备战2025年高考数学精品课件第六章 突破2 解三角形中的热点问题

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方法技巧解三角形中的最值(范围)问题的求解方法
注意　注意题目中隐含条件的应用，如 A ＋ B ＋ C ＝π，0＜ A ＜π，｜ b － c ｜＜ a ＜ b ＋ c ，三角形中大边对大角等.
训练1 [全国卷Ⅱ]△ ABC 中， sin 2 A － sin 2 B － sin 2 C ＝ sin B sin C . (1)求 A ；
(2)若 BC ＝3，求△ ABC 周长的最大值.
命题点2　多三角形问题例2 [2021新高考卷Ⅰ]记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c .已知 b 2＝ ac ，点 D 在边 AC 上， BD sin ∠ ABC ＝ a sin C . (1)证明： BD ＝ b ；
(2)若 AD ＝2 DC ，求 cs ∠ ABC .
由余弦定理得 b 2＝ a 2＋ c 2－2 ac cs ∠ ABC 　②，
方法技巧多三角形问题的解题思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦定理或 余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件(如公共边，公 共角，邻角之间的关系)，求出结果.
方法技巧对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者之间的 差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即可得证.
训练3 [2023石家庄市三检]已知△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ， sin A ＝4 sin C cs B ，且 c ＝2.(1)证明：tan B ＝3tan C ；
[解析]　(1)因为 sin A ＝4 sin C cs B ，所以 sin ( B ＋ C )＝4 sin C cs B ，即 sin B cs C ＋ cs B sin C ＝4 sin C cs B ，即 sin B cs C ＝3 sin C cs B ，所以tan B ＝3tan C .
(2)若 b 2＋ c 2＝8，求 b ， c .
如图，在△ ABC 中，
1. 若 AD 为 BC 边上的中线，则：
注意　(1)利用相等角的余弦值相等，从而结合余弦定理列方程是解三角形中的常用 方法；(2)在已知条件中见到面积时，要考虑到三角形的高线.
[解析]　设 BD ＝ k ( k ＞0)，则 CD ＝2 k .
2. [命题点1]在平面四边形 ABCD 中， A ＝ B ＝ C ＝75°， BC ＝2，则 AB 的取值范围 是 ⁠.
3. [命题点2]如图，四边形 ABCD 中， AB 2＋ BC 2＋ AB · BC ＝ AC 2.
(1)若 AB ＝3 BC ＝3，求△ ABC 的面积；
4. [命题点2，3，4/2023华南师大附中三模]在△ ABC 中， AB ＝2 AC ，∠ BAC 的平 分线交边 BC 于点 D . (1)证明： BC ＝3 CD ；
1. [2023西安检测]已知△ ABC 的内角 A ， B ， C 对应的边分别是 a ， b ， c ，内角 A 的平分线交边 BC 于 D 点，且 AD ＝4.若(2 b ＋ c ) cs ∠ BAC ＋ a cs C ＝0，则△ ABC 面积的最小值是 ⁠.
(1)求证：△ ABC 是等腰三角形；
(2)若 D 为边 BC 的中点，且 AD ＝1，求△ ABC 周长的最大值.
所以 DA ⊥ BA ，
故 BD 是☉ O 的直径，
所以 BC ⊥ CD .
则 CB ＝2 cs θ， CD ＝2 sin θ，
解法三　如图，设△ ABC 的外接圆的圆心为 O ，半径为 R .
设四边形 ABCD 的面积为 S ，点 C 到 BD 的距离为 h ，
8. [2024湖南张家界调考]如图，在锐角三角形 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分 别为 a ， b ， c ， D ， E ， F 分别是边 AB ， AC ， BC 的中点， BE ⊥ CD . (1)求证： b 2＋ c 2＝5 a 2.
(2)求 cs ∠ BAC 的取值范围.