专题40 圆的方程9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

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1．圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|0)
圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
（一）
1.求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
2.方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径
3.点与圆的位置关系判断
（1）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
（2）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
4.（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称
（2）圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点
（3）圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线
题型1：求圆的方程
1-1．（2024高一上·江苏连云港·期末）求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由圆心在直线x﹣2y﹣2＝0上，可设圆心C（2b+2，b），再根据圆心到两点A（0，4）、B（4，6）的距离相等，求出b的值，即得圆心和半径，从而求得圆的标准方程．
【详解】设圆心坐标为C（2b+2，b），由圆过两点A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，
即，解得，
可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为．
故选：D．
1-2．（2024高三下·陕西西安·阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的外接圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由切线性质得O、A、B、P四点共圆，为直径，求得圆心坐标和半径可得圆方程即为所求．
【详解】由圆，得到圆心，由题意知O、A、B、P四点共圆，的外接圆即四边形的外接圆， 又，从而的中点坐标为所求圆的圆心，为所求圆的半径，所以所求圆的方程为.
故选：A
1-3．（2024·福建福州·模拟预测）已知，则外接圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求得外接圆的方程即可进行选择.
【详解】设外接圆的方程为
则有，解之得
则外接圆的方程为
故选：D
题型2：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
2-1．（2024高二上·甘肃金昌·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】根据公式，即可求解.
【详解】若方程表示圆，则，
解得：或.
故选：C
2-2．（2024高三·全国·课后作业）关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
【答案】D
【分析】根据圆的一般式方程可得答案.
【详解】关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是
，即，且，.
故选：D
2-3．（2024高三下·河南·阶段练习）“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据二元二次方程表示圆的充要条件是可得答案.
【详解】因为方程，即表示圆，
等价于0，解得或.
故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.
故选：A
题型3：点与圆的位置关系判断
3-1．（2024·辽宁·二模）已知圆，直线l：，若l与圆O相交，则（ ）．
A．点在l上B．点在圆O上
C．点在圆O内D．点在圆O外
【答案】D
【分析】根据l与圆O相交，可知圆心到直线的距离小于半径，列出不等式，再判断点与直线和圆的关系.
【详解】由已知l与圆O相交，,可知圆心到直线的距离小于半径，
则有，故，
把代入，所以点不在直线l上，故A错误；
又，则点在圆O外，故D正确.
故选：D．
3-2．（2024高二上·全国·课后作业）若点在圆的内部，则a的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果.
【详解】由题可知，半径，所以，把点代入方程，
则，解得，所以故a的取值范围是.
故选：D
3-3．（2024高二上·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不确定
【答案】C
【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外.
【详解】因为，所以点在圆外，
故选：C
3-4．（2024·甘肃定西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.
【详解】依题意，方程可以表示圆，则，得；
由点在圆的外部可知：，得.
故.
故选：C
题型4：与圆有关的对称问题
4-1．（2024·西藏日喀则·一模）已知圆关于直线对称，圆交于、两点，则
【答案】2
【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再由圆关于直线对称，则圆心在直线上，即可求出的值，最后求出圆心到直线的距离，利用勾股定理、垂径定理计算可得.
【详解】圆，即，圆心，半径，
因为圆关于直线对称，所以，解得，
所以，圆心，半径，
则圆心到轴的距离，所以.
故答案为：
4-2．（2024高三上·江西南昌·阶段练习）已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是 ．
【答案】2
【分析】依题意有直线过圆心，得到，再利用重要不等式求的最小值.
【详解】圆上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心，有，即.
，当且仅当，即时等号成立.
∴，即，所以时，的最小值为2.
故答案为：2
4-3．（2024高二上·上海浦东新·阶段练习）已知圆C与圆D：关于直线对称，则圆C的方程为 ．
【答案】
【分析】已知圆D：，化为标准方程可得圆心坐标及半径，圆C与圆D关于直线对称，转化为两圆心关于直线对称，半径相等，求出圆C的圆心，则可得圆C的方程.
【详解】因为，
设圆C的圆心为，
又因为圆C与圆D关于直线对称，
即圆心与关于直线对称，
所以，解得，
所以，圆C的方程为
（二）
求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
题型5：与圆有关的轨迹问题
5-1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆，平面上一动点满足：且，．求动点的轨迹方程；
【答案】
【分析】设，依题意得到，整理即可得解.
【详解】解：设，由，
所以，整理得，
即动点的轨迹方程．
5-2．（2024·福建）动点到两定点和的距离的比等于2，求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．
【答案】；动点P的轨迹是以为圆心，半径是4的圆
【分析】题意可知，由两点间得距离公式化简即可求解
【详解】由题意可知：，
又，和，
所以，
化简得即，
所以动点P的轨迹是以为圆心，半径是4的圆
5-3．（2024高三·全国·专题练习）已知是圆内的一点是圆上两动点，且满足，求矩形顶点Q的轨迹方程．
【答案】
【分析】根据可得以及中可求点M的轨迹，再根据为中点即可求解.
【详解】连接AB，PQ，设AB与PQ交于点M，如图所示．
因为四边形APBQ为矩形，所以M为AB，PQ的中点，连接OM.
