浙江省杭州市拱墅区杭州树兰中学2024-2025学年上学期10月月考八年级数学试题 （解析版）-A4

这是一份浙江省杭州市拱墅区杭州树兰中学2024-2025学年上学期10月月考八年级数学试题 （解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. “嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰……在浩瀚的宇宙中谱写着中华民族飞天梦想的乐章．下列航天图标（不考虑字符与颜色）为轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（ ）
A. 带①去B. 带②去
C. 带③去D. 带④去
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定可进行求解
【详解】解：第②块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
3. 已知三角形的两边长分别为4和9，则下列数据中能作为第三边长的是（ ）
A. 13B. 6C. 5D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．
【详解】解：设这个三角形的第三边为x，
根据三角形的三边关系定理，得：9−4＜x＜9＋4，即5＜x＜13，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握构成三角形的条件：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边，是解决问题的关键．
4. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 三角形的外角大于它的任何一个内角
B. 两边及一角对应相等的两个三角形全等
C. 满足的、、三条线段一定能组成三角形
D. 对顶角相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形全等的判定，三角形的三边关系，对顶角相等，熟练掌握以上知识点是解题关键．分别根据三角形外角的性质、三角形全等的判定、三角形的三边关系、对顶角相等逐项判断即可．
【详解】解：A、由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，得到三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，而和它相邻的角大小关系不确定，故A选项错误；
B、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故B选项错误；
C、满足的、、三条线段不一定能组成三角形，例如，但是1，2，3中，不能构成三角形，故C选项错误；
D、对顶角相等，故D选项正确
故选：D．
5. 如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（是钝角），他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（ ）

A. 边上的中线和高线B. 的角平分线和边上的高线
C. 的角平分线和边上的中线D. 的角平分线、边上的中线和高线
【答案】C
【解析】
【分析】由折叠的性质可求解．
【详解】解：当与重合时，折痕是的角平分线；
当点A与点B重合时，折叠是的中垂线，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是本题的关键．
6. 如图，的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形外角的性质，四边形内角和．利用三角形外角，得到，，从而将转化为四边形的内角和求解，即可得到答案．
【详解】解：令与的交点为，与的交点为，
是的外角，
，
是外角，
，
，
四边形的内角和为，
，
即，
故选：C．

7. 甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗．
甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．”
乙说：“一定是丁打碎的．”
丙说：“我没有打碎玻璃窗．”
丁说：“我没有干这件事．”
若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查推理与论证，利用假设法解决逻辑问题，得出结论是解答的关键．根据题意，利用假设法逐一判断即可．
【详解】解：假设是甲打碎玻璃窗，则甲、乙2人说了谎，与已知不相符，故选项A错误；
假设是乙打碎玻璃窗，则甲、乙2人说了谎，与已知不相符，故选项B错误；
假设是丙打碎玻璃窗，则乙、丙2人说了谎，与已知不相符，故选项C错误；
假设是丁打碎玻璃窗，则丙1人说了谎，与已知相符，故选项D正确；
故选：D．
8. 如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点；再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本作图可得是的平分线，则，再根据平行线的性质可得，，由已知进一步计算即可解答．
【详解】解：根据基本作图可得是的平分线，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、平行线的性质，解答的关键是熟悉角平分线的作法，掌握平行线的性质．
9. 如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）
A. 1.5B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出∆CEB≅∆ADC，就可以得出BE=DC，进而求出DE的值．
【详解】∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°，
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA，
在∆CEB和∆ADC中，∠E=∠ADC，∠EBC=∠DCA，BC=AC，
∴∆CEB≅∆ADC(AAS)，
∴BE=DC=1，CE=AD=3，
∴DE=EC-CD=3-1=2，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
10. 如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，在上取点使，证明，则，，由，可得，进而可得，则，，可判断③的正误；由，可得，进而可得，可判断②的正误；，可判断①的正误；由，，可得，可判断④的正误．
【详解】解：如图，在上取点使，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，③正确，故符合要求；
∵，
∴，
∴，②正确，故符合要求；
∴，①正确，故符合要求；
∵，，
∴，④正确，故符合要求；
综上：正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分）
11. 若等腰三角形的两边长是2和5，则它的周长是________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，构成三角形的条件，分当腰长为2时，当腰长为5时，两种情况确定出该三角形的三边长，再根据构成三角形的条件和三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：当腰长为2时，则该三角形三边长为2，2，5，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为5时，则该三角形三边长为2，5，5，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴该三角形的周长为；
综上所述，该三角形的周长为12，
故答案为：12．
12. 中，，与的度数比是，则的度数是________．
【答案】##50度
【解析】
【分析】本题考查三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和是求得，进而求解即可．
【详解】解：∵中，，
∴，
∵与的度数比是，
∴，
故答案为：．
13. 中，，那么与相邻的一个外角等于_________
【答案】117°##117度
【解析】
【详解】的外角=，
故答案为：117°
14. 如图，已知，，且，那么是的__________．（填“中线”或“角平分线”）

