北京市丰台区2023_2024学年高二数学上学期期中试题B卷

这是一份北京市丰台区2023_2024学年高二数学上学期期中试题B卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 直线倾斜角为（）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，且，则（）
A. B. C. D.
3. 已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线方程为（）
A. B.
CD.
5. 圆截轴所得弦的长度为（）
AB. C. D.
6. 若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
7. 如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（）
A
B.
C.
D.
8. 已知直线：，：，若，则实数（）
A. B. C. 或D. 或
9. 已知平面，其中点，向量，则下列各点中在平面内的是（）
A. B.
C. D.
10. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）. 数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 如图，已知一个正八面体的棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为（）

A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.
11. 以为圆心，半径为2的圆的标准方程为_________.
12. 已知点，，，则______.
13. 已知直线经过点，且斜率为，则直线的一个方向向量为______.
14. 已知点为圆上一点，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为______.
15. 在长方体中，，，点是棱上的动点，给出下列4个结论：
①；
②；
③若为中点，则点到直线的距离为；
④存在点，使得平面．
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
17. 已知向量，，.
（1）若，求实数的值；
（2）求；
（3）若，，不能构成空间向量的一个基底，求实数的值.
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，是棱的中点.
（1）求证：//平面；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.
条件①：平面平面；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
19. 已知圆：.
（1）求圆的圆心坐标以及半径；
（2）求经过点的圆的切线方程；
（3）若圆与圆：有公共点，求实数的取值范围.
20. 赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求这座圆拱桥的拱圆的方程；
（2）若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.
21. 如图，在直三棱柱中，，，．，分别为棱，的中点，与交于点．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求直线到平面的距离；
（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
丰台区2023-2024学年度第一学期期中练习
高二数学（B卷）练习
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据倾斜角与斜率的关系即可.
【详解】直线的斜率为，
设其倾斜角为，则，
又，故其倾斜角为.
故选：B
2. 已知向量，，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的共线定理即可求解.
【详解】因为向量，，且，
所以，即，
可得，解得，
所以.
故选：C.
3. 已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用点在坐标平面内的射影坐标运算即可得解.
【详解】解：∵点是点在坐标平面内的射影，
∴点坐标为，
故选：A.
4. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把两直线的垂直关系转化为斜率的关系即可判断.
【详解】已知直线的斜率
所以垂直直线的斜率为
而D项中的直线过点，且只有D中的直线的斜率为，
故选：D.
5. 圆截轴所得弦的长度为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用圆的弦长公式：，其中为圆心到弦所在直线的距离，计算可求弦长.
【详解】解：由圆的方程可知，圆心为，半径为，圆心到轴的距离为，
则.
故选：B
6. 若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】联立两直线方程求出交点，即可根据第二象限的特征求解.
【详解】,
所以交点为,由于在第二象限，所以，
所以的取值范围为，
故选：D
7. 如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的加减运算，结合空间向量的基本定理即可求得答案.
【详解】由题意得
,
结合可得，
故，
故选：C
8. 已知直线：，：，若，则实数（）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】若：，：，当时，，代入后需验证，排除两直线重合的情况.
【详解】因为，所以，
即：，，解得：或，
当时，：，：，符合题意；
当时，：，即：，
：，此时与重合，舍去.
故选：A
9. 已知平面，其中点，向量，则下列各点中在平面内的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合各个选项分别求出，计算值是否为0，从而得出结论.
【详解】对于A，，所以，故点不在平面内，故A错误；
对于B，，所以，故点在平面内，故B正确；
对于C，，所以，故点不在平面内，故C错误；
对于D，，所以，故点不平面内，故D错误.
故选：B.
10. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）. 数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 如图，已知一个正八面体的棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为（）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得到，，然后由向量的数量积公式分别求出，结合向量的夹角运算公式，即可求解.
【详解】如图所示：
由题意，可得，，
又由正八面体的棱长都是2，且各个面都是等边三角形，
在中，由，可得，所以，所以
；
；
；
所以，
即直线和夹角的余弦值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：选取适当的基底向量，由已知条件可以求出它们的模以及两两之间的夹角，所以只需把分解，然后由向量的夹角公式即可求解.
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.
11. 以为圆心，半径为2的圆的标准方程为_________.
【答案】.
【解析】
【分析】根据圆心及坐标即得.
【详解】由题可得圆的标准方程为.
故答案为：.
12. 已知点，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的坐标表示法结合向量的减法运算即可求解
【详解】根据已知可得：，，
因此可得：.
故答案为：
13. 已知直线经过点，且斜率为，则直线的一个方向向量为______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据直线的斜率与方向向量之间的关系可得出直线的斜率.
【详解】不妨令直线的一个方向向量为，则，所以可以取，则，此时直线的一个方向向量为（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）
14. 已知点为圆上一点，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据直线方程，求得该直线的定点，利用点到过定点直线以及点到圆上点距离的性质，可得答案.
【详解】由直线方程，则该直线过定点，
易知圆上任意定点到该直线的最大距离就是该点到的距离，
由圆的方程，则其圆心为，半径为，
点到圆上点的最大距离为.
