2024-2025学年浙江省台州市临海市九年级（上）期中数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年浙江省台州市临海市九年级（上）期中数学试卷（含详解），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图案不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）
3．（3分）把方程x2＝3（x﹣2）化成一般式x2+bx+c＝0，则正确的是（ ）
A．b＝3，c＝6B．b＝﹣3，c＝6C．b＝3，c＝﹣6D．b＝﹣3，c＝﹣6
4．（3分）如表为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的一些对应值，则ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根在（ ）
A．6.17～6.19之间B．6.18～6.19之间
C．6.19～6.20之间D．比6.20大
5．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称．则下列结论不成立的是（ ）
A．OA＝OA'B．∠BAC＝∠B'A'C'
C．∠AOB＝∠A'OB'D．∠ACB＝∠C'B'A'
6．（3分）点P（m，n）在二次函数的图象上，小明在探究n取不同值，点P的存在性问题时，得到如下三个结论：
①当n＝10时，点P的个数为0；
②当n＝4.5时，点P的个数为1；
③当n＝4时，点P的个数为2．
下列判断正确的是（ ）
A．①错，②③对B．①对，②③都错
C．①②对，③错D．①②③对
7．（3分）在平面直角坐标系中，将线段AB绕原点O按顺时针方向旋转，得线段A'B'，若点A（﹣3，2），点B（﹣1，4），点A′（2，3），则点B'的坐标是（ ）
A．（4，﹣1）B．（3，2）C．（4，1）D．（﹣4，﹣1）
8．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤1B．m≥1C．m＜1D．m＞1
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D都在格点上，过点P（﹣3，2）的抛物线y＝mx2+2mx+n（m＜0）可能还经过的点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
10．（3分）如图，△ABC和△DEC均是等腰直角三角形，EC的延长线交AD于点F，若BE⊥CF，BE＝6，则CF的长为（ ）
A．2B．C．3D．
二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）已知关于x的方程x2﹣mx+6＝0的一个根是2，则m的值是 ．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标为（2，﹣4），关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根为﹣1，则该方程的另外一个根为 ．
13．（3分）如图，△ABC绕点C按顺时针旋转20°得到△DEC，若点A在DE上，则∠BAE的度数为 ．
14．（3分）如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC边上，且EF∥AB．现将矩形ABFE绕点E逆时针旋转得到矩形A'B'F'E，点B'，F'分别落在边BC，CD上．若F'C＝3，DF'＝4，则DE的长为 ．
16．（3分）小明为班级围建一个矩形蔬菜园ABCD，其中一边AD靠墙EF，墙可利用的最大长度为10m，篱笆长为24m，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形．
（1）当围成的菜园面积为36m2时，BC的长为 m；
（2）记BC＝a m，若围成面积比36m2大的菜园，则a的范围为 ．
三、解答题（本题有8小题共72分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（2x﹣3）2＝（x+2）2．
18．（8分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象．
（2）根据图象，直接写出当y＜0时自变量x的取值范围．
19．（8分）如图，已知点A，B的坐标分别为（2，3）（3，1）．
（1）画出△AOB关于原点O成中心对称的图形△COD；
（2）将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°时得到△EOF，画出△EOF；
（3）直接写出线段EF和CD的位置关系．
20．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣2经过点（4，﹣6）．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）将该抛物线左右平移，若平移一次后的抛物线经过原点，试写出平移方案．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两个根都是有理数，请选择一个合适的m，并求出此方程的根．
22．（10分）市民广场雕塑OA安装喷水装置从顶端点A处喷出的水柱为抛物线形状，如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点B为水柱的落水点，OB记为水柱喷水的半径，设水柱上点的坐标为（x，y），下面的表中记录了关于x，y的五组数据：
（1）求雕塑高OA；
（2）求水柱喷水的半径．
23．（10分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）的图象经过A（3t﹣1，y1），B（2t+1，y2）两点．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用a的代数式表示）．
