广东省茂名市中考数学试卷（含解析版）

这是一份广东省茂名市中考数学试卷（含解析版），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，用心做一做，沉着冷静，缜密思考，满怀信心，再接再厉，灵动管理，超越自我等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）（2015•茂名）|﹣3|等于（ ）
A． 3 B． ﹣3 C． D． ﹣
2．（3分）（2015•茂名）如图是一个正方体的平面展开图，折叠成正方体后与“建”字所在面相对的面的字是（ ）
A． 创 B． 教 C． 强 D． 市
3．（3分）（2015•茂名）下列各式计算正确的是（ ）
A．5a+3a=8a2 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．a3•a7=a10 D．（a3）2=a7
4．（3分）（2015•茂名）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是（ ）
A． 110° B． 90° C． 70° D． 50°
5．（3分）（2015•茂名）在等腰三角形、平行四边形、直角梯形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． 等腰三角形 B． 平行四边形 C． 直角梯形 D． 圆
6．（3分）（2015•茂名）下列说法正确的是（ ）
A． 面积相等的两个三角形全等
B． 矩形的四条边一定相等
C． 一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等
D． 随机投掷一枚质地均匀的硬币，落地后一定是正面朝上
7．（3分）（2015•茂名）为了帮扶本市一名特困儿童，某班有20名同学积极捐款，他们捐款的数额如下表：
对于这20名同学的捐款，众数是（ ）
A． 20元 B． 50元 C． 80元 D． 100元
8．（3分）（2015•茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（ ）
A． 6 B． 5 C． 4 D． 3
9．（3分）（2015•茂名）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ）
A． y= B． y=﹣2x﹣3 C． y=2x2+1 D． y=5x
10．（3分）（2015•茂名）张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加工5个零件，张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件？若设张三每小时经过这种零件x个，则下面列出的方程正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）（2015•茂名）﹣8的立方根是 ．
12．（3分）（2015•茂名）一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是 边形．
13．（3分）（2015•茂名）不等式x﹣4＜0的解集是 ．
14．（3分）（2015•茂名）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与C′重合．若AB=3，则C′D的长为 ．
15．（3分）（2015•茂名）为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是 ．

三、用心做一做（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（7分）（2015•茂名）计算：（﹣）﹣1﹣|﹣4|++（sin30°）0．
17．（7分）（2015•茂名）设y=ax，若代数式（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）化简的结果为x2，请你求出满足条件的a值．

18．（7分）（2015•茂名）补充完整三角形中位线定理，并加以证明：
（1）三角形中位线定理：三角形的中位线 ；
（2）已知：如图，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，DE=BC．


四、沉着冷静，缜密思考（本大题共2小题，每小题7分，共14分）
19．（7分）（2015•茂名）某校为了丰富学生的第二课堂，对学生参与演讲、舞蹈、书法和摄影活动的兴趣情况进行调查，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中最感兴趣的一项），对调查结果进行统计后，绘制了如下两个统计图：
（1）此次调查抽取的学生人数m= 名，其中选择“书法”的学生占抽样人数的百分比n= ；
（2）若该校有3000名学生，请根据以上数据估计该校对“书法”最感兴趣的学生人数．

20．（7分）（2015•茂名）在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．
（1）将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；
（2）现在再将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是，请求出后来放入袋中的红球的个数．


五、满怀信心，再接再厉（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）（2015•茂名）如图，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路．
（1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号）
（2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）

22．（8分）（2015•茂名）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（﹣2，﹣4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有有无数多个．
（1）若点M（2，a）是反比例函数y=（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式；
（2）函数y=3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由．

23．（8分）（2015•茂名）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：
①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：
时间（第x天） 1 3 6 10 …
日销售量（m件） 198 194 188 180 …
②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：
时间（第x天） 1≤x＜50 50≤x≤90
销售价格（元/件） x+60 100
（1）求m关于x的一次函数表达式；
（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？【提示：每天销售利润=日销售量×（每件销售价格﹣每件成本）】
（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．


六、灵动管理，超越自我（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
24．（8分）（2015•茂名）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．
（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．

25．（8分）（2015•茂名）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（﹣2，0），D（﹣8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．
（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；
（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．


