辽宁省沈阳市虹桥中学2024-2025学年上学期九年级10月份月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份辽宁省沈阳市虹桥中学2024-2025学年上学期九年级10月份月考数学试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：120分 时间：120分钟
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意；
、方程是一元二次方程，该选项符合题意；
、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；
、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意；
故选：．
2. 关于x的方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 无实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
由题意知，，然后判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，
故选：A．
3. 如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A. B. C. 2023D. 2025
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：C．
4. 在估算一元二次方程的根时，小晗列表如下：
由此可估算方程的一个根的范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法．
结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答．
【详解】由表可知，
当时，，
当时，，
∴方程的一个根的范围是．
故选：C．
5. 如图，直线，直线a，b与直线分别交于点A，B，C和点D，E，F，若，， 则的长是（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
6. 下列命题错误的是（ ）
A. 平行四边形对角相等
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线相等的平行四边形是矩形
D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定定理，矩形的判定定理．根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据矩形的判定方法对C进行判断；根据正方形的性质对D进行判断．
【详解】解：A. 平行四边形的对角相等，说法正确，不符合题意；
B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，符合题意；
C. 两条对角线相等的平行四边形是矩形，说法正确，不符合题意；
D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分，说法正确，不符合题意；
故选：B．
7. 如图，点E是的边的中点，平分交于点F，下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出，进而得到，得出，结合线段中点性质即可判断A，C选项；再根据等腰三角形的性质和角平分线的性质即可判断B选项；最后根据和中，底边和上的高相等，比较底边即可判断D选项．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，即，，故A选项错误，C选项正确；
∵平方，
∴，
∴，
∴，
∴，故B选项正确；
∵在和中，底边和上的高相等，
∴，故D选项正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
8. 如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且连接DE，则∠CDE的度数为（ ）
A. 20°B. 22.5°C. 25°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】由正方形的性质可得∠DAE的度数，再由AE=AD，即可求得∠ADE的度数，从而可求得∠CDE的度数．
【详解】∵四边形ABCD是正方形
∴∠ADC=90゜，∠DAE=45゜
∵AE=AD
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，掌握这两个性质是关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为0,3，以，为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点A，C移动．当移动时间为4秒时，的值为（ ）
A. 30B. 9C. 15D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，得出，，勾股定理求得，，即可求解．
本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得的坐标是解题的关键．
【详解】解：连接、，

∵点A的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．
∴，
∴，，
依题意，，，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
10. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接BE，BD，如图,利用菱形的性质得△BDC为等边三角形,在Rt△BCE中计算出BE=,接着证明BE⊥AB, 利用折叠的性质得到EF=AF.,设EF=AF=x, FG垂直平分AE,所以在Rt△BEF中利用勾股定理列方程求解即可.
【详解】解: 连接BE，BD，如图,
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°,
∴△BDC为等边三角形， ∠C=∠A=60°,
∴∠CBE=90°-60°=30°.
∵E点为CD的中点，
∴CE=DE=1,BE⊥CD.
在Rt△BCE中，
BC=2CE=2，
BE= .
∵AB∥CD,
∴BE⊥AB.
∵菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,
∴EF=AF.
设EF=AF=x,则BF=2-x,
在Rt△BEF中,
,
解得 .
故选A.
点睛:本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，求出BE的长并能利用Rt△BEF的三条边列方程是解答本题的关键.
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 已知，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了比例的性质，根据设，且，代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴设，且，
∴
故答案为：
12. 设a、b是方程的两个实数根，则的值为 __________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
先利用根与系数关系得到，，再计算，然后利用整体代入的方法计算即可求解．
【详解】解：、b是方程的实数根，
，，
．
故答案为：．
13. 如图，，为两路灯，身高均为的小明、小亮站在两路灯之间，两人相距，小明站在处，小亮站在处，小明在路灯下的影长为，路灯高，则路灯的高为________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，求出、，再证明，即可得出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，点P是线段上一动点，且，E，F为垂足，，则的值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质以及勾股定理、三角形面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．首先连接，在矩形中，，，可求得以及的面积，继而可得，则可求得答案．
【详解】解：连接，

∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∵
∴．
故答案为：．
15. 在菱形纸片中，，，点F在边上，将菱形纸片沿直线折叠，点D的对应点为E．当与菱形的边垂直时，的长为_____．
【答案】2或
【解析】
【分析】分两种情况，当时，当时，分别求解即可．
【详解】解：分两种情况，
①当时，如图，设 于G，

∵四边形是菱形，
∴，，
∵于G，
∴，
∴，
∴在中，，
由勾股定理，得，
∵将菱形纸片沿直线折叠，点D的对应点为E，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图，设 于G，过点F作于H，

