广东省珠海市香洲区珠海市第九中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省珠海市香洲区珠海市第九中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，逐一判断即可．
【详解】∵一元二次方程：等式两边都是等式，只含一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程，
∴A、属于一元二次方程，符合题意；
B、不是等式方程，不符合题意；
C、含有个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、，当时，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义，学会识别一元二次方程．
2. 一元二次方程x2-x-3＝0的一次项系数，常数项分别是（ ）
A. 1，3B. -1，3C. -1，-3D. 1，-3
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且a≠0）中，叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行求解即可．
【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是-1，-3．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式及相关概念．
3. 已知是一元二次方程的两根，那么的值为（ ）
A. 5B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的两根，且，，，
∴．
故选：A．
4. 抛物线，，，的图象开口最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数中值越小，函数图象的开口越大进行求解．
【详解】解：∵二次函数中的值越小，函数图象的开口越大，且，
∴抛物线的图象开口最大，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是明确二次函数图象的特点，知道的值越小，函数图象开口越大．
5. 将方程配方后，所得到的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先移项，再在方程的两边都加上，进行配方，从而可得答案.
【详解】解：
移项得：
配方得：

故选：A
【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤与方法是解题的关键.
6. 已知抛物线与x轴的公共点是，则这条抛物线的对称轴是直线（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把两点的坐标代入中，求得,即可求得抛物线的对称轴．
【详解】∵抛物线与x轴的交点为，
∴把两点的坐标代入中，得，
两式相减得,
则此抛物线的对称轴是直线，即为直线．
故选：C．
【点睛】本题考查了由抛物线上对称的两点求抛物线的对称轴，把两点代入二次函数解析式中求得a与b的关系是关键．
7. 二次函数有（ ）
A. 最大值5B. 最小值5C. 最大值-3D. 最小值-3
【答案】A
【解析】
【分析】先把二次函数配方变为顶点式，由于，该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是即可．
【详解】解：．由于，
所以该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是．
所以该抛物线有最大值，且最大值是5．
故选择：A．
【点睛】本题考查二次函数图像性质．会用配方法把抛物线变为顶点式就出最大值是解题关键．
8. 如果关于的一元二次方程方程有两个实数根，那么的取值范围是( )
A. B. 且C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．
【详解】解：由题意得：且，
解得：且
故选：C
9. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 图象与y轴交点的坐标是B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标为D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的性质由得到图象开口向下，当时，可求图像与y轴的交点，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，从而可判断抛物线增减性．
【详解】解：对于二次函数的图象，
当时，，图像与y轴交点坐标为，A选项说法不正确；
抛物线对称轴直线，B选项说法不正确；
抛物线顶点坐标为，C选项说法不正确；
∵，
∴图像开口向下，
当时，y随x的增大而增大，D选项说法正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图像性质，解题的关键是掌握相关性质，利用数形结合思想．
10. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，设图中，连接，若与的面积相等，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，弦图的计算；根据题意得出，即，解方程得出（负值舍去），再求出的值即可．
【详解】解：∵图中，，
∴
∵与的面积相等，
∴
∴
∴
∴
∴
解得：（负值舍去），
∴，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 一元二次方程的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
12. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为______
【答案】y=3（x+2）2﹣1
【解析】
【详解】解：抛物线y=3x2的图象向左平移2个单位所得函数图象的关系式是：y=3(x+2)2；抛物线y=3(x+2)2的图象向下平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y=3(x+2)2﹣1，
故答案为y=3(x+2)2﹣1．
13. 已知二次函数的图象上有两点，且，则和的大小关系是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先判断二次函数的对称轴为直线 可得在对称轴的左侧即 随x的增大而减小，从而可得答案．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线
∴在对称轴的左侧即 随x的增大而减小，
∵，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，利用二次函数的增减性比较函数值的大小是解本题的关键．
14. 学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球队参加比赛？列方程为：____________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛，根据计划安排15场比赛建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛，
由题意得：，
故选：．
15. 如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值．
【详解】解：在中，，，，
，
设运动时间，则，，
当时，四边形的面积取最小值，最小值为．
故答案为：15．
三、解答题（一）（每小题6分，共24分）
16. 用适当的方法解下列方程
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）运用公式法进行求解即可；
（2）运用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：，
∵，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
，
移项得：，
因式分解得：，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键．
17. 用适当的方法解下列方程
