山东省济宁市金乡县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份山东省济宁市金乡县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据定义即可判断出答案．
【详解】解：选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
选项是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
故选：
【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟记两种图形的特点并准确判断是解题的关键．
2. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（ ）
A. B. C. 7D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义．设另一根为a，利用根与系数的关系得到关于a的方程，即可求出a的值．
【详解】解：设另一根为a，
则，
解得：，
故选D．
3. 将地物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键．
【详解】解：将地物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为，即，
故选B．
4. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( )
A. 15°B. 28°C. 29°D. 34°
【答案】B
【解析】
【分析】先由题意求出圆心角∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求得结果．
【详解】
由题意得∠AOB=86°-30°=56°
则∠ACB=12∠AOB=28°
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角的性质是解题关键．
5. 某小区内的一家快递驿站第一天共收到225件快递，第三天共收到324件快递，设该快递驿站收件量的日平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用第三天的快递数第一天收到的快递数（该快递站收件平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，即可得出结论．
【详解】解：设该快递驿站收件量的日平均增长率为x，
根据题意有，
故选：B．
6. 点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可以（ ）
A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 绕原点逆时针旋转D. 绕原点顺时针旋转
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的定义得到即可．
【详解】因点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（-3，4），
所以点A绕原点逆时针旋转90°得到点B，
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
7. 如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，则围成这个灯罩的铁皮的面积是（不考虑缝隙等因素）（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，解题的关键是理解扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：灯罩的铁皮的面积是，
故选：A．
8. 如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高与投掷距离之间的函数关系满足，则该同学掷实心球的成绩是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】当铅球落地时，高度，代入，求值即可，本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是：函数取值与实际问题之间的关系．
【详解】当时，，
解得：（舍），，
该同学掷实心球的成绩是，
故选：．
9. △ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是( )
A. 80°B. 160°C. 80°或20°D. 80°或100°
【答案】D
【解析】
【分析】分情况讨论，若∠B是劣弧所对的圆周角时，由圆周角是圆心角的一半可求；若∠B'是优弧所对的圆周角时，可利用内接四边形对角互补求解.
【详解】若∠B是劣弧所对的圆周角时，∠B==80°，
若∠B'是优弧所对的圆周角时，四边形ABCB'为内接四边形，∠B+∠B'=180°，所以∠B'=100°，
综上，∠ABC的度数是80°或100°，故选D.
【点睛】本题考查圆周角定理和内接四边形的性质，注意采用数形结合，分类讨论，不要漏解.
10. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤若图象经过点时，方程的两根为（），则，其中正确的结论有（ ）
A. ①②③B. ②③⑤C. ②③④⑤D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，与轴的交点的个数判断②，特殊点判断③，最值判断④，图象法求出一元二次方程的解，判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
即，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，所以①错误；
∵物线与x轴有2个交点，
∴，所以②正确；
∵时，，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，所以③正确；
∵时，y有最小值，
∴（t为任意实数），
即，所以④正确；
∵图象经过点时，方程的两根为，
∴二次函数与直线的一个交点为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数与直线的另一个交点为，
即，
∴，所以⑤错误．
故选：D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 点关于原点的对称点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特点，解题关键是掌握点的坐标的变化规律．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是，
故答案为：．
12. 若关于x一元二次方程没有实数根，则a的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得：，
故答案为：
13. 如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为______.

