2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团九年级（上）期中数学试卷 含详解

这是一份2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团九年级（上）期中数学试卷 含详解，共17页。试卷主要包含了如果，那么下列比例式中正确的是，四边形内接于，，则，满足条件，如图，在△中，，若，，则为，已知，是常数，函数，，若，则等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如果，那么下列比例式中正确的是
A．B．C．D．
2．（3分）下列二次函数中，对称轴是直线的是
A．B．C．D．
3．（3分）已知的半径为4，点到圆心的距离为3.5，则点在
A．圆外B．圆上C．圆内D．不能确定
4．（3分）有8张红心、张黑桃扑克牌，背面朝上放在桌子上，从中任意摸出一张，若摸到红心的可能性比摸到黑桃的可能性大，则的值不可能是
A．10B．5C．3D．1
5．（3分）将抛物线进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是
A．向上平移4个单位长度B．向下平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度D．向右平移4个单位长度
6．（3分）四边形内接于，，则，满足条件
A．B．C．D．
7．（3分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球的运动时间（单位：之间的关系式是，则小球运动中的最大高度为
A．B．C．D．
8．（3分）如图，在△中，，若，，则为
A．4B．6C．16D．18
9．（3分）已知，线段，点为平面上一点，若，则线段的最大值是
A．8B．C．16D．
10．（3分）已知，是常数，函数，，若，则
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
二.填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知点在二次函数的图象上，则的值为 ．
12．（3分）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ．
13．（3分）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ．
14．（3分）如图，在中，点在弦上，连接，．若，，，则线段的长为 ．
15．（3分）下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线 （填题序号即可）．
16．（3分）如图，在△中，点是边上一点，将△沿翻折得到△，与交于点，设，．
（1）当，，时，的长是 ；
（2）当，△与△的面积之比是，则 ．
三.解答题（本大题有8个小题，共72分）
17．（6分）已知二次函数．
（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值；
（2）当时，求的取值范围．
18．（6分）在如图所示的方格纸中存在△，其中，点，，均在格点上．
（1）用直尺作出△的外接圆圆心；
（2）若方格纸中每个小正方形的边长为2，求△外接圆半径的长．
19．（8分）2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为，，，，浔阳体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，求恰好抽到是（滑板）的概率；
（2）体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冲浪）和（运动攀岩）的概率．
20．（8分）要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．
（1）求喷出的水流最高处距离地面多少米？
（2）若喷水池的半径为，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由．
21．（10分）在△中，，以为直径作，交于点，交直线于点，连结．
小明：根据题意，我画出了如图1的情况；
小丽：小明，你的思考不够全面，我认为还有其他的情况，若为钝角，我发现圆与直线的交点在线段的延长线上；
小明：哦我明白了
（1）在图1中求证：点是边的中点；
（2）记的度数为．求出的度数（用表示）．
22．（10分）如图，在△中，，点，分别在边，上，．
（1）求证：△△；
（2）若，，求；
（3）若，，求的长．
23．（12分）已知二次函数．
（1）若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标；
（2）求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点；
（3）若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围．
24．（12分）在中，是的直径，弦与交于点，且点是弧的中点，连接、、、．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径；
（3）若，求四边形的面积．
