浙江省金华市义乌市宾王教育集团2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份浙江省金华市义乌市宾王教育集团2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 已知三角形三边的长度分别是2m，8m和xm，若x是奇数，则x可能等于（ ）
A. 5mB. 9mC. 11mD. 13m
【答案】B
【解析】
【分析】先求出第三边的取值范围．再根据x是奇数解答即可．
【详解】解：设第三边长为x，则8﹣2＜x＜8+2，
∴6＜x＜10，
又∵x为奇数，
∴x＝7或9，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的运用．关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
3. 等腰三角形有两条边长为5cm和9cm,则该三角形的周长是
A. 19cmB. 23cmC. 19cm或23cmD. 18cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据周长的计算公式计算即可.（三角形的周长等于三边之和.）
【详解】根据三角形的周长公式可得：C=5+5+9=19或C=9+9+5=23.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，关键在于本题没有说明那个长是等腰三角形的腰，因此要分类讨论.
4. 下列四个图中，正确画出中边上的高是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，根据三角形的高的定义逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点A向作垂线，垂足为D，
纵观各图形，选项A、B、D都不符合题意，只有选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的高，正确理解三角形的高的定义是解题关键．
5. 判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】反例中的满足，使，从而对各选项进行判断．
【详解】解：当时，满足，但，
所以判断命题“如果，那么”是假命题，举出．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
6. 如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（ ）
A. EH＝NGB. ∠F＝∠MC. FG＝MHD.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理，即可一一判定．
【详解】解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E＝∠N，EF＝NM，
A．由EH＝NG可得EG＝NH，所以添加条件EH＝NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
B．添加条件∠F＝∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
C．添加条件FG＝MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意；
D．由可得∠EGF＝∠NHM，所以添加条件，根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是解决本题的关键．
7. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 两个锐角的和一定是钝角
B. 相等的角是对顶角
C. 垂线段最短
D. 带根号的数一定是无理数
【答案】C
【解析】
【分析】根据锐角、对顶角、垂线段及无理数的定义即可依次判断．
【详解】解：A、两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，不符合题意；
C、垂线段最短，正确，是真命题，符合题意；
D、带根号的数不一定是无理数，如，故原命题错误，不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题主要考查命题的真假，解题的关键是熟知锐角、对顶角、垂线段及无理数的定义．
8. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACB外角与内角∠ABC平分线交点，E是∠ABC，∠ACB外角平分线交点，若∠BOC＝110°，则∠D＝（ ）度．
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线的定义有∠ACO=∠ACB，∠ACD=∠ACF，得∠OCD=90°，再根据外角的性质即可求解．
【详解】解：∵CO平分∠ABC，CD平分∠ABC外角
∴∠ACO=∠ACB，∠ACD=∠ACF
∵∠ACB+∠ACF=180°
∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACF）=90°
∴∠BOC=∠OCD+∠D
∴∠D=110°－90°=20°
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形角平分线定义，三角形外角的应用，熟知三角形的外角性质是解答此题的关键．
9. 已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为（ ）
A. 2B. 2或C. 或D. 2或或
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等可得：3x-2与4是对应边，或3x-2与5是对应边，计算发现，3x-2=5时，2x-1≠4，故3x-2与5不是对应边．
【详解】解：∵△ABC三边长分别为3，4，5，△DEF三边长分别为3，3x-2，2x-1，这两个三角形全等，
①3x-2=4，解得：x=2，
当x=2时，2x+1=5，两个三角形全等．
②当3x-2=5，解得：x=，
把x=代入2x+1≠4，
∴3x-2与5不是对应边，两个三角形不全等．
故选A．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，分类讨论正确得出对应边是解题关键．
10. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论其中正确的是（ ）
①；②；
③当时，，分别是，的中点；
④若，，则
