练习4 竖直面与水平面的圆周运动问题—2025年高考物理压轴题专项通关秘籍（全国通用）

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1、圆锥摆模型
1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。
2．受力特点：摆球质量为m，只受两个力即竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力FT。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示（也可以理解为拉力的竖直分力与摆球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。
4．运动特点：摆长为l，摆线与竖直方向的夹角为θ的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O，圆周运动的轨道半径是r=lsinθ
向心力 F合=mgtanθ=man=mω2lsinθ=mv2/(lsinθ)
摆线的拉力 FT=mg/csθ
【讨论】：
(1)当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据csθ=g/(ω2l)可知，若角速度ω越大，则θ越大，摆线拉力FT=mg/csθ也越大，向心加速度an=gtanθ也越大，线速度v=ωr =glsinθtanθ也越大。
结论是：同一圆锥摆，在同一地点，若θ越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，转动的越快，运动的也越快，。
(2)当lcsθ为定值时（lcsθ=ℎ为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力FT=mg/csθ，向心力F合=mgtanθ，向心加速度an=gtanθ，角速度ω=g/ℎ，线速度v=ωr=gℎtanθ。
结论是：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但θ角大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。
2、锥形、球形容器模型
一．圆锥斗
1.结构特点：内壁为圆锥的锥面，光滑，轴线垂直于水平面且固定不动，可视为质点的小球紧贴着内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。
θ
·
2.受力特点：小球质量为m，受两个力即竖直向下的重力mg和垂直内壁沿斜向上方向的支持力FN。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示
3.运动特点：轴线与圆锥的母线夹角θ，小球的轨道面距地面高度ℎ，圆周轨道的圆心是O，轨道半径是r=ℎtanθ, 则有
向心力Fn=mg/tanθ=man=mω2ℎtanθ=mv2/(ℎtanθ).
支持力FN=mg/sinθ.
由此得an=g/tanθ，ω=gℎ(tanθ)2，v=gℎ。
结论是：在同一地点，同一锥形斗内在不同高度的水平面内做匀速圆周运动的同一小球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，则转动的越慢，而运动的越快。
二．圆碗
3、圆盘模型
3、竖直面绳、杆模型
4、常用公式
（多选）（2024•甘肃模拟）如图所示，可视为质点、质量为M的物块用长为L的细绳拴接放在转盘上，细绳的另一端固定在通过转盘轴心的竖直杆上，细绳刚好伸直且与竖直方向的夹角为α。已知物块与转盘之间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanα，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现让整个装置由静止开始缓慢的加速转动起来。则下列说法正确的是（ ）
A．整个过程中，细绳的拉力不可能为零
B．从开始转动到细绳对物块刚有作用力的过程，转盘对物块所做的功为12μMgLsinα
C．物块能在转台上随转台一起转动的最大角速度为gLsinα
D．细绳对物块拉力的瞬时功率始终为零
（2023春•清江浦区校级月考）如图所示，金属环M、N用不可伸长的细线连接，分别套在水平粗糙细杆和竖直光滑细杆上，当整个装置以竖直杆为轴以不同大小的角速度匀速转动时，两金属环相对杆始终不动，下列判断正确的是（ ）
A．转动的角速度越大，细线中的拉力越大
B．转动的角速度越大，环N与竖直杆之间的弹力越大
C．转动的角速度越大，环M与水平杆之间的摩擦力越大
D．转动的角速度不同，环M与水平杆之间的弹力仍相等
（2023秋•桃城区校级月考）如图所示，两个完全相同质量均为m的橡皮擦a、b（均可视为质点）放在水平圆盘上，a与竖直转轴OO′（图中O′点未画出）的距离为l，b与竖直转轴的距离为1.5l，橡皮擦与圆盘的最大静摩擦力为橡皮擦所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法中正确的是（ ）
A．a、b所受摩擦力大小始终相等
B．a一定比b先开始滑动
C．ω=2kg3l是b开始滑动的临界角速度
D．当ω=3kg4l时，a所受摩擦力的大小为kmg
（2023•桃城区校级开学）如图所示，O为水平转盘的圆心，物块A和B质量均为m，中间用轻绳连接在一起，A与竖直转轴之间也用轻绳连接，两绳恰好且能承受的张力足够大，A、B随着圆盘转动时，始终与圆盘保持相对静止，已知A与O点距离为R，B与O点距离为2R，A、B与转盘之间动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，水平转盘的角速度ω从零开始缓慢增大的过程中，有（ ）
A．当ω=2μgR时，AB绳开始有张力
B．当ω=μgR时，AB绳开始有张力
C．当ω=2μg3R时，OA绳开始有张力
D．当ω=μgR时，OA绳开始有张力