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）无实数根
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）因式分解法解方程即可；
（2）公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：
或
∴；
【小问2详解】
，
∴原方程无实数根．
18. 已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有一个根是，求的值；
（2）若方程有两个实数根，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据一元二次方程的根的定义把代入中进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【小问1详解】
解：把代入，
得：，
解得：；
【小问2详解】
解：∵方程有两个实数根，
∴，
解得：．
19. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
【答案】9．
【解析】
【分析】设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x•x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91列出方程，解方程即可．
【详解】解：设每个支干长出x小分支，根据题意可得：1+x+x2=91，
解得：x1=9，x2=﹣10（不合题意舍去），
答：每个支干长出9小分支．
四、解答题（二）（每小题9分，共27分）
20. 若抛物线与x轴的两个交点为和，且过点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出这条抛物线上纵坐标为的点的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．
（1）设抛物线的解析式为，代入点，求出a的值即可得出答案；
（2）把代入抛物线的解析式，求出x的值，即可得出点的坐标．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴的两个交点为和，
∴设抛物线的解析式为，
∵抛物线过点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：把代入抛物线的解析式得：
，
解得：，
∴这条抛物线上纵坐标为的点的坐标为．
21. 已知抛物线与直线交于点．
（1）求和的值；
（2）写出抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）对于二次函数，当在什么范围时，随的增大而减小
【答案】（1），
（2）顶点坐标为，对称轴为轴
（3）时，随的增大而减小
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数交点综合，抛物线函数图像性质，函数交点坐标求函数解析式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
（1）先将代入到可求得的值，再将点代入到即可求得的值；
（2）由（1）可得抛物线解析式，将其化为顶点式即可解题；
（3）根据抛物线函数图像性质，即可解题．
【小问1详解】
解：抛物线与直线交于点，
，解得：，
，
将代入得：，
解得：，
，；
【小问2详解】
解：由（1）可得：抛物线即，
其顶点坐标为，对称轴为轴；
【小问3详解】
解：由（1）可得：抛物线，
，
函数图像开口向上，
对称轴为直线，
在时，随的增大而减小．
22. 如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底的长为，下底长为，上下底相距，在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，甬道面积是梯形面积的，（提示：梯形的中位线是连接梯形两腰中点的线段，其长度等于两底和的一半）
（1）梯形的中位线长是____________m；
（2）梯形花坛的面积是____________；
（3）甬道的宽应是多少米？
【答案】（1）70 （2）4200
（3）甬道的宽度为5米
【解析】
【分析】本题考查梯形的中位线，梯形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，正确的列出方程是解题的关键：
（1）根据梯形的中位线的计算方法进行求解即可；
（2）根据梯形的面积公式进行计算即可；
（3）设甬道的宽度为，根据题意，列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：花坛上底的长为，下底长为，
∴梯形的中位线为：；
故答案为：70；
【小问2详解】
∵花坛上底的长为，下底长为，上下底相距，
∴梯形花坛的面积为：；
故答案为：4200．
【小问3详解】
设甬道的宽度为米，由题意，得：
，
解得：或（舍去）；
答：甬道的宽度为5米．
五、解答题（三）（每小题12分，共24分）
23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程是倍根方程．
（1）若一元二次方程是“倍根方程”，则______．
（2）判断方程是不是倍根方程？并说明理由．
（3）若是倍根方程，求代数式的值．
【答案】（1）2 （2）不是，理由见解析
（3）0
【解析】
【分析】（1）由一元二次方程是“倍根方程”，得到即可得到结论；
（2）求出方程的解即可判断出结论；
（3）解方程得，由方程两根是2倍关系，得到或4，代入解方程即可得到结论．
小问1详解】
∵一元二次方程是“倍根方程”，
又
∴
∴
故答案为：2；
【小问2详解】
方程不是“倍根方程”，理由如下：
，

解得，
∴
∴方程不是“倍根方程”；
【小问3详解】
解方程得，
∵方程两根是2倍关系，
∴或4，
当时，即代入代数式得
当时，即代入代数式得
综上，
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若是一元二次方程的两根时，也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程．
24. 等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
【答案】（1）S=（t10）； （2）；（3）不变，理由参见解析．
【解析】
【分析】（1）由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，
(2)根据s△ABC=AB•BC＝50，设P运动的时间为t秒，分别分析当t＜10秒时，以及当t＞10秒时得出t的值即可；
(3) 根据当t＜10秒时，P在线段AB上，得出△APE≌△QCF，以及当t＞10秒时，P在线段AB的延长线上，得出DE的长．
【详解】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，如图1，此时CQ=t，PB=10-t
S△PCQ=CQ•PB．
∴s=×t×(10−t)=(10t−t2)
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上如图2，此时CQ=t，PB=t-10
S△PCQ=CQ•PB．
∴s=×t×(t−10)=(t2−10t)
（2）∵S△ABC=AB•BC=50
∴当t＜10秒时，S△PCQ=(10t−t2)=50
整理得t2-10t+100=0无解
当t＞10秒时，S△PCQ=(t2−10t)=50
整理得t2-10t-100=0解得x=5±5（舍去负值）
∴当点P运动5+5秒时，S△PCQ=S△ABC.
（3）当点P、Q运动时，线段DE长度不会改变
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M
在Rt△APE和Rt△QCM中
∵∠A=45°，∠QCM=∠ACB=45°
∴∠A=∠QCM
∵AP=QC=t, ∠QMC=∠AEP=90°
∴△APE≌△QCM
∴AE=PE=CM=QM=t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半
又∵EM=AC=10
∴DE=5
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变
同理，当点P在点B右侧时，DE=5
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．