【答案】中线
【解析】
【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的中线的概念判断即可．
【详解】解：，，
，
在和中，
，
∴，
，
是的中线，
故答案为：中线．
【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了全等三角形的判定与性质．
15. 如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为________．
【答案】##120度
【解析】
【分析】本题考查了作图-基本作图：作已知角的角平分线．也考查了角平分线的定义及三角形内角和定理的应用，利用基本作图得到平分，平分，根据三角形内角和得到，然后把代入计算即可．
【详解】解：由作法得平分，平分，
∴， ，
∵
，
而，
∴．
故答案为：．
16. 如图，在中，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点的运动速度为______时，能够在某一时刻使与全等．
【答案】2或3##3或2
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况讨论：①若；②若，利用全等三角形对应边相等求解即可．
【详解】解：厘米，点为的中点，
厘米，
∵，
∴当与全等时，点B与点C对应，
①若，则厘米，，
厘米，
厘米，
运动时间秒，厘米，
点的运动速度为；
②若，则厘米，，
厘米，
厘米，
运动时间秒，
点的运动速度为
故答案为：2或3．
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝72°，∠C＝30°，
①求∠BAE的度数；
②求∠DAE的度数．

【答案】①∠BAE=39°；②∠DAE=21°．
【解析】
【分析】①先根据三角形内角和定理计算出∠BAC＝78°，然后根据角平分线定义得到∠BAE＝∠BAC＝39°；
②根据垂直定义得到∠ADB＝90°，则利用互余可计算出∠BAD＝90°﹣∠B＝18°，然后利用∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD进行计算即可；
【详解】解：①∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣72°﹣30°＝78°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝39°；
②∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝18°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝39°﹣18°＝21°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，角的计算等知识．三角形内角和定理:三角形内角和是180°．
18. 已知，如图，△ABC，∠ACB=90°，∠B=2∠A．
（1）用直尺和圆规作△ABC角平分线BD，保留作图痕迹；
（2）在(1)的基础上，求∠ADB的度数．

【答案】（1）见解析；（2）∠ADB=120°．
【解析】
【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤作图即可；
（2）根据∠ACB=90°，∠B=2∠A可求出∠A=30°，∠ABC=60°，根据角平分线定义可得∠ABD=30°，然后由三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：（1）如图，线段BD即为所求．

