，
，，
，
，
，
的最小值为．
x
…
0
1.1
1.2
1.3
1.4
…
…
－2
－0.68
－0.32
0.08
0.52
…