由垂径定理可知
设
由此可得①
又在中，
有②
由①②得
故点M的轨迹是圆．
因为点M是PQ的中点，设
则
代入点M的轨迹方程中得，
整理得，即为所求点Q的轨迹方程．
5-4．（2024高二下·广东深圳·期中）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设出点坐标，得出点坐标，代入圆方程，即可得到线段的中点M的轨迹方程.
【详解】设点的坐标为，因为点是线段的中点，
可得，点在圆上，
则，即.
故选：A.
（三）
与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝eq \f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
题型6：利用几何性质求最值
6-1．（2024·河北·一模）直线与圆相切，则的最大值为（ ）
A．16B．25C．49D．81
【答案】C
【分析】利用圆与直线的位置关系得出的方程，根据方程分析利用表示的几何意义求解即可.
【详解】由直线与圆相切可得：
圆心到直线的距离等于圆的半径，
即，
故，即点在圆O上，
的几何意义为圆上的点与点之间距离的平方，
由圆心为，
因为，
所以点在圆外，
所以点到点的距离的最大值为圆心到的距离与圆半径之和，
即，
所以的最大值为.
故选：C.
6-2．（2024·吉林白山·一模）已知圆与直线，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
，的最小值为圆心到直线的距离，可求的最小值.
【详解】
圆化为标准方程为，
则圆C的圆心为，半径，则，
直线PQ与圆C相切，有，
因为点Q在直线l上，所以，则．
即的最小值是.
故选：A
6-3．（2024·重庆）设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为 ( )
A．6B．4C．3D．2
【答案】B
【详解】当PQ所在直线过圆心且垂直于直线x＝－3时，|PQ|有最小值，且最小值为圆心(3，－1)到直线x＝－3的距离减去半径2，即最小值为4，故选B.
题型7：利用函数求最值
7-1．（2024高三·全国·对口高考）在平面直角坐标系xOy中，以点，曲线上的动点B，第一象限内的点C，构成等腰直角三角形ABC，且，则线段OC长的最大值是 ．
【答案】/
【分析】设，，，运用两点的距离公式和两直线垂直的条件，可得，的方程，解方程可得的坐标，运用两点的距离公式，化简整理，运用正弦函数的值域，即可得到所求最大值.
【详解】曲线是以为圆心，1为半径的上半圆，
可设，，，
由等腰直角三角形，可得，即有
即，①
，即有，
即为，②
由①②解得，，
或，（舍去）．
则
，
当，即，取得最大值．
故答案为：
7-2．（2024·浙江·模拟预测）已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，利用可得，再由利用配方法可得答案.
【详解】设，连接，则，可得，
所以，
即，可得，
所以，
当时，.
故选：C.

（四）
求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．
（1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为：
简记为：
当时，简记为：（不含）
（2）圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：
简记为：，不含
当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）
注意：与圆C共根轴l的圆系
题型8：圆系方程
8-1．（2024高二上·安徽铜陵·期中）经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为 .
【答案】
【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点坐标，可求出的值，即可确定所求圆的方程.
【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：
∵所求圆过点
∴
解得
所以圆的方程为，化简得.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求解圆的方程，设出过已知直线和圆的交点的圆系方程是解本题的关键.
8-2．（2024高三下·江苏盐城·阶段练习）曲线与的四个交点所在圆的方程是 ．
【答案】
【解析】根据题意得到：，化简得到答案.
【详解】，，故，
化简整理得到：，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查了曲线交点求圆方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.
8-3．（2024高二·辽宁·学业考试）过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是 ．
【答案】
【分析】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，并求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线的方程，从而求出圆的方程.
【详解】设圆的方程为，
则，
即，所以圆心坐标为，
把圆心坐标代入，可得，
所以所求圆的方程为．
故答案为：.
（五）
圆过定点问题，想办法求出含有参数的圆的方程，然后按参数整理后得，只要让此关于的多项式中各项系数（包括常数项）均为0，就可解得定点．
题型9：圆过定点问题
9-1．（2024高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ．
【答案】或
【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标．
【详解】解：，即，
令，解得，，或，，
所以定点的坐标是或．
故答案为：或.
9-2．（2024高三·浙江温州·阶段练习）已知动圆圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点
【答案】
【分析】由抛物线方程可确定焦点和准线，结合抛物线定义可知动圆必过焦点，由此可得结论.
【详解】由抛物线方程知：抛物线焦点为，准线为；
设动圆圆心为，
动圆与直线相切，动圆半径即为其圆心到直线的距离；
动圆圆心在抛物线上，，动圆必过点，即所求定点为.
故答案为：.
9-3．（2024高三下·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为
【答案】
【分析】设抛物线交轴于点，交轴于点、，根据题意设圆心为，求出，写出圆的方程，可得出关于、的方程组，即可得出圆所过定点的坐标.
【详解】设抛物线交轴于点，交轴于点、，
由题意可知，由韦达定理可得，，
所以，线段的中点为，设圆心为，
由可得，解得，
，则，则，
所以，圆的方程为，
整理可得，
方程组的解为.
因此，的外接圆恒过的定点坐标为.
故答案为：.