2025年广东普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷（七）

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注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
一、单选题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，，，则
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：，故选D.
考点：集合的基本运算.
2．设，，且，则的最小值为（ ）
A．18B．9C．6D．3
【答案】C
【分析】根据基本不等式，即可求解.
【详解】∵
∴，（当且仅当，取“=”）
故选：C.
3．已知向量，，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据向量运算的坐标表示求得正确答案.
【详解】
因为，，所以．
故选：A
4．当时，函数与在同一直角坐标系中的图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性及二者间的对称性即可得到结果.
【详解】当时，函数与都是减函数，所以观察图像知，D正确．
故选D
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了反函数的性质，属于基础题.
5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边经过点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由三角函数的定义得，解方程可求得，利用即可得解.
【详解】由题意得，所以，
所以且，解得．
所以．
故选：C.
【点睛】本题考查了三角函数的定义,利用定义直接代入求出参数值即可得解，属于基础题.
6．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件表示正面朝上的点数为奇数，则下列事件中与事件为对立事件的是（ ）
A．正面朝上的点数大于B．正面朝上的点数是的倍数
C．正面朝上的点数为或D．正面朝上的点数是的倍数
【答案】B
【分析】利用对立事件的定义求解.
【详解】事件的对立事件为正面朝上的点数为偶数，即的倍数．
故选：B
7．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据基本函数的性质，结合函数奇偶性和单调性的定义逐项判断即可.
【详解】对于,函数为指数函数，不具有奇偶性，故错误；
对于,函数是二次函数，定义域为，
且，则函数为偶函数，
故错误；
对于,函数为幂函数型函数，定义域为，
且，
故函数为奇函数，
结合幂函数的性质易知，函数为上的减函数；
故正确；
对于,函数为反比例函数，定义域为，
易知满足，为奇函数，但在定义域上不具有单调性，
故错误，
故选：
8．为了得到函数的图象，只需把图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】A
【分析】直接利用函数图象的平移法则“左加右减”即可得到选项．
【详解】解：由到，只是横坐标由变为，
要得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度．
故选：A．
9．一元二次方程有实数解的条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由即可求解.
【详解】由题意可知：，解得：或，
所以.
故选：D
10．从长度为的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】B
【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】从长度为的5条线段中任取3条，
则可能结果有，，，，，，，，，共种情况，
其中满足这三条线段为边能构成一个三角形的有，，共种情况，
所以以这三条线段为边能构成一个三角形的概率.
故选：B
11．设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ）
A．若，，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
【答案】D
【分析】对A，运用面面平行的性质即可判断；对B，运用线面垂直的性质即可判断；对C，运用线面平行的性质即可判断；对D，运用线面垂直的性质即可判断.
【详解】若，，，则或与异面，故A错误；
若，，则或与相交，故B错误；
若，，则或与相交或与异面，故C错误；
若，，则，又，则，故D正确．
故选：D.
12．若函数，则
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先计算，然后再计算的值.
【详解】,
.
故选A.
【点睛】本题考查了分段函数求值，属于计算题型.
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.
13．已知向量与的夹角为60°，且，；则 ．
【答案】1
【分析】根据平面向量数量积的定义即可计算.
【详解】.
故答案为：1．
14．已知i为虚数单位，若是纯虚数，则实数 .
【答案】
【解析】利用复数的除法运算化简复数，再利用纯虚数的概念，即可得答案；
【详解】，
，解得：，
故答案为：.
【点睛】本题考查复数的四则运算及纯虚数的概念，考查运算求解能力，属于基础题.
15．函数的最小正周期是 ．
【答案】
【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦型函数的周期公式，即可求得函数的最小正周期．
【详解】因为，
所以函数的最小正周期为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用以及余弦型函数的周期公式的应用，属于基础题．
16．已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为、、．现采用分层抽样的方法从中抽取名同学去某敬老院参加慈善活动，其中高一年级被抽取的人数为，则 ．
【答案】
【分析】根据分层抽样的特点列等式可求得的值.
