沪科版数学八上同步提升练习专题16.3 期中期末专项复习之三角形的边角关系、命题与证明（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10847" 【考点1 三角形的个数】 PAGEREF _Tc10847 \h 1
\l "_Tc1368" 【考点2 判断能否组成三角形】 PAGEREF _Tc1368 \h 2
\l "_Tc15485" 【考点3 确定第三边的取值范围】 PAGEREF _Tc15485 \h 3
\l "_Tc15759" 【考点4 利用三角形的三边关系化简或证明】 PAGEREF _Tc15759 \h 3
\l "_Tc2761" 【考点5 三角形的三边关系的应用】 PAGEREF _Tc2761 \h 4
\l "_Tc9726" 【考点6 根据三角形的中线求面积】 PAGEREF _Tc9726 \h 5
\l "_Tc12072" 【考点7 根据三角形的中线求长度】 PAGEREF _Tc12072 \h 6
\l "_Tc6395" 【考点8 与三角形的高有关的计算】 PAGEREF _Tc6395 \h 7
\l "_Tc19067" 【考点9 网格中的三角形】 PAGEREF _Tc19067 \h 8
\l "_Tc11334" 【考点10 三角形的稳定性】 PAGEREF _Tc11334 \h 9
\l "_Tc6772" 【考点11 与角平分线有关的三角形内角和问题】 PAGEREF _Tc6772 \h 10
\l "_Tc29162" 【考点12 与平行线有关的三角形内角和问题】 PAGEREF _Tc29162 \h 12
\l "_Tc12148" 【考点13 与折叠有关的三角形内角和问题】 PAGEREF _Tc12148 \h 13
\l "_Tc27973" 【考点14 三角形的外角性质的运用】 PAGEREF _Tc27973 \h 15
\l "_Tc18932" 【考点15 命题与定理】 PAGEREF _Tc18932 \h 16
\l "_Tc17716" 【考点16 推理与论证】 PAGEREF _Tc17716 \h 17
\l "_Tc25725" 【考点17 反证法】 PAGEREF _Tc25725 \h 18
【考点1 三角形的个数】
【例1】（2022·江苏·无锡市东林中学七年级期中）（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个；
（2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数．
【变式1-1】（2022·河南南阳·七年级期末）如图所示，点D，E分别是△ABC的边BC，AB上的点，分别连结AD，DE，则图中的三角形一共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式1-2】（2022·重庆巫溪·八年级期末）如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（ ）
A．10B．15C．21D．28
【变式1-3】（2022·江苏·八年级）如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画___________个直角三角形．
【考点2 判断能否组成三角形】
【例2】（2022·江苏·涟水县麻垛中学七年级阶段练习）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【变式2-1】（2022·四川·渠县第二中学七年级阶段练习）下列各组三条线段中，不是三角形三边长的是（ ）
A．2cm，2cm，3cmB．3cm，8cm，10cm
C．三条线段之比为 1：2：3D．3a，5a，4a（a＞0）
【变式2-2】（2022·湖南·八年级阶段练习）在下列长度的四根木棒中，能与、长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2022·江苏·江阴市夏港中学七年级阶段练习）长度为2cm、3 cm、4 cm、5 cm、6 cm的五条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．7个
【考点3 确定第三边的取值范围】
【例3】（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学八年级阶段练习）已知三角形三边的长度分别是2m，8m和xm，若x是奇数，则x可能等于（ ）
A．5mB．9mC．11mD．13m
【变式3-1】（2022·河南新乡·七年级期末）一个三角形的两条边的长为5和7，若三角形周长为偶数，那么第三边的长可能是（ ）
A．2B．4C．7D．14
【变式3-2】（2022·河北·中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1B．2C．7D．8
【变式3-3】（2022·全国·八年级专题练习）一个三角形的3边长分别是、，，它的周长不超过39cm．则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【考点4 利用三角形的三边关系化简或证明】
【例4】（2022·湖南·衡阳市珠晖区英发学校七年级期末）a，b，c是三角形的三边长，化简后等于（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2022·全国·八年级专题练习）已知：△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AD+BD＞（AB+AC）．
【变式4-2】（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：
(1)BD＋CD＜AB＋AC；
(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．
【变式4-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．
【考点5 三角形的三边关系的应用】