捐款的数额（单位：元）
20
50
80
100
人数（单位：名）
6
7
4
3
广东省茂名市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个答案，其中只有一个是正确的）
1．（3分）（2015•茂名）|﹣3|等于（ ）
A． 3 B． ﹣3 C． D． ﹣
考点： 绝对值．
分析： 绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0．
解答： 解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣3|=﹣（﹣3）=3．故选A．
点评： 本题考查了绝对值的意义．

2．（3分）（2015•茂名）如图是一个正方体的平面展开图，折叠成正方体后与“建”字所在面相对的面的字是（ ）
A． 创 B． 教 C． 强 D． 市
考点： 专题：正方体相对两个面上的文字．
分析： 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解答： 解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“建”与“强”是相对面．
故选C．
点评： 本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．

3．（3分）（2015•茂名）下列各式计算正确的是（ ）
A． 5a+3a=8a2 B． （a﹣b）2=a2﹣b2 C． a3•a7=a10 D． （a3）2=a7
考点： 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．
分析： 利用幂的运算性质、合并同类项及完全平方公式进行计算后即可确定正确的选项．
解答： 解：A、5a+3a=8a，故错误；
B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故错误；
C、a3•a7=a10，正确；
D、（a3）2=a6，故错误．
故选C．
点评： 本题考查了幂的运算性质、合并同类项及完全平方公式，解题的关键是能够了解有关幂的运算性质，难度不大．

4．（3分）（2015•茂名）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是（ ）
A． 110° B． 90° C． 70° D． 50°
考点： 圆内接四边形的性质．
分析： 先根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠B=180°，即可解答．
解答： 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠B=180°，
∴∠D=180°﹣70°=110°，
故选：A．
点评： 本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．

5．（3分）（2015•茂名）在等腰三角形、平行四边形、直角梯形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． 等腰三角形 B． 平行四边形 C． 直角梯形 D． 圆
考点： 中心对称图形；轴对称图形．
专题： 计算题．
分析： 利用轴对称图形与中心对称图形的性质判断即可．
解答： 解：在等腰三角形、平行四边形、直角梯形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是圆．
故选D．
点评： 此题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

6．（3分）（2015•茂名）下列说法正确的是（ ）
A． 面积相等的两个三角形全等
B． 矩形的四条边一定相等
C． 一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等
D． 随机投掷一枚质地均匀的硬币，落地后一定是正面朝上
考点： 命题与定理．
分析： 直接根据全等三角形的判定定理、矩形的性质、旋转的性质以及概率的知识对各个选项进行判断即可．
解答： 解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，此选项错误；
B、矩形的对边相等，此选项错误；
C、一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等，此选项正确；
D、随机投掷一枚质地均匀的硬币，落地后不一定是正面朝上，此选项错误；
故选C．
点评： 本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定定理、矩形的性质、旋转的性质以及概率的知识，此题难度不大．

7．（3分）（2015•茂名）为了帮扶本市一名特困儿童，某班有20名同学积极捐款，他们捐款的数额如下表：
对于这20名同学的捐款，众数是（ ）
A． 20元 B． 50元 C． 80元 D． 100元
考点： 众数．
分析： 众数指一组数据中出现次数最多的数据，结合题意即可得出答案．
解答： 解：由题意得，所给数据中，50元出现了7次，次数最多，
即这组数据的众数为50元．
故选B．
点评： 此题考查了众数的定义及求法，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．

8．（3分）（2015•茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（ ）
A． 6 B． 5 C． 4 D． 3
考点： 角平分线的性质．
分析： 过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD，从而得解．
解答： 解：如图，
过点P作PE⊥OB于点E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，
∴PE=PD，
∵PD=6，
∴PE=6，
即点P到OB的距离是6．
故选：A．
点评： 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．

9．（3分）（2015•茂名）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ）
A． y= B． y=﹣2x﹣3 C． y=2x2+1 D． y=5x
考点： 二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 将（0，0）代入各选项进行判断即可．
解答： 解：A、当x=0时，y=无意义，不经过原点，故本选项错误；
B、当x=0时，y=3，不经过原点，故本选项错误；
C、当x=0时，y=1，不经过原点，故本选项错误；
D、当x=0时，y=0，经过原点，故本选项正确．
故选：D．
点评： 本题考查了一次函数图象、反比例函数图象及二次函数图象上点的坐标特征，注意代入判断，难度一般