（2023春•沙坪坝区校级期末）如图所示，叠放在水平圆形转台上的物体A、B能随转台在半径r的圆周上运动，A、B质量均为m，A与B、B与转台间的动摩擦因数分别为0.2、0.3。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．B对A的摩擦力一定为0.2mg
B．在转台的角速度不断增大的过程中，A先相对滑动被甩出
C．在转台的角速度不断增大的过程中，A受到的摩擦力一定指向圆心
D．A、B能随转台一起转动的最大角速度为0.3gr
（2023春•重庆期末）如图所示的装置中，小木块在摩擦力的作用下随水平转盘一起运动。当转速逐渐增大到某值时木块相对转盘滑动。下列图像中能大致反映小木块离开转盘前所受摩擦力大小与转盘转速间关系的是（最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力）（ ）
A．B．
C．D．
（2023秋•北碚区校级期中）如图所示，固定在竖直面内的粗糙轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，BC段圆心为O，最高点为C，A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。质量为m的小球从A点以初速度v0=5gR冲上轨道，能恰好沿轨道运动到C点。若小球所受阻力大小恒定，下列说法正确的是（ ）
A．小球在C点受到轨道的支持力大小为0
B．小球从A到C的过程中，机械能减少了52mgR
C．小球从A到C的过程中，克服了轨道的阻力做功12mgR
D．若要让小球从C点脱离轨道，则至少要将小球的初速度v0增大到2gR
（2023秋•郫都区校级月考）如图所示，一长为0.1m的轻杆的一端固定在位于O点的水平转轴上，另一端固定一质量为0.1kg的小球（可视为质点），轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，P是圆周上的最高点，Q为最低点。已知重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．当小球运动到与O点等高的水平位置时，杆对小球的作用力为零
B．若小球刚好能经过最高点P，则此时杆对小球的作用力为零
C．若小球经过P点时杆对小球的作用力大小等于0.36N，则此时小球的速度大小一定等于0.8m/s
D．若小球经过Q点时杆对小球的作用力大小等于5N，则此时小球的速度大小一定等于2m/s
（2023秋•郫都区校级月考）如图甲，固定在竖直面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N点时的速率vN，最高处装有力的传感器M，可测出球经过M点时对管道作用力F（竖直向上为正），用同一小球以不同的初速度重复实验，得到F与vN2的关系图像如图乙，c为图像与横轴交点坐标，b为图像延长线与纵轴交点坐标，重力加速度为g，则下列说法中不正确的是（ ）
A．若小球经过N点时满足vN2=c，则经过M点时对轨道无压力
B．当小球经过N点时满足vN2=2c，则经过M点时对内管道壁有压力
C．小球做圆周运动的半径为c5g
D．小球质量m=−b5g
（2023春•浉河区校级期末）如图，在竖直平面内有一个半径为R且光滑的四分之一圆弧轨道AB，轨道下端B与水平面CD相切，BC光滑且长度大于R，C点右边粗糙程度均匀且足够长。现用手捏住一根长为R4的匀质细杆的上端，使杆下端与A点等高，然后由静止释放杆子，让杆子保持沿轨道内下滑。不计空气阻力及杆与圆弧轨道的撞击，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．杆子前端到达C点时的速度大小为5gR2
B．杆子前端在过C点后，一直做匀减速运动
C．杆子前端在过C点后，滑行一段距离后停下来，在此过程中，若将杆子分成任意两段，其前一段对后一段的作用力大小不变
D．若杆子前端在过C点后，滑行s距离后停下，且s＞R，杆子与粗糙平面间的动摩擦因数为9R8s−R
（2023春•芜湖期末）如图所示，在同一竖直平面内两正对着的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离x，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动。今在最低点与最高点各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来。当轨道距离x变化时，测得两点压力差ΔFN与距离x的关系图像如右图所示。不计空气阻力，g取10m/s2。则可判断（ ）
A．小球的质量为1kg
B．相同半圆光滑轨道的半径为0.2m
C．若小球在最低点B的速度为20m/s，小球沿光滑轨道恰能通过A点，则x为15m
D．若小球在最低点B的速度为20m/s且x为0，则小球运动到A点时的速度为15m/s
（2023•山东模拟）如图所示，水平机械臂BC固定在竖直转轴CD上，B处固定一与BC垂直的光滑水平转轴，轻杆AB套在转轴上。轻杆可在竖直面内转动，其下端固定质量为m的小球，轻杆和机械臂的长度均为L，开始小球静止，缓慢增大竖直轴转动的角速度，直至杆与竖直方向的夹角为37°，已知sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，重力加速度为g，则（ ）
A．此时小球的角速度大小为5g4L
B．此时小球的线速度大小为3gL2
C．此过程中杆对小球做的功为45mgL
D．此过程中杆对小球做的功为35mgL
（2023春•太康县校级期中）如图所示，质量均为m的小物块A、B分别置于正方形水平薄板abcd边缘上的a、e两点，e为ab边中点，薄板绕过中心的竖直轴转动。已知薄板边长为l，A与B、板与B间的动摩擦因数为μ，A与板间的动摩擦因数为23μ。若两小物块均可视为质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．若A、B均与板相对静止，薄板转动的最大角速度为μg3l
