宁夏回族自治区银川市金凤区宁夏六盘山高级中学2025届高三上学期10月月考数学试题（原卷及解析版）

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数学
测试时间：120分钟 满分：150分
一､单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的运算可得答案.
【详解】因为，，，
所以，所以
故选：C
2. 命题“，，”的否定是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. 不存在整数，，使得
【答案】A
【解析】
【分析】将“存在”改为“任意”，再否定结论即可得到答案.
【详解】“，，”的否定是“，，”.
故选：A.
3. 已知是第三象限角，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由为第三象限角，知由此能判断出点在第几象限．
【详解】已知是第三象限角, ,所以在第二象限.
故选:
【点睛】本题考查三角函数值的符号,难度容易.
4. 已知，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】借助中间量比较即可.
详解】解：根据题意，，，，
所以
故选：D
5. 如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可.
【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误，
对于B，因为，故B错误，
对于C，因为E是的中点，所以，故C错误
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：D
6. 函数，的图象形状大致是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据函数奇偶性排除AC，再结合特殊点的函数值排除B.
【详解】定义域，且，所以为奇函数，排除AC；又，排除B选项.
故选：D
7. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（ ）
A. 千米B. 千米C. 千米D. 千米
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得是等边三角形，可得千米，记直线与直线的交点为，，进而可得为等腰三角形，可求得，计算可求得.
【详解】因为，
可得是等边三角形，则千米.
记直线与直线的交点为，
所以,为的中点，
所以为等腰三角形，
所以千米.
故选：A.
8. 已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（ ）
A. -1B. 0C. 1012D. 2024
【答案】B
【解析】
【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性、对称性计算即可.
【详解】由，即的一个周期为4，
由为偶函数可知fx关于x=1轴对称，即，
又可知f2=−f0，
所以，
显然，
所以.
故选：B
二､多项选择题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中错误的有（ ）
A. 的充要条件是且B. 若，，则
C. 若，则存在实数，使得D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用平面向量相等的定义判断A；举反例判断BC；利用向量三角形法则判断D.
【详解】对于A：的充要条件是且方向相同，故A错误；
对于B：当时，则不一定平行，故B错误；
对于C：当，时，不存在实数，使得，故C错误；
对于D：根据向量加、减法的三角形法则，可知成立，故D正确.
故选：ABC.
10. 在中，角的对边分别为，下列结论一定成立的有（ ）
A. 若，则是钝角三角形
B. 若，则
C. 若，则符合条件的有两个
D. 对任意，都有
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正、余弦定理及三角形的一些结论进行判断求解即可.
【详解】对于A，若，由正弦定理有：，
由余弦定理可知 ，
所以在中，角为钝角，
所以是钝角三角形，故A正确;
对于B，若，则，
由正弦定理有： ，故B正确；
对于C,若，因为，
所以,即符合条件的有一个，故C错误；
对于D，当都是锐角或一锐角一直角时显然成立，
当为一钝角和一锐角时，设为钝角，为锐角，则,
因为在上单调递减，
所以，即，
综上所述，任意，都有，故D正确.
故选：ABD.
11. 在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. ，频率为，初相为
B. 若，则的最小值为
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在上的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数图像可判断函数性质，进而可得函数解析式，判断各选项.
【详解】由函数图像可知，
且，即，
解得，
即，频率为，
又函数过点，
即，解得，，
又，则，A选项正确；
即，所以，
所以，的最小值为，B选项错误；
令，，解得，，当时，，C选项正确；
当，，
则，即，D选项错误；
故选：AC.
12. 已知函数的极值点分别为，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 过仅能做曲线的一条切线
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根据已知条件得到，，再结合导数的性质依次判断选项即可.
【详解】，，
因为函数的极值点分别为，
所以有两个不相等实数根，
所以，故A正确.
对选项B，因为，所以，
令，则，，
所以，，为增函数，
，，为减函数，
，，为增函数，
所以，为函数的极值点.