A. ①②B. ①②④C. ③④D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质．根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质判断④．
【详解】和的平分线相交于点，
，，
，正确；
，
，又，
，
，
同理，
，正确；
当时，，
，不是，的中点，错误；
作于，
和的平分线相交于点，
点在的平分线上，
，
，，
，正确．
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
11. 把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果___________，那么___________．
【答案】 ①. 两直线平行 ②. 同位角相等
【解析】
【分析】本题考查命题的改写．掌握命题是由题设和结论两部分组成是解题的关键．
根据命题是由根据命题是由题设和结论两部分组成，如果后面是题设，那么后面是结论改写即可．
【详解】解：把命题“两直线平行，内错角相等”表示成“如果…那么…”的形式是：如果两条直线平行，那么同位角相等．
故答案为：两条直线平行，同位角相等．
12. 如图，是的角平分线，于点E，的面积，，则的长是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，根据题意得到，再根据三角形面积公式即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：过点作，交于点，如图：
∵是的角平分线，，，，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 在ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，若BG＝9，CE＝11，且AEG的周长为16，求EG＝_____．
【答案】4
【解析】
【分析】根据三角形的周长公式得到AE+AG+EG=16，根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，AG=CG，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵AEG的周长为16，
∴AE+AG+EG=16，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
同理，AG=CG，
∵BG=8，CE=10，
∴BG+CE=BE+EG+CG+EG
=AE+EG+AG+EG
=16+EG
=11+9
=20，
∴EG=20－16=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角的度数为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，分顶角为钝角三角形和顶角为锐角三角形两种情况，分别求解即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图，当顶角为钝角时，
，
则顶角为，
此时的底角为；
如图，当顶角为锐角时，
，
则顶角为，
此时的底角为；
综上所述，底角的度数为或，
故答案为：或．
15. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是_____．
【答案】12
【解析】
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．
【详解】解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
设AC交EF于点D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
∴△ABP周长的最小值是5+7=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
16. 如图，在中，，为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，且，连接．
（）如图（），当时，若，____度；
（）如图（），设（），在点运动过程中，当时，____．（用含的式子表示）
【答案】 ①. 25 ②.
【解析】
【分析】（1）根据手拉手模型证明，再利用全等性质和等边三角形的性质求出重要角的度数，利用三角形的内角和等于求得最终结果；
（2）利用手拉手模型证明，再利用全等导角，最后利用三角形的内角和求得结果．
【详解】（1），
在和中
（SAS）
故答案为：25
（2） ，
，
在和中
（SAS）
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟悉手拉手模型，会利用全等的性质求得角与角之间的数量关系是解决本题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 如图，点在同一直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线性质等．根据题意先得到，再利用平行线性质得，继而利用全等三角形判定即可得到，继而得到结论．
【详解】解：证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
18. 如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于N．
（1）若，求的度数．
（2）连接，若，的周长是．求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及轴对称的性质．
（1）根据等腰三角形的性质得出，求得，根据线段的垂直平分线的性质得出，进而得出，根据三角形内角和定理就可得出；
（2）根据的周长就可求得．
【小问1详解】
解：，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
∵，
的周长是，
∴的周长．
∴．
19. 一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少，求这个三角形的顶角的度数．
【答案】或或．
【解析】
【分析】这两个角可能都是底角，也可能一个是底角，一个是顶角，分开来讨论求解即可．
【详解】解：①当都是底角时，设其为x，
则，
解得，，
∴顶角为：；
②当底角比顶角2倍少时，设顶角为x，则底角为，
则，
解得，即顶角为；
③当顶角比底角2倍少时，设底角为x，则顶角为，
则，
解得，
则顶角为：；
故这个三角形的顶角的度数为或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；分类讨论是正确解答本题的关键．
20. 如图，在正方形网格上有一个．