10．（3分）（2015•茂名）张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加工5个零件，张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件？若设张三每小时经过这种零件x个，则下面列出的方程正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 根据每小时张三比李四多加工5个零件和张三每小时加工这种零件x个，可知李四每小时加工这种零件的个数，根据张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，列出方程即可．
解答： 解：设张三每小时加工这种零件x个，则李四每小时加工这种零件（x﹣5）个，
由题意得，=，
故选B．
点评： 本题考查的是列分式方程解应用题，根据题意准确找出等量关系是解题的关键．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）（2015•茂名）﹣8的立方根是 ﹣2 ．
考点： 立方根．
分析： 利用立方根的定义即可求解．
解答： 解：∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
点评： 本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．

12．（3分）（2015•茂名）一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是 六 边形．
考点： 多边形内角与外角．
分析： n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
解答： 解：这个正多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°=720°，
解得：n=6．
则这个正多边形的边数是六，
故答案为：六．
点评： 考查了多边形内角和定理，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解．

13．（3分）（2015•茂名）不等式x﹣4＜0的解集是 x＜4 ．
考点： 解一元一次不等式；不等式的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据不等式的性质移项后即可得到答案．
解答： 解：x﹣4＜0，
移项得：x＜4．
故答案为：x＜4．
点评： 本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质正确解一元一次不等式是解此题的关键．

14．（3分）（2015•茂名）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与C′重合．若AB=3，则C′D的长为 3 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据矩形的对边相等可得CD=AB，再根据翻折变换的性质可得C′D=CD，代入数据即可得解．
解答： 解：在矩形ABCD中，CD=AB，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠后点C和点C′重合，
∴C′D=CD，
∴C′D=AB，
∵AB=3，
∴C′D=3．
故答案为3．
点评： 本题考查了矩形的对边相等的性质，翻折变换的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

15．（3分）（2015•茂名）为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是 ．
考点： 有理数的乘方．
分析： 根据题目信息，设M=1+5+52+53+…+52015，求出5M，然后相减计算即可得解．
解答： 解：设M=1+5+52+53+…+52015，
则5M=5+52+53+54…+52016，
两式相减得：4M=52016﹣1，
则M=．
故答案为．
点评： 本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．

三、用心做一做（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（7分）（2015•茂名）计算：（﹣）﹣1﹣|﹣4|++（sin30°）0．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
分析： 本题涉及负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答： 解：（﹣）﹣1﹣|﹣4|++（sin30°）0
=﹣3﹣4+5+1
=﹣1．
点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

17．（7分）（2015•茂名）设y=ax，若代数式（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）化简的结果为x2，请你求出满足条件的a值．
考点： 整式的混合运算；平方根．
分析： 先利用因式分解得到原式（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）=（x+y）2，再把当y=ax代入得到原式=（a+1）2x2，所以当（a+1）2=1满足条件，然后解关于a的方程即可．
解答： 解：原式=（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）=（x+y）2，
当y=ax，代入原式得（1+a）2x2=x2，
即（1+a）2=1，
解得：a=﹣2或0．
点评： 本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．

18．（7分）（2015•茂名）补充完整三角形中位线定理，并加以证明：
（1）三角形中位线定理：三角形的中位线 平行于第三边，且等于第三边的一半 ；
（2）已知：如图，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，DE=BC．
考点： 三角形中位线定理．
分析： （1）根据三角形的中位线定理填写即可；
（2）延长DE到F，使FE=DE，连接CF，利用“边角边”证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠ECF，全等三角形对应边相等可得AD=CF，然后求出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．
解答： （1）解：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；
故答案为：平行于第三边，且等于第三边的一半；
（2）证明：如图，延长DE到F，使FE=DE，连接CF，
在△ADE和△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A=∠ECF，AD=CF，
∴CF∥AB，
又∵AD=BD，
∴CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF∥BC，DF=BC，
∴DE∥BC，DE=BC．
点评： 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形和平行四边形．

