湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期第二次考试数学试卷（Word版附解析）

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时限：120分钟 满分：150分 命题人：周珂 黄倩 审题人：张丹 王文莹
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知为虚数单位，，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
2. 已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 8D. 16
3. 设，向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的图象大致是（ ）
A B.
C. D.
5. 已知能被9整除，则整数的值可以是（ ）
A B. -7C. 9D. 13
6. 已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的图象在区间内恰好有对关于轴对称的点，则的值可以是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 定义在上的函数的值域为，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. “是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件
B. 若为第一象限角，则
C. 在中，若，则为锐角三角形
D. 已知，且，则
11. 已知曲线，则下列结论正确是（ ）
A. 随着增大而减小
B. 曲线的横坐标取值范围为
C. 曲线与直线相交，且交点第二象限
D. 是曲线上任意一点，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在的展开式中，的系数为_________________．
13. 在中，，，依次成等差数列，，的取值范围为______．
14. 如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为__________若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为__________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点.

（1）过点作三棱柱截面交于点，求线段长度；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
16. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，，
（1）求A的大小：
（2）点D在BC上，
（Ⅰ）当，且时，求AC的长；
（Ⅱ）当，且时，求的面积．
17. 从一副扑克牌中挑出4张Q和4张K，将其中2张Q和2张K装在一个不透明的袋中，剩余的2张Q和2张K放在外面．现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q，则把它放回袋中：若抽出K，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张Q放入袋中．如此操作若干次，直到将袋中的K全部置换为Q，
（1）在操作2次后，袋中K的张数记为随机变量X，求X的分布列及数学期望；
（2）记事件“在操作次后，恰好将袋中全部置换为”为，记．
（ⅰ）在第1次取到的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率；
（ⅱ）试探究与的递推关系，并说明理由．
18. 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆与椭圆相似．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆与椭圆的相似比为，设P为上异于其左、右顶点的一点．当时，过P分别作椭圆的两条切线，切点分别为，设直线的斜率为，证明：为定值；
19. 已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
（1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
（2）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（3）若为连续可表数列，且，求证：．