【例5】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间距离最大为（ ）
A．10B．8C．7D．5
【变式5-1】（2022·湖北·公安县教学研究中心八年级阶段练习）如图，为了估计池塘两岸A，B的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝12 m，PB＝8 m，那么A，B间的距离不可能是（ ）
A．12 mB．15 mC．18 mD．21 m
【变式5-2】（2022·广东·饶平县三饶中学八年级期中）如图，四个工厂A、B、C、D，试找一个供应站M，使它到四个工厂的距离之和为最小．
【变式5-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，加油站和商店在马路的同一侧，到的距离大于到的距离，米．一个行人在马路上行走，当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于______米．
【考点6 根据三角形的中线求面积】
【例6】（2022·山东·新泰市羊流镇初级中学七年级阶段练习）如图，在△ABC中，已知点D、E分别为边BC、AD上的中点，且4，则的值为（ ）
A．2B．1C．0.5D．0.25
【变式6-1】（2022·贵州省三穗中学八年级期中）如图，D、E分别是BC、AC的中点，，则的面积为（ ）
A．4B．8C．10D．12
【变式6-2】（2022·四川·麓山师大一中七年级期中）如图，在中、为上的点，且为的中点，，连接，是的中点，连接、、，若，则的面积是______．
【变式6-3】（2022·江苏·宜兴外国语学校七年级阶段练习）设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……， 依此类推，若S5=则a的值为（ ）
A．1B．2C．6D．3
【考点7 根据三角形的中线求长度】
【例7】（2022·山东·宁阳县第十一中学七年级阶段练习）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是__________．
【变式7-1】（2022·四川·金堂县淮口中学校七年级期中）如图，在ABC中，AD是边BC上的中线，ABD的周长比ADC的周长多3，AB与AC的和为13，则AB的长为______．
【变式7-2】（2022·四川·富顺第三中学校八年级期中）在等腰△ABC 中，AB=AC，中线 BD将这个三角形的周长分为 15和12 两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7B．10C．7 或 11D．7 或 10
【变式7-3】（2022·吉林长春·七年级期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多1，与的和为11．
(1)求、的长．
(2)求边的取值范围．
【考点8 与三角形的高有关的计算】
【例8】（2022·山东·临沭县第三初级中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的高且AB＝2，BC＝4，AD＝3；则CE＝_____．
【变式8-1】（2022·广东·佛山市顺德养正学校七年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点D在点E的左侧，已知AE=2cm，DE=1cm，cm2，则CE= _______cm
【变式8-2】（2022·重庆大学城第三中学校七年级期中）如图，△ABC中，AE，CD是△ABC的两条高，AB＝6，CD＝3．
(1)请画出AE，CD；
(2)求△ABC的面积；
(3)若AE＝4，求BC的长．
【变式8-3】（2022·全国·八年级课时练习）在中，，，于D．
（1）如图①，已知于E，求证：
（2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作于E，于F，求证：
（3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系．
【考点9 网格中的三角形】
【例9】（2022·江苏·靖江市滨江学校七年级阶段练习）如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到△．
(1)补全△，利用网格点和直尺画图；
(2)图中与的关系是： ；
(3)画出边上的高线；
(4)画出中边上的中线．
【变式9-2】（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）如图，在边长为个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点的对应点．
(1)画出；
(2)过点作的垂线段，垂足为点．
(3)连接、，那么与的关系是______．线段扫过的图形的面积为______．
【变式9-3】（2022·江苏·宜兴市和桥镇第二中学七年级期中）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．
(1)画出的边上的高，垂足为；
(2)求出的面积为_________；
(3)图中，能使的格点，共有_________个．
【考点10 三角形的稳定性】
【例10】（2022·广东·东莞市松山湖莞美学校八年级阶段练习）下列图形中有稳定性的是（ ）
A．正方形B．长方形C．直角三角形D．平行四边形
【变式10-1】（2022·湖北武汉·八年级期中）下列哪个图形具有稳定性（ ）
A．B．C．D．
【变式10-2】（2022·广东揭阳·七年级期末）木工师傅要使一个四边形木架（用四根木条钉成）不变型，至少要再钉上n根木条，这里的n=（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式10-3】（2022·全国·七年级课时练习）要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上________根木条，所依据的原理是________．
【考点11 与角平分线有关的三角形内角和问题】
【例11】（2022·江苏·涟水县麻垛中学七年级阶段练习）【认识概念】