（2）因为∠ACB=90°，
所以∠A+∠ABC=90°，
因为∠ABC=2∠A，
所以∠A=30°，∠ABC=60°，
又因为BD平分∠ABC，
所以∠ABD=∠ABC=30°，
因∠ADB+∠A+∠ABD=180°，
所以∠ADB=180°－30°－30°=120°．
【点睛】本题考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理应用，熟知三角形内角和等于180°是解题的关键．
19. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．
求证：BC=DE．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】根据ASA证明△ADE≌△ABC即可得到答案；
【详解】证明：∵∠1=∠2，
∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ADE≌△ABC（ASA）
∴BC=DE，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
20. 如图，一辆汽车在笔直的公路上由处向处行驶，，分别是位于公路两侧的村庄．利用尺规作图，找出符合条件的点．
（1）当汽车行驶到哪个位置（用点表示）时，其到村庄，的距离相等？
（2）当汽车从处出发向处行驶时，在哪一个位置，其到村庄，的距离之和最短？请在图中标出这个位置（用点表示）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及应用、两点间线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质，连接作垂直平分线，交于点即为所求；
（2）根据两点间线段最短，连接交于点即所求．
【小问1详解】
解：根据题意，连接作垂直平分线，交于点，
如图点即为所求，
【小问2详解】
解：根据题意，连接交于点，
如图点即为所求，
21. 如图，①ABCD，②BE平分∠ABD，③∠1+∠2=90°，④DE平分∠BDC．
（1）请以其中三个为条件，第四个为结论，写出一个命题；
（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由．
【答案】（1）条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④（答案四选一即可）；（2）真命题，理由见解析（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得出有四种情况，分别为：条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④．
（2）条件为②③④时，可通过内错角互补证出结论①成立，故为真命题；条件为①③④，①②④和①②③时，可通过两条直线平行，内错角互补等量代换证出相应结论成立，故都为真命题．
【详解】（1）由题意可得：条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④．
（2）解：当选取条件②③④，结论：①时
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2
又∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∴ABCD
当选取条件①③④，结论：②时
∵ABCD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE=90°
又∵DE平分∠BDC
∴∠CDE=∠2
∴∠ABE+∠2=90°
∴∠ABE=∠1
∴BE平分∠ABD
当选取条件①②④，结论：③时
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2
∵ABCD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∴2∠1+2∠2=180°
∴∠1+∠2=90°
当选取条件①②③，结论：④时
∵ABCD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE=90°
又∵BE平分∠ABD
∴∠ABE=∠1
∴∠1+∠CDE=90°
∴∠CDE=∠2
∴DE平分∠BDC
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，灵活运用内错角互补等量代换出角的和差关系是解决本题的关键．
22. 等腰三角形一腰上的中线把周长分为15厘米和6厘米两部分，求等腰三角形的底边长．
【答案】等腰三角形的底边长为1厘米
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中线以及三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形中线的定义以及三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
分两种情况进行讨论求出底边长度，再根据三角形三边之间的关系去验证能否构成三角形即可．
【详解】解：由题意设等腰三角形的腰长为，底边长为．因为中线把等腰三角形的周长分为了15厘米和6厘米两部分，所以有两种情况．
第一种情况是：，
，解得
将代入，得，解得．
此时，三角形的三边长分别为10厘米、10厘米、1厘米．
第二种情况是：，，
，解得．
将代入，得，解得．
此时，三角形的三边长分别为4厘米、4厘米、13厘米．但是，由于，不满足三角形两边之和大于第三边，所以这种情况要舍去．
综上所述，等腰三角形的底边长为1厘米．
23. 如图1，于点，于点B，P，Q分别为线段上任意一点．
（1）如图1，若，，求之间的数量关系；
（2）如图2，将“，”改为“（为锐角）”．若，，判断（1）中的数量关系是否会改变？并说明理由．
【答案】（1）
（2）不会改变，见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题过程中，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题关键．
（1）根据题意证明，得到，，则问题可证；
（2）根据题意证明，得到，，则问题可证．
【小问1详解】
解：由，，
，
，
又，
，，
．
即之间的数量关系为．
【小问2详解】
不会改变，
理由：，
，
．
又，，
，
，，
即（1）中的数量关系不会改变．
24. 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线AD，交线段于点．
（1）________．
（2）若，求证：为“智慧三角形”．
（3）当为“智慧三角形”时，请求出的度数．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）或或或
【解析】
【分析】（）根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（）求出的度数，得到，据此即可求证；
（）由可得，再分、、、、和六种情况解答即可求解；
本题考查了三角形内角和定理和外角性质，角的和差，直角三角形两锐角互余，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
证明：∵，，
，
，
为“智慧三角形”；
【小问3详解】
解：∵，
，
∵为“智慧三角形”，
①、当时，，
；
②、当时，，
∵，
∴此种情况不存在；
③、当时，
则，
，
；
④、当时，，
，
；
⑤、当时，，
；
⑥、当时，
则，
，
∴此种情况不存在；