【答案】3
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠A的度数，得到∠ABO的度数，根据直角三角形的性质求出AB的长，得到答案.
【详解】解：∵点A的坐标为(0，3)，
∴OA＝3，
∵四边形ABMO是圆内接四边形，
∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°，
∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝6，
则则⊙C的半径为3，
故答案为：3.
【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆内四边形的性质及解直角三角形的方法.
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】记BC中点为点O，连接OD，CD，先证得OD⊥BC，再根据阴影部分的面积计算即可．
【详解】解：记BC中点为点O，连接OD，CD，
∵BC是半圆的直径，
∴O是半圆的圆心，CD⊥AB，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴D是AB中点．
∴OD∥AC，
∴OD⊥BC，
∴阴影部分的面积，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
15. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，先求出直线的解析式，再求出点的坐标，再求出直线的解析式，从而求出点、的坐标，以此类推可得点、的坐标，根据点的坐标之间的变化规律求出点的坐标．
【详解】解：设直线的解析式为，
点的坐标为，
则有k=1，
直线的解析式为，
轴，且交抛物线于点，
点的纵坐标为，
，
解得：，
点的坐标为，
点的坐标为，
交抛物线于点，
设直线的解析式为，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
解方程组，
可得：，
解方程得：，，
点的坐标为，
当x=2时，可得：，
点的坐标为，
可得：直线的解析式为，
解方程，
可得：，，
的坐标是，
，
依此规律可得：的坐标为，的坐标为，的坐标为
故答案为： ．
三、解答题
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
即，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长8m，设圆心为，交水面于点D，轮子的吃水深度为2m，求该桨轮船的轮子直径．
【答案】该桨轮船的轮子直径为10m
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用，勾股定理的应用，本题先表示m，求解m，再利用勾股定理建立方程求解即可.
【详解】解：设半径为rm，则m，
∴m．
∵m，，
∴m．
在中有，即，
解得m
则该桨轮船的轮子直径为10m．
18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移6个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点O的中心对称图形；
（3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查作图—旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质．
（1）利用平移变换性质分别作出的对应点，再顺次连接即可；
（2）利用中心对称的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可；
（3）结合图形并根据平移的性质、中心对称的性质求出点的坐标，连接，则的交点，即为旋转中心的坐标．
【小问1详解】
如图所示，
【小问2详解】
如图所示，
【小问3详解】
由图可知，，，
，，
则的中点为，即，
则的中点为，即，
的中点均为，
与 是以点为对称中心的中心对称图形，
旋转中心的坐标为．
19. 如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的的中点．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）2.5
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判定．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
（1）连接，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，根据等边对等角得出，推得，根据内错角相等，两直线平行得出，根据两直线平行，同位角相等得出，即可证明；
（2）设半径为r，根据勾股定理可得，据此列出方程，解方程求出r即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

∵点E是的中点，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
又于点C，
∴于点E，
∵是的半径，
∴为的切线
【小问2详解】
解：设半径为r，
在中，，
∴（，
解得：
即⊙O的半径为2.5．
20. 某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
【答案】（1）长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米
（2）最多可以购买1400株牡丹
【解析】
【分析】（1）设长为x米，面积为y平方米，则宽为米，可以得到y与x的函数关系式，配成顶点式求出函数的最大值即可；
（2）设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米，由题意列出不等式求得种植牡丹面积的最大值，即可解答．
【小问1详解】
解：设长为x米，面积为y平方米，则宽为米，
∴，
∴当时，y有最大值是1200，
此时，宽为（米）
答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米．
【小问2详解】
解：设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米，
由题意可得
解得：，
即牡丹最多种植700平方米，
（株），
答：最多可以购买1400株牡丹．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21. 请阅读下列材料：

问题：如图1，在等边三角形内有一点P，且，，，求度数的大小和等边三角形的边长．
李明同学的思路是：将绕点B逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图2），连接，可得是等边三角形，而又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以，而，进而求出等边的边长为，问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：
问题：如图3，在正方形内有一点P，且，，．求
（1）度数的大小；
（2）正方形的边长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将绕点B逆时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质，易证是等腰直角三角形，进而得到，，再利用勾股定理的逆定理，证得是直角三角形，得到，进而得到，即可求出度数；
（2）过点B作交的延长线于点E，易证是等腰直角三角形，利用勾股定理，求得，进而得到，再利用勾股定理，求出，即可得到正方形的边长．
【小问1详解】
解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接
由旋转的性质可知，，，，，
是等腰直角三角形，
，，
在中，，，
，
是直角三角形，
，
，
；
【小问2详解】
解：过点B作交的延长线于点E，
，
，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
，
,
在中，，
正方形的边长为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理等知识，利用旋转的性质作辅助线是解题关键．
22. 已知：抛物线经过A−2,0，与直线交x轴于点B，交y轴于点C，点P是抛物线对称轴上一动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当的值最小时，求点P的坐标；
（3）在线段下方抛物线上一点F，连接，当面积最大时，求F点坐标及面积最大值．
【答案】（1）
（2）
（3），4
【解析】
【分析】（1）先求出点，然后用待定系数法求解即可；
（2）求出抛物线对称轴为直线，可得点A关于对称轴直线对称点B点坐标为，则与对称轴为直线的交点即为点P，此时，的值最小，进而可求出点P的坐标为；
（3）过F作轴于点H，交于点G，设，则G为，根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：∵直线，令，得
∴
把点A−2,0和C为代入抛物线
得
解得
∴抛物线的解析式为
【小问2详解】
解：由抛物线的对称轴为直线，
∴点A关于对称轴直线对称点B点坐标为
把点B点坐标为代入得，
∴直线解析式为
∵抛物线对称轴为直线，点A与点B关于对称轴直线x=1对称，
则与对称轴为直线的交点即为点P，
此时，的值最小．
∵直线，当时，，
∴点P为．
∴当的值最小时，点P的坐标为
【小问3详解】
解：过F作轴于点H，交于点G，
设，则G为，
∴
∵，∴当m=2时，为最大值为4，，
∴
∴为最大值为4时，F坐标为