如图1，在△ABC中，若∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则AD，AE叫做∠BAC的“三分线”．其中，AD是“近AB三分线”，AE是“远AB三分线”．
【理解应用】
(1)在△ABC中，，若∠A的三分线AD与∠B的角平分线BE交于点P，则∠APB＝____________；
(2)如图2，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC的近AB三分线和∠ACB近AC三分线，若BO⊥CO，求∠A的度数；
【拓展应用】
(3)如图3，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC的远BC三分线和∠ACB远BC三分线，且，直线PQ过点O分别交AC、BC于点P、Q，请直接写出∠1﹣∠2的度数（用含m的代数式表示）.
【变式11-1】（2022·江苏扬州·七年级期末）如图：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平线，∠A=40º，∠BPC=________．
【变式11-2】（2022·全国·八年级专题练习）（1）如图1，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠P的度数是 ．
（2）如图2，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠EBC和∠FCD，则∠P的度数是 ．
（3）如图3，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACD，求∠P的度数．
【变式11-3】（2022·广东韶关实验中学七年级期中）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．
(1)如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；
(2)如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数．
(3)如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH＝∠ECH请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系．
【考点12 与平行线有关的三角形内角和问题】
【例12】（2022·辽宁盘锦·七年级期末）（1）问题情境：如图1，，，，求的度数；
（2）问题迁移：在（1）的条件下，如图2，的角平分线与的角平分线交于点F，则的度数为多少？请说明理由；
（3）问题拓展：如图3，，点P在射线上移动时（点P与点O，M，D三点不重合），记，，请直接写出与，之间的数量关系．
【变式12-1】（2022·山东德州·七年级期中）如图所示，，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【变式12-2】（2022·江苏南通·七年级期末）在中，CD平分交AB于点D，点E是射线AB上的动点（不与点D重合），过点E作交直线CD于点F，的角平分线所在的直线与射线CD交于点G．
(1)如图1，点E在线段AD上运动．
①若，，则______°；
②若，求的度数；
(2)若点E在射线DB上运动时，探究与之间的数量关系，请直接写出答案．
【变式12-3】（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E，平分，交的平分线于点P，与相交于点G，的平分线与相交于点Q．
(1)若，则____________，____________；
(2)若，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若，则____________，____________；（用含x的代数式表示）；
(4)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数．
【考点13 与折叠有关的三角形内角和问题】
【例13】（2022·江苏·睢宁县桃园中学七年级期中）如图所示，在四边形纸片ABCD中，∠A=80°，∠B=70°，将纸片沿着MN折叠，使C，D分别落在直线AB上的，处，则∠+∠等于（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【变式13-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，，在边上取点，使得，连接．点、分别为、边上的点，且，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为_______．

【变式13-2】（2022·全国·八年级课时练习）直线与直线垂直相交于，点在射线上运动，点在射线上运动，连接．
（1）如图1，已知，分别是和角的平分线，
①点，在运动的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的大小．
②如图2，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则_______；如图3，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则________．
（2）如图4，延长至，已知，的角平分线与的角平分线交其延长线交于，，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数．
【变式13-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图1，三角形中，．点E是边上的定点，点D在边上运动．沿折叠三角形，点C落在点G处．
（1）如图2，若，求的度数．
（2）如图3，若，求的度数．
（3）当三角形的三边与三角形的三边有一组边平行时，直接写出的度数
【考点14 三角形的外角性质的运用】
