（3）正方形的性质与判定—八年级数学北师大版暑假作业(含答案)

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1.正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
【注意】
（1）正方形必须具备三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角.这三个条件缺一不可.
（2）正方形的四条边都相等，说明正方形时特殊的菱形；正方形的各个角都是直角，说明正方形时特殊的矩形.即正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形.
2.正方形的性质
正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质.
3.正方形的判定
1.先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形.
2.先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形.
二、练习
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.四个角相等B.对角线互相垂直
C.对角互补D.对角线相等
2.如图，已知四边形是正方形，对角线，相交于点O，则图中与全等的三角形有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.下列说法不正确的是( )
A.矩形的对角线相等且互相平分B.菱形的对角线互相垂直平分
C.正方形的对角线相等且互相平分D.平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形
4.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，，F为DE的中点.若的周长为18，则OF的长为( )
A.3.5B.4C.5D.7
5.白老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使道具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了( )
A.B.C.D.
6.如图，在正方形中，点分别在边上，连接，若，且，则( )
A.B.C.D.
7.如图，正方形的顶点E，G和正方形的顶点J，H均落在长方形的边上，连结.若，且，，则长方形的面积是( )
A.56B.60C.D.61
8.如图，将正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA顺次延长至E，F，G，H，且使，则四边形EFGH是( )
A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形
9.如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是______.
10.如图，以正方形的边向内作等边，则______.
11.如图在正方形的外侧作一个，已知，，那么等于_______.
12.如图，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且.求证：.
13.如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意点，于点E，于点F.
（1）判断的形状；
（2）求证：；
（3）线段CD与AB满足什么数量关系时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：根据正方形和矩形的性质对比分析：
①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻边不相等；
②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角；
③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个特征；
故选：B.
2.答案：C
解析：四边形是正方形，
，，
，
与全等的三角形有3个.
故选C.
3.答案：D
解析：选项，“矩形的对角线相等且互相平分”正确，不符合题意，选项错误；
选项，“菱形的对角线互相垂直平分”正确，不符合题意，选项错误；
选项，“正方形的对角线相等且互相平分”正确，不符合题意，选项错误；
选项，平行四边形不是轴对称图形，“矩形、菱形、正方形都是轴对称图形”不正确，符合题意，选项正确.
故选：.
4.答案：A
解析：∵四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
，，
，即，
，
，
，
，，
BE==3.5，
故选：A.
5.答案：C
解析：过C作于M，
四边形是正方形，正方形道具边长为，
，，
四边形是菱形，
，，
，
四边形的面积减少了，
故选C.
6.答案：D
解析：过A作交于N，交于M，
，
∵正方形，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D.
7.答案：C
解析：如图，过I作于，M，过F作于T，两线交于点Q，
，设，正方形和正方形，
，，，，，
，
，即，
长方形的面积为：
；
故选：C.
8.答案：D
解析：四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
，
即，
在和中，
，
，，
，，
，即，
易证得，
，
四边形EFGH是菱形，
又，四边形EFGH是正方形.故选D.
9.答案：1.25
解析：连接，，
正方形的边长分别为3和2，
面积分别为9和4，
正方形和正方形的对称中心都是点，
.
故答案为：1.25.
10.答案：75°
解析：∵四边形是正方形，
∴，.
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
11.答案：
解析：中，，，
，
，
又四边形是正方形，
，，
，且，
，
故答案为：.
12.答案：见解析
解析：四边形是正方形，
，.
.
在和中，
，
，
.
13.答案：（1）是等腰三角形
（2）见解析
（3）当时，四边形CEDF为正方形
解析：（1）证明：垂直平分线AB，
.
是等腰三角形，
（2），
.
，，
，
，
在与中，，
，
；
（2）当时，四边形CEDF为正方形.理由如下：
，
，
，
，
，
，
四边形ECFD是矩形，
，
四边形ECFD是正方形.
元素
性质
边
对边平行，四条边都相等
角
四个角都是直角
对角线
两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角