四、沉着冷静，缜密思考（本大题共2小题，每小题7分，共14分）
19．（7分）（2015•茂名）某校为了丰富学生的第二课堂，对学生参与演讲、舞蹈、书法和摄影活动的兴趣情况进行调查，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中最感兴趣的一项），对调查结果进行统计后，绘制了如下两个统计图：
（1）此次调查抽取的学生人数m= 150 名，其中选择“书法”的学生占抽样人数的百分比n= 30% ；
（2）若该校有3000名学生，请根据以上数据估计该校对“书法”最感兴趣的学生人数．
考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析： （1）利用扇形统计图和条形统计图得出参与演讲的人数和所占百分比，进而求出总人数，再求出参加书法的人数，进而求出占抽样人数的百分比；
（2）利用（1）中所求得出该校对“书法”最感兴趣的学生人数．
解答： 解：（1）由题意可得：此次调查抽取的学生人数m=30÷20%=150，
选择“书法”的学生占抽样人数的百分比n=（150﹣30﹣60﹣15）÷150×100%=30%；
故答案为：150，30%；
（2）由（1）得：3000×30%=900（名），
答：该校对“书法”最感兴趣的学生人数为900名．
点评： 此题主要考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用，根据已知图形得出正确信息是解题关键．

20．（7分）（2015•茂名）在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．
（1）将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；
（2）现在再将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是，请求出后来放入袋中的红球的个数．
考点： 概率公式．
分析： （1）用黄球的个数除以所有球的个数即可求得概率；
（2）根据概率公式列出方程求得红球的个数即可．
解答： 解：（1）∵共10个球，有2个黄球，
∴P（黄球）==；
（2）设有x个红球，根据题意得：=，
解得：x=5．
故后来放入袋中的红球有5个．
点评： 此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

五、满怀信心，再接再厉（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）（2015•茂名）如图，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路．
（1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号）
（2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）
考点： 解直角三角形的应用．
专题： 应用题．
分析： （1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD与AD的长，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出BD的长，由AD+DB求出AB的长即可；
（2）在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的长，由AC+CB﹣AB即可求出输电线路比原来缩短的千米数．
解答： 解：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，
在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠CAD=20×=10（千米），AD=AC•cs∠CAD=20×=10（千米），
在Rt△BCD中，BD===10（千米），
∴AB=AD+DB=10+10=10（+1）（千米），
则新铺设的输电线路AB的长度10（+1）（千米）；
（2）在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC==10（千米），
∴AC+CB﹣AB=20+10﹣（10+10）=10（1+﹣）（千米），
则整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了10（1+﹣）千米．
点评： 此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

22．（8分）（2015•茂名）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（﹣2，﹣4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有有无数多个．
（1）若点M（2，a）是反比例函数y=（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式；
（2）函数y=3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．
专题： 新定义．
分析： （1）根据“理想点”，确定a的值，即可确定M点的坐标，代入反比例函数解析式，即可解答；
（2）假设函数y=3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x），则有3mx﹣1=2x，整理得：（3m﹣2）x=1，分两种情况讨论：当3m﹣2≠0，即m≠时，解得：x=，当3m﹣2=0，即m=时，x无解，即可解答．
解答： 解：∵点M（2，a）是反比例函数y=（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，
∴a=4，
∵点M（2，4）在反比例函数y=（k为常数，k≠0）图象上，
∴k=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为．
（2）假设函数y=3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x），
则有3mx﹣1=2x，
整理得：（3m﹣2）x=1，
当3m﹣2≠0，即m≠时，解得：x=，
当3m﹣2=0，即m=时，x无解，
综上所述，当m≠时，函数图象上存在“理想点”，为（）；
当m=时，函数图象上不存在“理想点”．
点评： 本题考查了反比例函数图形上点的坐标特征，解决本题的关键是理解“理想点”的定义，确定点的坐标．

23．（8分）（2015•茂名）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：
①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：
时间（第x天） 1 3 6 10 …
日销售量（m件） 198 194 188 180 …
②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：
时间（第x天） 1≤x＜50 50≤x≤90
销售价格（元/件） x+60 100
（1）求m关于x的一次函数表达式；
（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？【提示：每天销售利润=日销售量×（每件销售价格﹣每件成本）】
（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）根据待定系数法解出一次函数解析式即可；
（2）设利润为y元，则当1≤x＜50时，y=﹣2x2+160x+4000；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论；
（3）直接写出在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元．
解答： 解：（1）∵m与x成一次函数，
∴设m=kx+b，将x=1，m=198，x=3，m=194代入，得：
，
解得：．
所以m关于x的一次函数表达式为m=﹣2x+200；
（2）设销售该产品每天利润为y元，y关于x的函数表达式为：，
当1≤x＜50时，y=﹣2x2+160x+4000=﹣2（x﹣40）2+7200，
∵﹣2＜0，
∴当x=40时，y有最大值，最大值是7200；
当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000，
∵﹣120＜0，
∴y随x增大而减小，即当x=50时，y的值最大，最大值是6000；
综上所述，当x=40时，y的值最大，最大值是7200，即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元；
（3）在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元．
点评： 本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题．