所以，故B错误.
对选项C，，
化简得：，解得，故C正确.
对选项D，设切点为，
，切线过，
所以，即，解得，
所以过仅能做曲线的一条切线，故D正确.
故选：ACD
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为______.
【答案】36
【解析】
【分析】利用圆心角与弧长以及半径之间的关系可求得面积.
【详解】根据题意设扇形的半径为，
由圆心角为2，弧长为12cm，可得半径cm，
因此可得扇形的面积为.
故答案为：36
14. 已知向量（2，﹣1），（﹣1，m），（﹣1，2），若（）∥，则m＝______
【答案】-1
【解析】
【分析】先求出（1，m﹣1），再由（）∥，能求出m．
【详解】解：∵向量（2，﹣1），（﹣1，m），（﹣1，2），
∴（1，m﹣1），
∵（）∥，
∴，
解得m＝﹣1．
【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量坐标运算法则的合理运用．
15. ______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用二倍角公式结合诱导公式化简，即可求得答案.
【详解】
.
故答案为：
16. 已知函数与的图象上任意3个相邻的交点构成直角三角形，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】设出相邻三点的坐标，根据可知为等腰直角三角形，然后可得，求解即可得解.
【详解】如图所示，设函数与的交点分别为，

由得，所以，
则，
由对称性和已知可得为等腰直角三角形，
所以点到直线的距离为，即，解得．
故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.
（1）化简；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由诱导公式化简，即可得到；
（2）根据题意，由角的变换可得，再由和差角公式展开，代入计算，即可求解.
【小问1详解】
【小问2详解】
，则，
，，
则
，
，
因此.
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B；
（2）若，且的面积为，求b的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，利用正弦定理得到求解；
（2）根据的面积为，得到，然后利用余弦定理求解.
【小问1详解】
解：因为，
所以，
即，
因为，
所以，
所以；
【小问2详解】
因为的面积为，
所以，
解得，
由余弦定理得，
，
所以.
19. 的内角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）若的角平分线与交于点，求.
【答案】（1）.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；
（2）利用等面积法以及余弦定理即可求解.
【小问1详解】
依题意，由正弦定理可得
所以，
又
所以，
因为B∈0,π，所以，所以，
又，所以.
【小问2详解】
解法一：如图，由题意得，，
所以，即，
又，所以，
所以，即，
所以.
解法二：如图，中，因为，
由余弦定理得，，
所以，所以，
所以，
所以，
所以.
20. 已知函数，且.
（1）若，求函数的单调递增区间；
（2）若函数的最小值为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）确定函数的定义域，结合复合函数的单调性的判断，即可求得答案；
（2）令，分和两种情况讨论，根据函数单调性结合最值，即可求得答案.
【小问1详解】
因，所以，解得，
即函数的定义域为，
，
因为在上单调递增，在上单调递减，
又，所以在定义域上单调递增，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
即得的单调递增区间为；
【小问2详解】
由（1）令，则，，
当时，函数在上单调递增，函数不存在最小值，故舍去；
当时，函数在上单调递减，，
所以，解得，符合题意，故.
21. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若在区间上有且只有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
小问1详解】
因为
，
所以的最小正周期，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
【小问2详解】
当，则，
又在区间上有且只有两个零点，所以，解得，
即的取值范围为.
22. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程；
（2）当时，，只需证当时，即可，即证，即证，令，求导，再确定的单调性，从而确定的零点存在，得出极小值点，由得，，代入并变形，根据已知条件即可得证.
【小问1详解】
当时，，
，，
斜率，
，即，
曲线在点处的切线方程为.
【小问2详解】
证明：当时，，
则，
则，
故只需证当时，即可，
即证，即证，即证，
令，
在上单调递增，
又，
故在上有唯一的实根，且，
当时，，
当时，，
所以当时，取得最小值，
由得， ，
两边取对数得，即
，
即，
综上所述：当时，.