（2）若点A在该函数图象的对称轴上，y2﹣y1＝1，求a的值．
（3）若A，B分别位于该函数图象对称轴的左、右两侧，且y1＜y2，求t的取值范围．
24．（12分）如图1，Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，∠ACB＝90°，直线DC与AE，BE分别相交于点H，F，BC平分∠ABE．
（1）若∠ABC＝25°，求∠CAE的度数；
（2）求证：△DHE≌△CFB；
（2）如图2，若∠EAB＝90°，求的值．
2024-2025学年浙江省台州市临海市九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）
1．【解答】解：A，B，C是中心对称图形，D不是中心对称图形，
故选：D．
2．【解答】解：y＝（x﹣2）2﹣3，
∴二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标为（2，﹣3），
故选：C．
3．【解答】解：∵将原方程转化成一般式为x2﹣3x+6＝0，
∴b＝﹣3，c＝6．
故选：B．
4．【解答】解：由表格中的数据看出﹣0.03和0.02之间必有0，故x应取对应的范围为6.18～6.19．
故选：B．
5．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
OA＝OA'，∠BAC＝∠B'A'C'，∠AOB＝∠A'OB'，
∴A，B，C都不合题意．
∵∠ACB与∠C′B′A′不是对应角，
∴∠ACB＝∠C′B′A′不成立．
故选：D．
6．【解答】解：∵点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2﹣3x的图象上，
∴n＝﹣m2﹣3m，
∴m2+6m+2n＝0，
∴Δ＝62﹣4×1×2n＝36﹣8n．
①当n＝10时，Δ＝36﹣18n＝36﹣8×10＝﹣44＜0，
∴此时方程无实数根，
∴当n＝10时，点P的个数为0，结论①正确；
②当n＝4.5时，Δ＝36﹣18n＝36﹣8×4.5＝0，
∴此时方程有两个相等的实数根，
∴当n＝4.5时，点P的个数为1，结论②正确；
③当n＝4时，Δ＝36﹣18n＝36﹣8×4＝4＞0，
∴此时方程有两个不相等的实数根，
∴当n＝4时，点P的个数为2，结论③正确．
综上所述，结论①②③正确．
故选：D．
7．【解答】解：由题意得，线段AB绕原点O按顺时针方向旋转90°得线段A'B'，
∴点B'的坐标为（4，1）．
故选：C．
8．【解答】解：由题意可知：Δ＝4﹣4m≥0，
解得：m≤1．
故选：A．
9．【解答】解：∵y＝mx2+2mx+n＝m（x+1）2﹣m+n（m＜0），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线过点P（﹣3，2），
∴抛物线y＝mx2+2mx+n（m＜0）不可能经过点A、B、C，
∴抛物线y＝mx2+2mx+n（m＜0）可能还经过点D，
故选：D．
10．【解答】解：过点A作AH⊥CF交CF的延长线于H，如图所示：
∵△ABC和△DEC均是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，BC＝CA，∠DCE＝∠DCF＝90°，DE＝CE，
∴∠2+∠3＝90°，
∵BE⊥CF，AH⊥CF，
∴∠BEC＝∠H＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△BEC和△CHA中，
，
∴△BEC≌△CHA（AAS），
∴BE＝CH＝6，CE＝AH，
∴AH＝DE，
在△AHF和△DCF中，
，
∴△AHF≌△DCF（AAS），
∴HF＝CF，
∴CF＝CH＝3．
故选：C．
二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）
11．【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣mx+6＝0，得
4﹣2m+6＝0，
解得：m＝5．
故答案为：5．
12．【解答】解：根据图象知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是直线x＝2．
设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．则
＝2，
解得，x＝5，
即该抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）．
所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为x1＝﹣1，x2＝5．
故答案为：x2＝5．
13．【解答】解：∵△ABC绕点C按顺时针旋转20°得到△DEC，
∴∠ACD＝20°，∠BAC＝∠D，
∵∠EAC＝∠D+∠ACD，
即∠BAE+∠BAC＝∠D+∠ACD，
∴∠BAE＝∠ACD＝20°．
故答案为：20°．
14．【解答】解：根据题意设二次函数解析式为：y＝a（x﹣1）2﹣1，
∵二次函数图象过原点，
∴0＝a（0﹣1）2﹣1，
解得：a＝1，
∴二次函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，
∴将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为：y＝（x﹣1﹣2）2﹣1+3，即y＝（x﹣3）2+2．
故答案为：y＝（x﹣3）2+2．
15．【解答】解：∵F'C＝3，DF'＝4，
∴CD＝7，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵EF∥AB，
∴四边形ABFE和四边形CDEF为矩形，