B．若A、B均与板相对静止，薄板转动的最大角速度为2μgl
C．将B叠放在a处的A上，若A、B均能与板相对静止，薄板转动的最大角速度为2μgl
D．将B叠放在a处的A上，若A、B均能与板相对静止，薄板转动的最大角速度为2μg3l
（2023秋•碑林区校级月考）如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以定角速度匀速转动，一质量为m的小物块（可视为质点）落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，小物块与陶罐内壁间的动摩擦因数为μ，且它和O点的连线与OO′之间的夹角为θ，转动角速度为ω，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．当ω2=gRcsθ时，小物块与陶罐内壁间的弹力为mgcsθ
B．当ω2=gRcsθ时，小物块与陶罐内壁间的弹力为mgcsθ
C．当ω2=gRcsθ时，小物块与陶罐内壁间的摩擦力沿罐壁向上
D．当ω2=2g(sinθ+μcsθ)Rsin2θ时，小物块将向陶罐上沿滑动
（2020秋•南岗区校级月考）如图所示，两个可视为质点的相同的木块A和B放在水平转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动。开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（ ）
A．当ω＞kg2L时，A、B相对于转盘会滑动
B．当kg2L＜ω＜2kg3L时，绳子一定有弹力，且A、B相对于转盘静止
C．当ω在kg2L＜ω＜2kg3L范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．当ω在0＜ω＜2kg3L范围内增大时，A所受摩擦力大小先增大后减小
（2023春•南昌期末）如图所示，质量为mA、mB的物体A、B用轻绳连接放在水平圆盘上，A、B距圆盘中心转轴距离相等，此时细线伸直且恰无张力，A、B与圆盘间动摩擦因数分别为μA、μB。若圆盘从静止开始转动，且在角速度ω缓慢增大（A、B与圆盘仍保持相对静止）的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．无论μA、μB大小关系如何，A、B一定同时达到最大静摩擦力
B．当μA＝μB，mA＞mB时，A先达到最大静摩擦力
C．当μA＝μB，mA＞mB时，随角速度的缓慢增大，A、B将向B的一侧发生滑动
D．当μA＞μB，mA＞mB时，随角速度的缓慢增大，B的摩擦力方向先指向圆心后背离圆心
（多选）（2023春•青神县校级期中）如图所示，水平转台两侧分别放置A、B两物体，A质量为m，B质量为3m，到转轴OO'的距离分别为2L、L，A、B两物体间用长度为3L的轻绳连接，绳子能承受的拉力足够大，A、B两物体与水平转台间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。开始时绳刚好伸直且无张力，当水平转台转动的角速度由零逐渐缓慢增大，直到A、B恰好相对于转台滑动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当转台转动的角速度大于μg2L时，细绳上可能没有拉力
B．当转台转动的角速度大于μg2L时，A可能不受摩擦力
C．整个过程中，A与转台间的摩擦力先增大到最大静摩擦力后保持不变
D．整个过程中，B与转台间的摩擦力先增大到最大静摩擦力后保持不变
（2023春•玉林期末）伴随国民物质文化生活的日益丰富，大众的健康意识不断增强，对膝盖损耗较小的骑行运动越来越受欢迎。如图1中的气嘴灯是下端安装在自行车的气嘴上的饰物，骑行时会自动发光，炫酷异常。一种气嘴灯的感应装置结构如图2所示，一重物套在光滑杆上，并与上端固定在A点的弹簧连接，弹簧处于拉伸状态，触点M与触点N未接触。当车轮转动，弹簧再次拉伸，当重物上的触点M与触点N接触，电路连通，LED灯就会发光。关于此灯下面说法中正确的是（ ）
A．停车时也会发光，只是灯光较暗
B．骑行达到一定速度值时灯才会亮
C．无论车轮转多快，气嘴灯都无法在圆周运动的顶端发亮
D．此感应装置的发光利用重物的向心运动实现
做好本类型压轴问题需要用到的相关知识有:受力分析、牛顿运动定律、向心力、功能关系等内容，常以生活中的一些圆周运动模型，如汽车过弯、火车过弯来来呈现，或者单独水平面或竖直面上圆周运动来考察。
题型一 有关圆盘上无绳两物体的水平面圆周运动的临界问题（选择题）
题型二 有关圆盘上无绳两物体的水平面圆周运动的临界问题（选择题）
题型三 竖直面内的绳类(轨道内侧)问题（选择题）
题型四 竖直面内的杆类(管类)问题（选择题）
受力分析运动分析
正交分解x轴指向心
列方程求解
规律
mg
θ
R
FN
mg
FN
θ
x
y
x:FNsinθ=mω2r
y:FNcsθ=mg
r=Rsinθ
A
B
C
an=gtanθω=gRcsθ;
FN=mgcsθ=mω2R
①同角同向心加速度（B和C）
②同高同角速度（A和C）
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
f静=mω2r
ω临= μgr
与质量无关
轻绳出现拉力临界ω1=μgrB; AB离心的临界：
隔离A:T=μmAg；隔离B:T+μmBg=mBω22rB；
隔离A:μmAg-T=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB；
隔离A:T-μmAg=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB；
整体：AB滑动ω临2=μgr质心（r质心=mArA+mBrBmA+mB）
①μA≥μB,
ω临1=μBgr
①ωmin=
mBg−μmAgr
ω2
O
f
μmg
ω2
O
T
出现T
滑动
ω2
O
f
B
μmBg
μmAg
A
ω2
O
f
B
μmBg
μmAg
A
②μA