北京市第二中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷

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一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．设集合，则（ ）.
A． B． C． D．
2．已知（为虚数单位），则的虚部为（ ）.
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，圆经过点，且圆心在直线上，若直线被圆截得弦长为，则正实数的值为（ ）.
A．1B．C．D．2
4. 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
5.在中，，则（ ）.
A. B. C. D.
6.若,,则的值为（ ）.
A. B. C. D.
7. 设a，b均为单位向量，则“a⊥b” 是“”的（ ）条件.
A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充分必要 D.既不充分也不必要
8.《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著.其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体，下底面ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ中点R在底面 ABCD上的投影为矩形 ABCD的中心 O，，，，，长度单位：丈则楔体的体积为体积单位：立方丈（ ）.
A. 10B. 8C. 6D. 5
9. 已知非零向量，，在同一平面，其中是单位向量.与的夹角为，，则的最小值是（ ）.
A．2B．C．1D．
10.已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率________．
12. 在等差数列中，公差不为，，且成等比数列，则__________；
当__________时，数列的前n项和有最大值．
13.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是 ．
14．设函数
（1）当时， ；
（2）若恰有2个零点，则a的取值范围是 ．
15．对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”. 给出以下四个结论：
① 若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0；
② 若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是；
③ 若数列是“有界变差数列”，则存在，使得对任意，有；
④ 若数列是“有界变差数列”，则数列必是“有界变差数列”.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题（本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（13分）设函数，从条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
条件①：； 条件②：； 条件③：最大值为；
条件④：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．
17．（13分）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：
（Ⅰ）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；
（Ⅱ）若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等。现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀。直接写出方差，，，的大小关系（无需过程）.
18．（14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，为中点，点在棱上，平面，．
（Ⅰ）求证：为中点；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）设为棱上任意一点，
求证：与平面不垂直.
19．（15分）已知椭圆的左焦点为，直线l过点F交椭圆于A，B两点．当直线l垂直于x轴时，的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线上是否存在点C，使得为正三角形？若存在，求出点C的坐标及直线l的方程；若不存在，请说明理由．
20．（15分）已知函数其中
（Ⅰ）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（Ⅱ）若恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）设，且函数有极大值点求证：
21. （15分）已知集合，集合且满足：与恰有一个成立. 对于定义（）.
（Ⅰ）若，，求的值及的最大值；
（Ⅱ）从中任意删去两个数，记剩下的个数的和为. 证明： ；
（Ⅲ）求证：对于满足（）的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得.