2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一.选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．【解答】解：，
，．
故选：．
2．【解答】解：、的对称轴是直线，不符合题意；
、的对称轴是直线，不符合题意；
、，
的对称轴是直线，不符合题意；
、，
的对称轴是直线，符合题意；
故选：．
3．【解答】解：的半径分别是4，点到圆心的距离为3.5，，
点点在圆内．
故选：．
4．【解答】解：有8张红心、张黑桃扑克牌，
摸到红心的可能性为；
摸到黑球的可能性为，
摸到红心的可能性比摸到黑桃的可能性大，
，
．
故的值不可能是10．
故选：．
5．【解答】解：抛物线的顶点坐标为：，
当平移后其顶点在轴上，则为，
平移方式为：向下平移3个单位；
当平移后其顶点在轴上，则为，
平移方式为：向左平移4个单位，
故选：．
6．【解答】解：四边形内接于，
，
，
故选：．
7．【解答】解：，
，
小球运动中的最大高度为．
故选：．
8．【解答】解：设点到的距离为，则，，
，
，
，
，
，
，，
△△，
，
，
故选：．
9．【解答】解：以为边作等边△，作△的外接圆，如图所示：
△为等边三角形，
，
，
点在优弧上，
当为外接圆的直径时，最大，且最大值为16，
故选：．
10．【解答】解：，，
如下图所示：由图象得：当时，，当时，，
故选：．
二.填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：点在二次函数的图象上，
，
的值为．
故答案为：．
12．【解答】解：经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，
点落在黑色阴影的概率为0.6，
黑色阴影的面积为，
故答案为：240．
13．【解答】解：如图，由题意可知，，，，，，，
△△，
，
，
解得，
即蜡烛火焰的高度是，
故答案为：．
14．【解答】解：过点作于点，如图，则，
，，
，
，
在中，，
在中，．
故答案为：．
15．【解答】解：当时，，
解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，，
抛物线与轴的交点之间的距离为；
当时，，
解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，，
抛物线与轴的交点之间的距离为；
当时，，
解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，，
抛物线与轴的交点之间的距离为，
综上所述，两交点之间的距离最短的是抛物线．
故答案为：③．
16．【解答】解：（1）当，，时，如图，
得，，，
设，则，
由题意，得，
在△中，
由勾股定理，得，
即，
解得，
故，
故答案为：5；
（2）当，△与△的面积之比是时，如题图，
，
，
又，，
，
由题意，知，
△△，
，
△与△的面积之比是，
△与△的相似比为，
，
，，
，，，
，
，
，
解得，
故答案为：．
三.解答题（本大题有8个小题，共72分）
17．【解答】解：（1）由，
则，
，，；
（2）．
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，
时，；时，，
当时，的取值范围是．
18．【解答】解：（1）如图，点即为所求；
（2）连接．
．
故外接圆半径的长为．
19．【解答】解：（1）一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同，
小明从中随机抽取一张，恰好抽到是（滑板）的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中符合条件的结果数有2种，
体育老师抽到的两张卡片恰好是（冲浪）和（运动攀岩）的概率为．
20．【解答】解：（1），且，
当时，取最大值，最大值为4，
喷出的水流最高处距离地面4米；
（2）喷出的水流不会落在池外；理由如下：
当时，，
解得或（不合题意，舍去），
，
喷出的水流不会落在池外．
21．【解答】（1）证明：连接，如图1所示：
是的直径，
，
即，
，
，
即点是边的中点；
（2）当△是锐角三角形时，点在边上，如图1所示：
是的直径，
，
，
，
；
当△是钝角三角形时，点在的延长线上，如图2所示：
是的直径，
，
，
，
；
当△是直角三角形时，点与点重合，
此时，．
综上所述：的度数是或或．
22．【解答】（1）证明：，
，
，
△△；
（2）解：如图，过点作于点，
，，
，
，
，
△△，
，
，
；
（3）解：，，
△△，
，
，，
，
．
23．【解答】（1）解：二次函数图象经过，
，
，
抛物线为，
，
顶点坐标为；
（2）证明：△，
二次函数图象与轴总有两个公共点；
（3）解：对称轴直线
即．
，
，
抛物线过，
，即，
，
，
解得，即
抛物线开口向上，
当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．
，
，
当，解得，（舍去）
当，解得，
．
24．【解答】（1）证明：点是弧的中点，
，
，，
即平分；
（2）解：过点作于点，连接，如图，
是的直径，点是的中点，
，
，，
，
，
，，
△，
，
即，
．
即的半径为；
（3）解：过点作于点，，交的延长线于点，如图，
由（1）知：，平分，
，，
，△和△为等腰直角三角形，
，，
四边形为正方形，
在△和△中，
，
△△，
，
四边形的面积四边形的面积，
四边形的面积．