【例14】（2022·四川·渠县第二中学七年级阶段练习）如图，在△ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点，得；∠和∠的平分线交于点，得∠；……；∠和的平分线交于点，得∠，若∠A＝，则 ∠=_________.（ 用含的代数式表示）
【变式14-1】（2022·新疆·阿瓦提县拜什艾日克镇中学八年级阶段练习）如图，一副具有30°和45°角的直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．40°B．45°C．65°D．75°
【变式14-2】（2022·江苏泰州·七年级期中）已知：如图1，在四边形中，是四边形的外角．
(1)求的度数；
(2)直线分别经点B，D，且分别平分，
①如图2，若，求的度数；
②若与相交于点M，设 ，试探究与的数量关系，并说明理由．
【变式14-3】（2022·江苏·阜宁县实验初级中学七年级阶段练习）【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；
【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数；
解：∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的结论得：
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P =(∠B+∠D)=26°．
①【问题探究】
如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想的度数，并说明理由．
②【拓展延伸】
在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P），并说明理由．
【考点15 命题与定理】
【例15】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期末）下列命题是真命题的个数是（ ）
①内错角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等；④若，则；⑤若，则．⑥从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式15-1】（2019·内蒙古巴彦淖尔·一模）下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角.
其中原命题与其逆命题都是真命题的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
【变式15-2】（2022·广东·佛山市南海区桂城街道桂江第一初级中学八年级阶段练习）请写出“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题：__________，此逆命题是__________（“真”“假”）命题．
【变式15-3】（2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角
(1)写出这个命题的逆命题；
(2)判断这个逆命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例．
【考点16 推理与论证】
【例16】（2022·湖南长沙·一模）将12张卡片分给甲、乙、丙、丁4个人，每人3张，卡片分三种，红卡片值是5分、绿卡片值是2分、黄卡片值是1分，结果甲得6分，乙得11分，丙得9分，已知黄卡片的张数不超过红卡片的张数，那么下列判断错误的是（ ）
A．乙同学没有拿绿卡B．丁同学可能得4分
C．丁同学可能同时拿三种花色卡片D．绿卡的数量一定多于红卡的数量
【变式16-1】（2022·山东烟台·七年级期中）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强.A说：“如果我进入，那么B也进入.”B说：“如果我进入，那么C也进入.”C说：“如果我进入，那么D也进入.”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（ ）
A．A，B，CB．B，C，DC．C，D，ED．D，E，A
【变式16-2】（2022·江苏·宿迁青华中学七年级阶段练习）甲：“我没有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”．若四个人里面只有一个人说了真话，则小偷是_____．
【变式16-3】（2019·浙江·七年级阶段练习）电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个广场下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的广场（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“”表示它的周围八个广块中仅有个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定不是雷的有________，一定是雷的有________．（请填入方块上的字母）

【考点17 反证法】
【例17】（2021·河南·中原领航实验学校八年级阶段练习）利用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角．
【变式17-1】（2022·浙江·兰溪市实验中学八年级期中）若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时 ，则首先应该假设这个四边形中（ ）
A．至少有一个角是钝角或直角B．没有一个角是锐角
C．没有一个角是钝角或直角D．每一个角是钝角或直角
【变式17-2】（2021·宁夏·贺兰县教学研究室八年级期中）已知：如图，直线，被所截，，是同位角，且．求证：不平行于．
【变式17-3】（2022·全国·八年级）用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”
证明：假设所求证的结论不成立，即
∠A 60°，∠B 60°，∠C 60°，
则∠A+∠B+∠C＞ ．
这与 相矛盾．
∴ 不成立．
∴ ．