（1）画关于直线的对称图形（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积．
（3）在直线上求作一点P，使最小．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图—轴对称变化、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解决本题的关键．
（1）先找出点、点、点关于直线的对称点，再依次连接对称点即可．
（2）先求出所在的长方形的面积，再求出长方形里其他三个直角三角形的面积，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可．
（3）先找出点关于直线的对称点，连接与直线相交于点，即的最小值就是线段的长度．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：的面积．
【小问3详解】
解：如图，点P即为所求．
，故最小为．
21. 如图，在和中，，交于点P．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理：
（1）证明，即可得证；
（2）全等三角形的对应角相等结合8字模型，推出，进而求出的度数即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22. 如图，在中，，，点D在边上，、关于所在的直线对称，的角平分线交边于点G，连接．
（1）求的度数．
（2）设，当为何值时，为等腰三角形？
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）先求出，再利用轴对称性质得，即，再证明，继而得到；
（2）为等腰三角形时分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别求出即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵、关于所在的直线对称，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵使得为等腰三角形，分三种情况讨论：
令与交点为，
，
①当时，
∴，
∵，
∴在中：，
∴；
②当时，
∴，
∵，
∴，
∴在中：，
∴；
③当时，
∴，
∴，
∴在中：，
∴；
综上所述：当或时，为等腰三角形．
【点睛】本题考查角平分线定义，轴对称性质，全等三角形判定及性质，等腰三角形性质，外角和定理，内角和定理等．
23. 问题背景】
如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________．
【探索延伸】
如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】[初步探索]：；[探索延伸]：结论仍然成立，理由见解析；[结论运用]：210海里．
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案；
（2）延长到，使，连接，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案；
（3）连接，延长、交于点，可得，再得，继而得到本题答案．
【详解】解：[初步探索]：；理由如下：
，，
，
在和中，
，
∴，
，，
，
，
，
在△和△中，
，
∴，
，
，
，
故答案为：；
[探索延伸]：结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长到，使，连接，
，
，，
，
在和中，
，
∴
，，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
；
[结论运用]：如图3，连接，延长、交于点，
，
，，
，
，，
符合探索延伸中的条件，
结论成立，
即海里．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查全等三角形判定及性质，内角和定理，方向角问题，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线．
24. 如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒．
（1）当t＝3秒时，BP＝ cm；
（2）当t为何值时，连结CP，DP，△CDP为等腰三角形；
（3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等．
【答案】（1）2；（2）或或；（3）2.5或4.5或7.5或9.5
【解析】
【分析】（1）当t＝3秒时，点P运动到线段BC上，即可得到BP的长度；
（2）根据题意，点P分别在AB、BC、 CD和AD 上运动，当P在CD上时，不存在三角形，所以要使△CDP为等腰三角形，则点P的位置可以有三个，以此为前提可确定点P位置，根据点P运动的位置，即可计算出时间．
（3）根据题意，要使一个三角形与△DCQ全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间．
【详解】解：（1）当t＝3秒时，点P走过的路程为：2×3＝6，
∵AB＝4，
∴点P运动到线段BC上，
∴BP＝6−4＝2cm，
故答案是：2；
（2）①当P在AB上时，△PCD为等腰三角形，
∴ ，
在矩形ABCD中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
②当P在BC上时，△DCP为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
③当P在AD上时，△DCP为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述或或时，△CDP为等腰三角形．
（3）根据题意，如图，连接CQ，则AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝，DQ＝5，
∴要使一个三角形与△DCQ全等，则另一条直角边必须等于DQ，
①当点P运动到时，C＝DQ＝5，此时△DCQ≌△CD，
∴点P的路程为：AB＋B＝4＋1＝5，
∴t＝5÷2＝2.5s，
②当点P运动到时，B＝DQ＝5，此时△CDQ≌△AB，
∴点P路程为：AB＋B＝4＋5＝9，
∴t＝9÷2＝4.5s，
③当点P运动到时，A＝DQ＝5，此时△CDQ≌△AB，
∴点P的路程为：AB＋BC＋CD＋D＝4＋6＋4＋1＝15，
∴t＝15÷2＝7.5s，
④当点P运动到时，即P与Q重合时，D＝DQ＝5，此时△CDQ≌△CD，
∴点P的路程为：AB＋BC＋CD＋D＝4＋6＋4＋5＝19，
∴t＝19÷2＝9.5s，
综上所述，时间的值可以是：t＝2.5s，4.5s，7.5s或9.5s．