六、灵动管理，超越自我（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
24．（8分）（2015•茂名）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．
（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．
考点： 相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
专题： 动点型．
分析： （1）根据题意得出BM，CN，易得BN，BA，分类讨论当△BMN∽△BAC时，利用相似三角形的性质得，解得t；当△BMN∽△BCA时，，解得t，综上所述，△BMN与△ABC相似，得t的值；
（2）过点M作MD⊥CB于点D，利用锐角三角函数易得DM，BD，由BM=3tcm，CN=2tcm，易得CD，利用三角形相似的判定定理得△CAN∽△DCM，由三角形相似的性质得，解得t．
解答： 解：（1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm，
∴BN=（8﹣2t）cm，BA==10（cm），
当△BMN∽△BAC时，，
∴，解得：t=；
当△BMN∽△BCA时，，
∴，解得：t=，
∴△BMN与△ABC相似时，t的值为或；
（2）过点M作MD⊥CB于点D，由题意得：
DM=BMsinB=3t=（cm），BD=BMcsB=3t=t（cm），
BM=3tcm，CN=2tcm，
∴CD=（8﹣）cm，
∵AN⊥CM，∠ACB=90°，
∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，
∴∠CAN=∠MCD，
∵MD⊥CB，
∴∠MDC=∠ACB=90°，
∴△CAN∽△DCM，
∴，
∴=，解得t=．
点评： 本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．

25．（8分）（2015•茂名）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（﹣2，0），D（﹣8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．
（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；
（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入二次函数的解析式即可得到结果；
（2）由y=x2+x+4=（x+5）2﹣，得到顶点坐标E（﹣5，﹣），求得直线CE的函数解析式y=x+，在y=x+中，令x=0，y=，得到G（0，），如图1，连接AB，AC，AG，得BG=OB﹣OG=4﹣=，CG=，得到BG=CG，AB=AC，证得△ABG≌△ACG，得到∠ACG=∠ABG，由于⊙A与y轴相切于点B（0，4），于是得到∠ABG=90°，即可求得结论；
（3）如图2，连接BD，BF，DF，设F（t，t2+t+4），过F作FN∥y轴交BD于点N，求得直线BD的解析式为y=x+4，得到点N的坐标为（t，t+4），于是得到FN=t+4﹣（t2+t+4）=﹣t2﹣2t，推出S△DBF=S△DNF+S△BNF=OD•FN=（﹣t2﹣2t）=﹣t2﹣8t=﹣（t+4）2+16，即可得到结论．
解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，
把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入得：，
解得．
∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y=x2+x+4；
（2）∵y=x2+x+4=（x+5）2﹣，
∴E（﹣5，﹣），
设直线CE的函数解析式为y=mx+n，
直线CE与y轴交于点G，则，
解得．
∴y=x+，
在y=x+中，令x=0，y=，
∴G（0，），
如图1，连接AB，AC，AG，
则BG=OB﹣OG=4﹣=，
CG===，
∴BG=CG，AB=AC，
在△ABG与△ACG中，
，
∴△ABG≌△ACG，
∴∠ACG=∠ABG，
∵⊙A与y轴相切于点B（0，4），
∴∠ABG=90°，
∴∠ACG=∠ABG=90°
∵点C在⊙A上，
∴直线CE与⊙A相切；
（3）存在点F，使△BDF面积最大，
如图2连接BD，BF，DF，设F（t，t2+t+4），
过F作FN∥y轴交BD于点N，
设直线BD的解析式为y=kx+d，则，
解得．
∴直线BD的解析式为y=x+4，
∴点N的坐标为（t，t+4），
∴FN=t+4﹣（t2+t+4）=﹣t2﹣2t，
∴S△DBF=S△DNF+S△BNF=OD•FN=（﹣t2﹣2t）=﹣t2﹣8t=﹣（t+4）2+16，
∴当t=﹣4时，S△BDF最大，最大值是16，
当t=﹣4时，t2+t+4=﹣2，
∴F（﹣4，﹣2）．
点评： 本题考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，切线的判定，三角形面积的求法，勾股定理，根据题意正确的画出图形是解题的关键．

捐款的数额（单位：元）
20
50
80
100
人数（单位：名）
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7
4
3