【详解】由题意可得，解得.
故答案为：.
17．棱长为2的正方体内切球的表面积为 ，棱长为3的正方体外接球的体积为
【答案】
【分析】利用正方体内切球与外接球的性质即可得解.
【详解】因为正方体内切球的直径（不妨设为）长度为正方体的棱长，则，即，
所以棱长为2的正方体内切球的表面积为；
因为正方体外接球的直径（不妨设为）长度为正方体的体对角线长，
所以，则，
所以棱长为3的正方体外接球的体积为.
故答案为：；.
18．已知函数是定义域为R的偶函数，当时，则当时 ．
【答案】
【解析】设，则，代入的解析式， 由函数的奇偶性即可求解.
【详解】设，则，
由时，，
所以，
又函数为偶函数，即，
所以.
故答案为：
三、解答题：本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
19．已知.
(1)求的最小正周期及单调增区间；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△ABC的外接圆半径为2，求△ABC面积的最大值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由正弦函数的最小正周期公式可求出的最小正周期，令，，解不等式即可得出答案.
（2）由可求出，由正弦定理求出，再由余弦定理、三角形的面积公式和基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）的最小正周期为，
由，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为（）.
（2）由，得，
∵，∴，
∴＝，解得.
又△ABC的外接圆半径为2，则，
由余弦定理，得，即，
即，，
当且仅当，等号成立，
所以△ABC面积，
故△ABC面积的最大值为.
20．某中职学校在每年一度的技能大赛中有甲、乙两名同学获得省级比赛一等奖，学校要在甲、乙两名同学中选拔一名进行集中强化培训并参加国赛，为了选拔出综合实力最强的选手参加国赛，现将甲、乙两名同学在最近8次理论考试与技能考试的综合成绩统计如下：
(1)求甲、乙两名同学的平均成绩;
(2)现要从中选派一人参加国赛，从考试发挥的稳定性的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.
【答案】(1)85；85
(2)选择甲同学，理由见解析
【分析】（1）利用平均数的计算公式求解即可；
（2）利用方差的计算公式计算两人成绩的方差，比较稳定性即可得出结论．
【详解】（1）根据题中数据可知：
甲同学的平均成绩，
乙同学的平均成绩.
（2）由（1）可知，
甲同学成绩的方差：

，
乙同学成绩的方差：
，
所以，
综上所述，甲、乙两名同学平均成绩相同，所以两名同学水平相当；
又因为甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差，所以甲比乙的发挥更加稳定.
所以应该选择甲同学作为参加国赛的集中强化培训对象.
21．某工厂年生产某种产品万件，计划从下一年开始，该产品的年产量比上一年增长.
(1)问年该产品年产量为多少？
(2)问从哪一年开始，这年该产品的年产量超过万件（已知）.
【答案】(1)万件
(2)从年开始，该产品年产量超过万件
【分析】（1）根据题意，建立方程，可得答案；
（2）根据题意，建立不等式，利用对数运算，可得答案.
【详解】（1）依题意，年工厂生产的该产品年产量为（万件），
即（万件）.
年该产品年产量为万件，
（2）设过年，年产量超过万件，则有，即，
于是，即，
由已知，
解得，取整数.
故从年开始，该产品年产量超过万件.
22．如图，AB是圆的直径，平面PAC面ACB，且APAC．
(1)求证：平面；
(2)若，求直线AC与面PBC所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合直径的性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）因为平面PAC面ACB，且APAC.，平面PAC面ACB ，平面PAC，
所以PA面ACB，又因为平面PBC，
所以PA，又因为AB是圆的直径，所以，
因为平面，
所以平面；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
所以，则，
设平面PBC的法向量为，则，
而，设直线AC与面PBC所成角为，
则，
所以直线AC与面PBC所成角的正弦值为.
甲
82
81
79
78
95
88
93
84
乙
92
95
80
75
83
80
90
85