∴AB＝EF＝CD＝7，AE＝BF，
∵矩形ABFE绕点E逆时针旋转得到矩形A′B′F′E，
∴B′F′＝BF，EF′＝EF＝7，∠EF′B′＝∠EFB＝90°，
在Rt△DEF′，DE＝＝＝．
16．【解答】解：（1）设BC＝x m，则AB＝ m，
根据题意得：x•＝36，
整理得：x2﹣24x+108＝0，
解得：x1＝6，x2＝18（不符合题意，舍去），
∴当围成的菜园面积为36m2时，BC的长为6m．
故答案为：6；
（2）根据题意得：a•＞36，
即a2﹣24a+108＜0，
解得：6＜a＜18，
又∵墙可利用的最大长度为10m，
∴a≤10，
∴a的范围为6＜a≤10．
故答案为：6＜a≤10．
三、解答题（本题有8小题共72分）
17．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝，
x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）（2x﹣3）2＝（x+2）2，
（2x﹣3）2﹣（x+2）2＝0，
（3x﹣1）（x﹣5）＝0，
x1＝，x2＝5．
18．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）；
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
如图，
（2）当y＜0时，自变量x的取值范围为﹣3＜x＜1．
19．【解答】解：（1）如图，△COD即为所求；
（2）如图，△EOF即为所求；
（3）由图可得EF⊥CD．
20．【解答】解：（1）把点（4，﹣6）代入y＝ax2﹣3ax﹣2得：
﹣6＝16a﹣12a﹣2，
解得a＝﹣1，
∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+3x﹣2；
（2）令y＝0，则﹣x2+3x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
∴抛物线y＝﹣x2+3x﹣2与x轴的交点坐标为（1，0）和（2，0），
∴将该抛物线向左平移1个单位或2个单位，平移后的抛物线经过原点．
21．【解答】解：（1）由题意可得 b2﹣4ac＝32﹣4（m﹣2）×（﹣1）＞0，
9+4m﹣8＞0，
解得 m＞﹣，
又m﹣2≠0，
∴m≠2
∴m的取值范围：m＞﹣且m≠2；
（2）∵方程的两个根都是有理数，
∴为有理数且不为0，
即为有理数且不为0，
取＝1，m＝0，
∴当m＝0时，原方程化为﹣2x2+3x﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝．
22．【解答】解：（1）由题意，设水柱抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∴．
∴．
∴水柱抛物线的解析式为y＝﹣x2+bx+2．
∵当x＝0时，y＝2，
∴OA＝2（m）．
∴雕塑OA为2m．
（2）由题意，结合（1）y＝﹣x2+bx+2，
∴令y＝0时，﹣x2+bx+2＝0，
∴x＝4+或x＝4﹣（舍去）．
∴B为（4+，0）．
∴OB＝4+．
∴水柱喷水的半径为（4+）m．
23．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+1，
∴y＝a（x﹣2）2+1﹣4a，
∴顶点坐标为（2，1﹣4a）；
（2）抛物线对称轴为直线x＝＝2，
∵点A在该函数图象的对称轴上，
A（3t﹣1，y1），
∴3t﹣1＝2，
∴t＝1，
∴A（2，y1），B（3，y2），
∵y2﹣y1＝1，
∴y2﹣y1＝（9a﹣12a+1）﹣（4a﹣8a+1）＝a＝1，
∴a＝1；
（3）∵A，B分别位于该函数图象对称轴的左、右两侧，
∴3t﹣1＜2，2t+1＞2，
解得；
又∵y1＜y2，
∴2﹣（3t﹣1）＜2t+1﹣2，
∴2﹣3t+1＜2t﹣1，
∴5t＞4，
∴，
∴t的取值范围是．
24．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝65°，
∵BC平分∠ABE，
∴∠EBC＝∠ABC＝25°，
由旋转得AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝50°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠ABE＝80°，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝15°，
∴∠CAE的度数是15°．
（2）证明：由旋转得ED＝BC，AD＝AC，∠DEH＝∠CBA＝∠CBF，∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴90°﹣∠ADC＝90°﹣∠ACD，
∵∠EDH＝90°ADC，∠BCF＝90°﹣∠ACD，
∴∠EDH＝∠CBF，
在△DHE和△CFB中，
，
∴△DHE≌△CFB（ASA）．
（3）解：由旋转得AD＝AC，AE＝AB，∠DAC＝∠EAB＝90°，
∴DC＝＝AD，∠ABE＝∠AEB＝45°，∠ADC＝∠ACD＝45°，
∴∠AED＝∠ABC＝∠EBC＝∠ABE＝22.5°，
∵∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDH＝∠ADE﹣∠ADC＝45°，
∴∠DAH＝90°﹣∠AED＝67.5°，∠DHA＝∠EDH+∠AED＝67.5°，
∴∠DAH＝∠DHA，
∴DH＝AD，
由（2）得△DHE≌△CFB，
∴DH＝CF，
∴AD＝CF，
∴DC＝CF，
∴＝，
∴的值是．
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y
﹣0.03
﹣0.03
0.02
0.06
x（m）
1
2
3
4
5
y
3