故答案为：.
15. 在长方体中，，，点是棱上的动点，给出下列4个结论：
①；
②；
③若为中点，则点到直线的距离为；
④存在点，使得平面．
其中所有正确结论的序号是_________.
【答案】②④
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理即可判断①；以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断②③④.
【详解】对于①，，
而，
所以，故①错误；
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，
则，
故，
所以，所以，故②正确；
若平面，
又平面，所以，
，则，
则，解得，
所以存在点，使得，
又平面，
所以当时，平面，
所以存在点，使得平面，故④正确；
对于③，若为中点，则，
故，
则，所以，
所以点到直线的距离为为，故③错误.
故答案为：②④.
三、解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两点之间的斜率公式求出斜率，然后利用直线的点斜式方程求解即可；
（2）利用中点坐标公式和斜率公式结合直线的点斜式方程求解即可.
【小问1详解】
因为，，
所以边所在直线的斜率．
又因为该直线过点，
所以边所在直线的方程为：，
即．
【小问2详解】
设边上的中点为，则直线即为边上的中线．
因为，，
所以，又因为
所以直线的斜率．
又因为该直线过点，
所以直线的方程为：，
即．
17. 已知向量，，.
（1）若，求实数的值；
（2）求；
（3）若，，不能构成空间向量的一个基底，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由可知，，再由数量积的坐标运算即可.
（2）模长公式的坐标运算即可.
（3）利用空间共面向量定理即可.
【小问1详解】
∵，
∴，即，
∴．
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴
【小问3详解】
若，，不能构成空间向量的一个基底，
则与，共面，
故存在唯一的实数对，使得，
即，
，
∴，解得，
∴.
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，是棱的中点.
（1）求证：//平面；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.
条件①：平面平面；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位线的性质得到，然后根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用空间向量的方法求角即可.
【小问1详解】
证明：在底面中，连接交于点，可得为中点，连接．
因为是中位线，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】
选①：平面平面．
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，
因为平面，平面，
所以，，
又底面是正方形，所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则，，．
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，．于是．
又因为平面，
所以为平面的一个法向量.
设平面与平面夹角为，则
．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
选②：．
因为，，又底面是正方形
所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则，，．
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，．于是．
又因为，平面，所以平面，
所以为平面的一个法向量.
设平面与平面夹角为，则
．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
19. 已知圆：.
（1）求圆的圆心坐标以及半径；
（2）求经过点的圆的切线方程；
（3）若圆与圆：有公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）圆心的坐标为，半径
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）将圆的一般方程化简为圆的标准方程，即可求解；
（2）讨论切线的斜率不存在和存在的两种情况求切线方程；
（3）由题意转化圆心距和半径的关系式，再转化为不等式求实数的取值范围.
【小问1详解】
因为圆：，整理得
所以圆心的坐标为，半径．
【小问2详解】
①当切线斜率不存在时，切线的方程为，符合题意；
②当切线斜率存在时，设：，
即.
设圆心到切线的距离为，则．
整理可得：，
解得：
所以切线的方程为，即.
综合①②，切线的方程为或.
【小问3详解】
圆与圆的圆心距为，
设圆的半径为，圆的半径为，
若圆与圆：有公共点，
则，即，
解得，
故．
20. 赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求这座圆拱桥的拱圆的方程；
（2）若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.
【答案】（1）
（2）可以从桥下通过，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为，将，，，代入化简即可得出答案；
（2）将当代入圆的方程求出，与相比即可得出答案.
【小问1详解】
设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为，
因为该拱圆过，，，
所以，解得．
所以拱圆的一般方程为，
即．
【小问2详解】
当时，，
得
所以该景区游船可以从桥下通过．
21. 如图，在直三棱柱中，，，．，分别为棱，的中点，与交于点．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求直线到平面的距离；
（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由直三棱柱的性质以及可证明两两相互垂直，以为原点建立空间直角坐标系，空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值.
（2）利用线面平行的判定定理可证明平面，从而直线到平面的距离等于点到平面的距离，空间向量法计算点到平面的距离即可.
（3）假设存在点，可设，计算向量，由（2）可知平面的法向量，利用空间向量法计算向量求解，可得出结果.
【小问1详解】
解：在直三棱柱中，
底面，所以，
又因为，
所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，
则 即
令，则，．于是．
所以．
设直线与平面所成角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【小问2详解】
在侧面中，连接交于点，可知为中点，连接．
因为是的中位线，
所以，又因为平面,平面,
所以平面．
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离．
又因为，所以，
设点到平面的距离为，则，
所以直线到平面的距离为．
【小问3详解】
线段上存在点，点为上靠近点的三等分点，满足平面，证明如下：
设，
因，，所以，所以
．
由（1）知平面的一个法向量为，
因为平面，所以，即，
解得：，
所以线段上存在点，点为上靠近点的三等分点，满足平面．
【点睛】结论点睛：
（1）若直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，则；
（2）平面的法向量为，平面外一点，在平面内找一点，连接，则点到平面的距离为：；
（3）若直线的方向向量为，平面的法向量为，若平面，则.