∵四边形是菱形，
∴，，，
∴
∵
∴
∴
∵将菱形纸片沿直线折叠，点D的对应点为E，
∴，
∵
∴
∴
∴，
∵，，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理，得
解得：，（舍去），
∴；
综上，的长为2或．
故答案为：2或．
【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质、轴对称的性质、直角三角形的性质和灵活运用勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）无实数根
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先移项，再运用因式分解法解一元二次方程，即可作答．
（2）先求出判别式，根据，得出此方程无解，即可作答．
【小问1详解】
解：
∴
∴
【小问2详解】
解：
∴
∴此方程无实数根．
17. 如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
（1）若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为．求新的矩形绿地面积．
【答案】（1）新的矩形绿地的长为，宽为
（2）新的矩形绿地面积为．
【解析】
【分析】（1）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据扩充后的矩形绿地面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值分别代入及中，即可得出结论；
（2）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积．
【小问1详解】
解：（1）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
．
答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．
【小问2详解】
设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，
根据题意得：，
即，
解得：，
．
答：新的矩形绿地面积为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程与一元一次方程．
18. 为了保障人民群众生命安全和身体健康，某感冒退烧药生产企业产能逐步提升，10月份产量为256万片，11月、12月两个月增长率相同，预计12月份产量可达到400万片．求该企业感冒退烧药产量的月增长率．
【答案】设该企业感冒退烧药产量的月增长率为
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设该企业感冒退烧药产量的月增长率为，根据10月份产量为256万片，11月、12月两个月增长率相同，预计12月份产量可达到400万片，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设该企业感冒退烧药产量的月增长率为，由题意，得：
，
解得：或（舍去）；
答：设该企业感冒退烧药产量的月增长率为．
19. 某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，该商店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1200元？
【答案】每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1200元．
【解析】
【分析】设每件商品降价x元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出关于x的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈利不少于25元的答案即可．
【详解】解：设每件商品降价元，根据题意，得
解这个方程得，
由，得
的值
答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1200元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
20. 如图，矩形中，点为边上任意一点，连接，点为的中点，过点作，与、分别相交于点、，连接、．

（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，当时，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）5
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
（1）根据已知证明，证得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形是平行四边形，然后证明，即可证得结论；
（2），，则，设，则，利用勾股定理求出即可解答．
【小问1详解】
证明：矩形中，，
，，
点为的中点，
，
，
，
四边形为平行四边形，
于点，，
，
四边形为菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
的长为5．
21. 如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接．在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上．
（1）求线段、的长；
（2）求证：；
（3）请指出图中的黄金分割点．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．
（1）要求的长，只需求得的长，又，，则；
（2）根据（1）所求分别求出的值即可证明结论；
（3）根据（1）中的数据得：，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．
【小问1详解】
解：在中，，由勾股定理知：
，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：由（1）得，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴点M是黄金分割点．
22. 九年级二班的兴趣小组想去测量学校升旗杆的高度，如图所示，小逸同学眼睛A与标杆顶点F、升旗杆顶端E在同一直线上，已知小逸眼睛距地面的长为，标杆的长为，测得的长为，的长为，求升旗杆的高．
【答案】升旗杆的高为．
【解析】
【分析】过A点作交于H，交于G，易证四边形、四边形是矩形，可求出，，，然后证明，根据相似三角形的性质求出即可解决问题．
【详解】解：过A点作交于H，交于G，
由题意可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形、四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
答：升旗杆的高为．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程，通过解方程求出答案．
23. 问题初探】
（1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，正方形中，点是线段上一点（不与点、重合），连接．将绕点顺时针旋转90°得到，连接，求的度数．
①小聪同学给出如下解题思路：过点作交的延长线于点，得到与的数量关系，进而求出的度数．
②小慧同学给出另一种解题思路：在上截取，使得，连接，得到与之间的数量关系，进而求出的度数．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）王老师发现之前两名同学都根据图形的特点运用了构造全等的方法，体现了转化的数学思想；为了帮助学生更好地发现数学直觉，感悟转化思想，培养几何直观，王老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．
如图2，菱形中，，点是线段上一点（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，直接写出与的数量关系是______．
【学以致用】
（3）如图3，在中，，，，为上一点，满足，为延长线上一点，，与延长线交于点，补全图形并求的长．
【答案】；；图见解析，
【解析】
【分析】选择小聪解题思路：根据“一线三等角”模型证明，可得，，根据、、三边关系可推得，，即是等腰直角三角形，根据其性质即可求解；选择小慧解题思路：根据“”证明，可得，又是等腰直角三角形，则，即可求解；
延长到点，使，连接，根据“”证明，则，再根据等腰三角形的性质即可求解；
根据题意补全图形，过点作于，由可求得，通过证明可得，，利用相似三角形的性质推得和的数量关系后，即可根据勾股定理得到的长．
【详解】解：选择小聪同学的解题思路，过点作交的延长线于点，
，
依题得；正方形中，，，且，
，，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
，
，
，
，
．
解：延长到点，使，连接，
依题得：，，
菱形中，，，，
，，
，
，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
解：补全图形如图，过点作于，
，，
，
，
，，
，，
，
且，
，
，，
，，
得，，
，，
，，
在中，．
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0.29
0.76